Complimenti! Se sei arrivato fino a qui, significa che hai affrontato e compreso tutti i pilastri fondamentali dello studio della retta nel piano cartesiano. Abbiamo imparato a scriverne l’equazione in forma esplicita e implicita, a calcolare la pendenza $m$, a trovare il punto di scontro tra due rette, a costruire rette passanti per uno o due punti e a bloccarle in posizione parallela o perpendicolare.
Nei compiti in classe, i problemi di geometria analitica non ti chiedono quasi mai una sola formula alla volta. Ti presentano uno scenario geometrico complesso in cui devi saper collegare i vari argomenti in modo logico e consequenziale.
Prima di cimentarti nel nostro mega-test da 15 domande, analizziamo insieme un problema di riepilogo completo risolto passo dopo passo.
INDICE
Il Problema Guidato di Riepilogo
Il Testo:
I punti $A(-2; 1)$ e $B(4; 4)$ sono due vertici di un triangolo rettangolo nel piano cartesiano.
- Trova l’equazione esplicita della retta $r$ che passa per i punti $A$ e $B$.
- Trova l’equazione della retta $s$, perpendicolare ad $r$ e passante per il punto $B$.
- Calcola l’equazione della retta $t$, parallela all’asse $x$ e passante per il punto $A$.
- Determina il punto di intersezione $C$ tra la retta $s$ e la retta $t$.
- Calcola l’area del triangolo rettangolo $ABC$.
La Soluzione Passo Passo
1. L’equazione della retta $r$ (passante per $A$ e $B$)
Calcoliamo prima il coefficiente angolare $m_r$:
$$m_r = \frac{y_B – y_A}{x_B – x_A} = \frac{4 – 1}{4 – (-2)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$
Ora usiamo l’equazione del fascio proprio (R10) con il punto $A(-2; 1)$:
$$y – 1 = \frac{1}{2}(x + 2) \implies y – 1 = \frac{1}{2}x + 1 \implies y = \frac{1}{2}x + 2$$
La retta $r$ ha equazione $y = \frac{1}{2}x + 2$.
2. L’equazione della retta $s$ (perpendicolare ad $r$ per $B$)
La condizione di perpendicolarità (R11) impone che il coefficiente angolare sia il reciproco e opposto di $m_r$:
$$m_s = -\frac{1}{m_r} = -2$$
Usiamo il fascio proprio con centro nel punto $B(4; 4)$ e pendenza $-2$:
$$y – 4 = -2(x – 4) \implies y – 4 = -2x + 8 \implies y = -2x + 12$$
La retta $s$ ha equazione $y = -2x + 12$.
3. L’equazione della retta $t$ (parallela all’asse $x$ per $A$)
Una retta parallela all’asse delle ascisse è orizzontale, quindi ha equazione del tipo $y = k$ (la sua $x$ scompare). Poiché deve passare per $A(-2; 1)$, la sua ordinata deve essere costantemente uguale a quella di $A$.
La retta $t$ ha equazione immediata: $y = 1$.
4. Il punto di intersezione $C$ tra le rette $s$ e $t$
Mettiamo a sistema le equazioni delle due rette:
$$\begin{cases} y = -2x + 12 \\ y = 1 \end{cases}$$
Sostituiamo $y = 1$ nella prima equazione:
$$1 = -2x + 12 \implies 2x = 12 – 1 \implies 2x = 11 \implies x = \frac{11}{2}$$
Il vertice $C$ ha coordinate $C\left(\frac{11}{2}; 1\right)$.
5. L’area del triangolo $ABC$
Il triangolo è rettangolo in $B$ (perché $r$ ed $s$ sono perpendicolari tra loro). Poiché il segmento $AC$ giace sulla retta orizzontale $y = 1$ (hanno entrambi ordinata 1), la base $AC$ si calcola semplicemente facendo la differenza delle ascisse:
$$\text{Base } AC = x_C – x_A = \frac{11}{2} – (-2) = \frac{11}{2} + 2 = \frac{15}{2}$$
L’altezza del triangolo rispetto alla base orizzontale $AC$ corrisponde alla distanza verticale del vertice $B(4; 4)$ dalla retta $y = 1$, ovvero la differenza delle ordinate:
$$\text{Altezza } h = y_B – y_A = 4 – 1 = 3$$
Calcoliamo l’area:
$$\text{Area} = \frac{\text{Base} \times \text{Altezza}}{2} = \frac{\frac{15}{2} \times 3}{2} = \frac{45}{4}$$
Sei pronto a metterti alla prova? Qui sotto ti aspettano 15 domande in ordine crescente di difficoltà. Non avere fretta, usa carta e penna per i calcoli e dimostra di aver dominato la retta!
I 15 Quiz di Riepilogo (R12) – In Ordine Crescente di Difficoltà
Livello 1: Concetti Base e Formule Dirette (Facile)
Domanda 01. Considera la retta di equazione esplicita $y = -3x + 5$. Quali sono il suo coefficiente angolare ($m$) e la sua ordinata all’origine ($q$)?
- A) $m = 5$ e $q = -3$
- B) $m = 3$ e $q = 5$
- C) $m = -3$ e $q = 5$
- D) $m = -3$ e $q = -5$
Domanda 02. Il punto $P(2; -1)$ appartiene alla retta di equazione $y = 2x – 5$?
- A) Sì, perché sostituendo le coordinate l’uguaglianza $-1 = -1$ è verificata.
- B) No, perché la retta non passa per i quadranti negativi.
- C) No, perché sostituendo le coordinate si ottiene $-1 = 1$.
- D) Sì, ma solo se trasformiamo la retta in forma implicita.
Domanda 03. Qual è l’equazione della retta che passa per l’origine degli assi $(0;0)$ e per il punto $A(4; 2)$?
- A) $y = 2x$
- B) $y = \frac{1}{2}x$
- C) $y = 4x + 2$
- D) $y = x + 2$
Domanda 04. Trasforma la retta di equazione implicita $3x – y + 6 = 0$ nella sua forma esplicita.
- A) $y = -3x – 6$
- B) $y = -\frac{1}{3}x + 2$
- C) $y = 3x + 6$
- D) $y = 3x – 6$
Domanda 05. Senza fare calcoli, qual è l’equazione della retta orizzontale che passa per il punto $H(7; -3)$?
- A) $x = 7$
- B) $y = 7$
- C) $x = -3$
- D) $y = -3$
Livello 2: Applicazioni Medie e Sistemi (Intermedio)
Domanda 06. Qual è l’equazione della retta passante per i punti $A(1; 1)$ e $B(3; 7)$?
- A) $y = 3x – 2$
- B) $y = 3x + 1$
- C) $y = 2x – 1$
- D) $y = 4x – 3$
Domanda 07. In quale punto del piano cartesiano si intersecano le rette $y = x + 2$ e $y = -x + 6$?
- A) $(2; 4)$
- B) $(4; 2)$
- C) $(3; 3)$
- D) $(1; 5)$
Domanda 08. Trova l’equazione della retta passante per il punto $P(0; 4)$ e parallela alla retta $2x – y + 1 = 0$.
- A) $y = -\frac{1}{2}x + 4$
- B) $y = 2x + 4$
- C) $y = -2x + 4$
- D) $y = 2x – 1$
Domanda 09. Quali sono le coordinate del centro del fascio proprio di rette descritto dall’equazione $y + 3 = m(x – 5)$?
- A) $C(-3; 5)$
- B) $C(3; -5)$
- C) $C(5; -3)$
- D) $C(-5; 3)$
Domanda 10. Qual è l’equazione della retta passante per il punto $C(2; -1)$ e perpendicolare alla retta $y = \frac{1}{3}x + 4$?
- A) $y = -3x + 5$
- B) $y = 3x – 7$
- C) $y = -3x – 1$
- D) $y = -\frac{1}{3}x – 1$
Livello 3: Parametri $k$, Geometria e Sfide Avanzate (Difficile)
Domanda 11. Per quale valore del parametro $k$ la retta di equazione $(k – 1)x + 2y – 4 = 0$ risulta parallela all’asse delle ascisse (asse $x$)?
- A) $k = 0$
- B) $k = 1$
- C) $k = -1$
- D) $k = 4$
Domanda 12. Per quale valore del parametro $k$ la retta $kx – 3y + 1 = 0$ risulta parallela alla retta $y = 2x – 5$?
- A) $k = 2$
- B) $k = 3$
- C) $k = -6$
- D) $k = 6$
Domanda 13. Per quale valore del parametro $k$ la retta $2x + ky – 5 = 0$ risulta perpendicolare alla retta $y = 3x + 1$?
- A) $k = 6$
- B) $k = -6$
- C) $k = \frac{2}{3}$
- D) $k = -\frac{1}{3}$
Domanda 14. Calcola l’area del triangolo formato dalla retta $y = -2x + 6$ e dagli assi cartesiani.
- A) $18$
- B) $12$
- C) $9$
- D) $6$
Domanda 15. Una retta passa per il punto di intersezione tra $r: x + y – 3 = 0$ ed $s: 2x – y – 3 = 0$ ed è parallela alla bisettrice del 2° e 4° quadrante ($y = -x$). Qual è la sua equazione?
- A) $y = -x + 1$
- B) $y = -x + 3$
- C) $y = x – 1$
- D) $y = -2x + 5$
Soluzioni e Spiegazioni
Domanda 01. Risposta C ($m = -3$ e $q = 5$)
Nella forma esplicita $y = mx + q$, il coefficiente angolare $m$ è il numero moltiplicato per la $x$ (con il suo segno), mentre l’ordinata all’origine $q$ è il termine noto indipendente.
Domanda 02. Risposta A (Sì, perché sostituendo… $-1 = -1$ è verificata)
Sostituendo $x = 2$ e $y = -1$ nella formula $y = 2x – 5$ otteniamo: $-1 = 2(2) – 5 \implies -1 = 4 – 5 \implies -1 = -1$. Poiché l’identità è vera, il punto giace sulla linea.
Domanda 03. Risposta B ($y = \frac{1}{2}x$)
Essendo passante per l’origine, sappiamo che $q = 0$. Calcoliamo la pendenza usando l’origine $(0;0)$ e il punto $(4;2)$: $m = \frac{2 – 0}{4 – 0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Unendo i pezzi otteniamo $y = \frac{1}{2}x$.
Domanda 04. Risposta C ($y = 3x + 6$)
Isoliamo la variabile $y$. Poiché nell’equazione implicita ha segno negativo ($-y$), ci basta portarla a destra del segno uguale per renderla positiva: $3x + 6 = y$, che letta da destra a sinistra diventa esattamente $y = 3x + 6$.
Domanda 05. Risposta D ($y = -3$)
Una retta orizzontale mantiene la coordinata $y$ costante per qualsiasi valore di $x$. Dovendo passare per il punto $(7; -3)$, la sua ordinata dovrà essere per sempre bloccata al valore $-3$.
Domanda 06. Risposta A ($y = 3x – 2$)
Calcoliamo il coefficiente angolare: $m = \frac{7 – 1}{3 – 1} = \frac{6}{2} = 3$. Ora inseriamo pendenza e punto $A(1;1)$ nel fascio: $y – 1 = 3(x – 1) \implies y – 1 = 3x – 3 \implies y = 3x – 2$.
Domanda 07. Risposta A ($(2; 4)$)
Risolviamo con il metodo del confronto: $x + 2 = -x + 6 \implies 2x = 4 \implies x = 2$. Sostituiamo $x=2$ nella prima equazione: $y = 2 + 2 = 4$. Il punto d’incontro è $(2; 4)$.
Domanda 08. Risposta B ($y = 2x + 4$)
Scriviamo la retta data in forma esplicita per leggere il suo $m$: $y = 2x + 1 \implies m = 2$. La nostra retta parallela dovrà avere la stessa pendenza ($m = 2$). Passando per $(0; 4)$, sappiamo direttamente che l’intercetta è $q = 4$. Quindi $y = 2x + 4$.
Domanda 09. Risposta C ($C(5; -3)$)
Ricorda che l’equazione del fascio è $y – y_0 = m(x – x_0)$. I numeri vicino a $x$ e $y$ appaiono nell’equazione con il segno opposto rispetto alle vere coordinate del centro. Se vedi $-5$ accanto alla $x$, l’ascissa è $+5$; se vedi $+3$ accanto alla $y$, l’ordinata è $-3$.
Domanda 10. Risposta A ($y = -3x + 5$)
La pendenza della retta data è $m_1 = \frac{1}{3}$. La retta perpendicolare deve avere coefficiente reciproco e opposto: $m_2 = -3$. Usiamo il fascio con $C(2; -1)$: $y – (-1) = -3(x – 2) \implies y + 1 = -3x + 6 \implies y = -3x + 5$.
Domanda 11. Risposta B ($k = 1$)
Una retta parallela all’asse $x$ è orizzontale, quindi la sua equazione deve essere del tipo $by + c = 0$ (deve sparire il termine con la $x$). Per far sparire la $x$, il suo coefficiente deve annullarsi: $k – 1 = 0 \implies k = 1$.
Domanda 12. Risposta D ($k = 6$)
La pendenza della seconda retta è $m_2 = 2$. Dalla prima retta in forma implicita, calcoliamo la pendenza con la formula $m_1 = -\frac{a}{b} = -\frac{k}{-3} = \frac{k}{3}$. Per il parallelismo imponiamo $m_1 = m_2 \implies \frac{k}{3} = 2 \implies k = 6$.
Domanda 13. Risposta A ($k = 6$)
La pendenza della seconda retta è $m_2 = 3$. Per essere perpendicolare, la prima deve avere pendenza $m_1 = -\frac{1}{3}$. Calcoliamo $m_1$ dalla forma implicita: $m_1 = -\frac{a}{b} = -\frac{2}{k}$. Imponiamo l’uguaglianza: $-\frac{2}{k} = -\frac{1}{3} \implies \frac{2}{k} = \frac{1}{3} \implies k = 6$.
Domanda 14. Risposta C ($9$)
Troviamo le intersezioni della retta $y = -2x + 6$ con gli assi. Intersezione asse $y$ ($x=0$): $y = 6 \implies (0; 6)$ (quindi altezza del triangolo = $6$). Intersezione asse $x$ ($y=0$): $0 = -2x + 6 \implies 2x = 6 \implies x = 3 \implies (3; 0)$ (quindi base = $3$). Area = $\frac{\text{Base} \times \text{Altezza}}{2} = \frac{3 \times 6}{2} = 9$.
Domanda 15. Risposta B ($y = -x + 3$)
Troviamo il punto d’intersezione $I$ tra $r$ ed $s$ mettendo a sistema le equazioni: dalla prima ricaviamo $y = -x + 3$ e sostituiamo nella seconda: $2x – (-x + 3) – 3 = 0 \implies 3x – 6 = 0 \implies x = 2$, da cui $y = -2 + 3 = 1$. Il punto è $I(2; 1)$. Essendo parallela alla bisettrice $y = -x$, la nostra retta avrà $m = -1$. Usando il fascio su $I(2;1)$: $y – 1 = -1(x – 2) \implies y – 1 = -x + 2 \implies y = -x + 3$ (notiamo che coincide proprio con la retta $r$!).
💡 Il salto di qualità della Geometria Parametrica
Hai notato come negli esercizi del Livello 3 (domande 11, 12 e 13) il parametro $k$ costringa a ragionare “al contrario”? Invece di calcolare la pendenza partendo dai numeri, devi impostare un’equazione per costringere la retta ad assumere la pendenza che desideri. Questo è esattamente il salto mentale richiesto nei compiti in classe del liceo e nei test di ammissione all’università. Se hai superato indenne le domande finali, la tua preparazione sulla retta è di altissimo livello!