Quando lavoriamo con le rette in forma implicita:
- Retta $r$: $a_1x + b_1y + c_1 = 0$
- Retta $s$: $a_2x + b_2y + c_2 = 0$
Siamo di fronte a un bivio metodologico: trasformare tutto in forma esplicita o analizzare direttamente i coefficienti? La seconda opzione è quella da professionisti. Analizzare il rapporto tra i coefficienti ci permette di capire istantaneamente se le rette si incontrano, corrono parallele o sono sovrapposte.
INDICE
Il Test dei Rapporti (Senza calcoli)
Confrontiamo i rapporti tra i coefficienti corrispondenti: $\frac{a_1}{a_2}$, $\frac{b_1}{b_2}$ e $\frac{c_1}{c_2}$.
- Rette Incidenti (Sistema Determinato): Se il rapporto tra i coefficienti di $x$ e $y$ è diverso, le rette hanno pendenze differenti e si tagliano in un unico punto.
- Condizione: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
- Rette Parallele Distinte (Sistema Impossibile): Se i coefficienti di $x$ e $y$ sono proporzionali, ma il termine noto ($c$) non lo è, le rette hanno la stessa pendenza ma scivolano su altezze diverse.
- Condizione: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
- Rette Coincidenti (Sistema Indeterminato): Se tutti e tre i rapporti sono uguali, le due equazioni descrivono in realtà la stessa identica retta.
- Condizione: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
Metodi Risolutivi per Sistemi 2×2
Quando le rette sono incidenti, il sistema ammette una soluzione $(x; y)$. Per trovarla in modo rapido senza isolare le incognite:
- Metodo di Cramer: Utilizza il determinante della matrice dei coefficienti. È il metodo più “algoritmico” e meno soggetto a errori di distrazione.
- Metodo di Riduzione: Sottrai o somma le equazioni (dopo aver opportunamente moltiplicato per dei coefficienti) per eliminare una variabile in un sol colpo.
I 15 Quiz: Posizione di due rette in forma implicita (R14)
(In ordine crescente di difficoltà)
Domanda 01. Due rette sono incidenti se i rapporti tra i coefficienti delle variabili ($a$ e $b$) sono:
- A) Uguali.
- B) Diversi.
- C) Opposti.
- D) Reciproci.
Domanda 02. Cosa significa se, confrontando due rette, otteniamo $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$?
- A) Le rette sono coincidenti.
- B) Le rette sono incidenti.
- C) Le rette sono parallele e distinte.
- D) Le rette sono perpendicolari.
Domanda 03. Le rette $x + 2y – 3 = 0$ e $2x + 4y – 6 = 0$ come sono tra loro?
- A) Parallele distinte.
- B) Incidenti.
- C) Coincidenti.
- D) Perpendicolari.
Domanda 04. Le rette $2x + y = 0$ e $2x + y – 5 = 0$ come sono tra loro?
- A) Parallele distinte.
- B) Incidenti.
- C) Coincidenti.
- D) Perpendicolari.
Domanda 05. Quale metodo è particolarmente efficiente per risolvere sistemi lineari 2×2 quando le equazioni sono in forma implicita?
- A) Metodo di Ruffini.
- B) Metodo di Cramer.
- C) Metodo della costante.
- D) Metodo del completamento del quadrato.
Domanda 06. Le rette $x – y + 2 = 0$ e $x + y – 4 = 0$ sono incidenti?
- A) Sì, perché $\frac{1}{1} \neq \frac{-1}{1}$.
- B) No, perché hanno la stessa $c$.
- C) Sì, ma sono anche parallele.
- D) No, sono coincidenti.
Domanda 07. Due rette sono perpendicolari se il prodotto dei loro coefficienti angolari è $-1$. In forma implicita, questo equivale alla condizione:
- A) $a_1 a_2 = b_1 b_2$
- B) $a_1 b_1 + a_2 b_2 = 0$
- C) $a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0$
- D) $a_1 b_2 + a_2 b_1 = 0$
Domanda 08. Risolvi il sistema con riduzione: $x + y = 3$ e $x – y = 1$.
- A) $(2; 1)$
- B) $(1; 2)$
- C) $(3; 0)$
- D) $(0; 3)$
Domanda 09. Se $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, il sistema ammette:
- A) Una sola soluzione.
- B) Nessuna soluzione.
- C) Infinite soluzioni.
- D) Soluzioni impossibili.
Domanda 10. Data $r: ax + 2y – 1 = 0$ e $s: 2x + y + 3 = 0$, per quale valore di $a$ le rette sono parallele?
- A) $a = 1$
- B) $a = 4$
- C) $a = 2$
- D) $a = -2$
Domanda 11. Data $r: x + by + 1 = 0$ e $s: 2x + 4y – 2 = 0$, per quale valore di $b$ le rette sono perpendicolari?
- A) $b = 1/2$
- B) $b = -1/2$
- C) $b = 1$
- D) $b = -2$
Domanda 12. Risolvi con Cramer: $2x + y = 5$ e $x – y = 1$.
- A) $(2; 1)$
- B) $(1; 3)$
- C) $(2; 2)$
- D) $(3; 1)$
Domanda 13. Per quali valori di $a$ e $b$ il sistema tra $ax + 2y – 5 = 0$ e $3x + by + 1 = 0$ risulta impossibile?
- A) $\frac{a}{3} = \frac{2}{b} \neq -5$
- B) $\frac{a}{3} \neq \frac{2}{b}$
- C) $\frac{a}{3} = \frac{2}{b} = -5$
- D) $a = 6, b = 1$
Domanda 14. Data la retta $r: ax + by + c = 0$, come deve essere il vettore normale $\vec{n} = (a; b)$ per verificare la perpendicolarità con $s: a’x + b’y + c’ = 0$?
- A) $\vec{n}_r \cdot \vec{n}_s = 0$
- B) $\vec{n}_r = k \vec{n}_s$
- C) $\vec{n}_r + \vec{n}_s = 0$
- D) Il prodotto dei componenti deve essere 1.
Domanda 15. Un sistema di due rette in forma implicita ha il determinante della matrice dei coefficienti nullo ($D = 0$). Cosa implica?
- A) Le rette sono certamente incidenti.
- B) Le rette sono certamente perpendicolari.
- C) Il sistema è o impossibile o indeterminato (rette parallele o coincidenti).
- D) Il sistema è certamente determinato.
Soluzioni e Spiegazioni
Domanda 01. Risposta B (Diversi)
Il rapporto $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ indica che le pendenze sono diverse, quindi le rette si incontrano sicuramente in un punto.
Domanda 02. Risposta C (Parallele distinte)
Quando le prime due frazioni sono uguali (stessa pendenza) ma la terza è diversa, la costante $c$ impedisce la sovrapposizione: le rette restano parallele ma separate.
Domanda 03. Risposta C (Coincidenti)
Qui $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{-3}{-6}$. Tutti i rapporti sono uguali a $0,5$, quindi sono la stessa retta.
Domanda 04. Risposta A (Parallele distinte)
I rapporti sono $\frac{2}{2} = \frac{1}{1} \neq \frac{0}{-5}$. Hanno la stessa pendenza, ma diverse intercette.
Domanda 05. Risposta B (Metodo di Cramer)
Cramer è lo strumento principe per i sistemi, specialmente quando si lavora con matrici o forme implicite, poiché non richiede isolare variabili.
Domanda 06. Risposta A (Sì, perché $\frac{1}{1} \neq \frac{-1}{1}$)
Il rapporto tra i coefficienti della $x$ è $1$, quello della $y$ è $-1$. Essendo $1 \neq -1$, le rette sono incidenti.
Domanda 07. Risposta C ($a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0$)
Questa è la formula vettoriale della perpendicolarità: il prodotto scalare dei vettori normali alle rette deve essere nullo.
Domanda 08. Risposta A ($(2; 1)$)
Sommando le equazioni: $(x+x) + (y-y) = 3+1 \implies 2x = 4 \implies x=2$. Sostituendo: $2+y=3 \implies y=1$.
Domanda 09. Risposta C (Infinite soluzioni)
È la condizione di indeterminazione: le equazioni sono equivalenti, quindi ogni punto della retta è soluzione.
Domanda 10. Risposta B ($a = 4$)
Per il parallelismo: $\frac{a}{2} = \frac{2}{1} \implies a = 4$.
Domanda 11. Risposta B ($b = -1/2$)
Per la perpendicolarità: $a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0 \implies (1)(2) + (b)(4) = 0 \implies 2 + 4b = 0 \implies 4b = -2 \implies b = -1/2$.
Domanda 12. Risposta A ($(2; 1)$)
$Det = (2)(-1) – (1)(1) = -3$. $Det_x = (5)(-1) – (1)(1) = -6 \implies x = -6/-3 = 2$. $Det_y = (2)(1) – (5)(1) = -3 \implies y = -3/-3 = 1$.
Domanda 13. Risposta A ($\frac{a}{3} = \frac{2}{b} \neq -5$)
Per avere un sistema impossibile, le rette devono essere parallele ma distinte. Il rapporto tra i coefficienti delle variabili deve essere uguale ($\frac{a}{3} = \frac{2}{b}$), ma diverso dal rapporto dei termini noti.
Domanda 14. Risposta A ($\vec{n}_r \cdot \vec{n}_s = 0$)
Il vettore $(a; b)$ è perpendicolare alla retta. Se due rette sono perpendicolari tra loro, anche i loro vettori normali devono essere ortogonali, quindi il loro prodotto scalare deve essere zero.
Domanda 15. Risposta C (Il sistema è o impossibile o indeterminato)
Il determinante $D = ab’ – a’b$. Se $D = 0$, significa che $\frac{a}{a’} = \frac{b}{b’}$, ovvero le pendenze sono identiche. Le rette non possono essere incidenti, quindi o non si incontrano mai o sono la stessa retta.