Fino a questo momento abbiamo analizzato la retta pezzo per pezzo: abbiamo imparato a scriverne l’equazione (esplicita e implicita), a calcolare la pendenza, a disegnarla, a verificare se un punto vi appartiene e, infine, a trovare il punto di scontro tra due rette.
Nei veri compiti in classe, però, i professori non ti chiederanno quasi mai queste cose separatamente. Ti daranno un unico, grande esercizio che unisce tutti questi concetti. Proviamo a risolverne uno insieme passo dopo passo.
INDICE
Il Mega-Esercizio Guidato
Il Testo:
Date le rette $r$ ed $s$:
- La retta $r$ ha equazione implicita: $x + y – 4 = 0$
- La retta $s$ passa per i punti $A(0; -2)$ e $B(2; 2)$.
Rispondi alle seguenti richieste:
- Trova l’equazione esplicita della retta $s$.
- Trasforma la retta $r$ in forma esplicita e disegnala trovando le intersezioni con gli assi.
- Verifica se il punto $P(3; 1)$ appartiene alla retta $r$.
- Trova le coordinate del punto di intersezione $I$ tra le rette $r$ ed $s$.
La Soluzione Passo Passo
1. L’equazione della retta $s$ (Ripasso R04 e R05)
Abbiamo due punti. Prima di tutto calcoliamo il coefficiente angolare $m$ con la formula:
$$m = \frac{y_B – y_A}{x_B – x_A} = \frac{2 – (-2)}{2 – 0} = \frac{4}{2} = 2$$
Ora ci serve $q$. Guardando bene il punto $A(0; -2)$, notiamo che si trova esattamente sull’asse delle ordinate (la sua $x$ è zero). Questo significa che l’ordinata di $A$ è proprio la nostra intercetta! Quindi $q = -2$.
L’equazione esplicita della retta $s$ è: $y = 2x – 2$.
2. La retta $r$ e gli assi cartesiani (Ripasso R06 e R02)
L’equazione di $r$ è $x + y – 4 = 0$. Per renderla esplicita, isoliamo la $y$:
$y = -x + 4$.
Per disegnarla troviamo i due punti di intersezione con gli assi:
- Intersezione asse $y$ (poniamo $x=0$): $y = 4 \implies$ Punto $(0; 4)$
- Intersezione asse $x$ (poniamo $y=0$): $0 = -x + 4 \implies x = 4 \implies$ Punto $(4; 0)$
3. Test di appartenenza del punto $P$ (Ripasso R03)
Il punto è $P(3; 1)$. Sostituiamo $x=3$ e $y=1$ nell’equazione della retta $r$ ($x + y – 4 = 0$):
$$3 + 1 – 4 = 0 \implies 4 – 4 = 0 \implies 0 = 0$$
L’uguaglianza è vera! Il punto $P$ appartiene alla retta $r$.
4. Il punto di intersezione $I$ (Ripasso R07)
Mettiamo a sistema le forme esplicite delle due rette usando il metodo del confronto:
$$y = -x + 4$$
$$y = 2x – 2$$
Uguagliamo le due espressioni:
$$-x + 4 = 2x – 2$$
Portiamo le $x$ a sinistra e i numeri a destra:
$$-x – 2x = -2 – 4 \implies -3x = -6 \implies x = \frac{-6}{-3} \implies x = 2$$
Ora sostituiamo $x=2$ in una delle due equazioni (ad esempio $y = -x + 4$) per trovare la $y$:
$$y = -2 + 4 \implies y = 2$$
Il punto di intersezione è $I(2; 2)$.
Sei riuscito a seguire tutti i passaggi? Mettiti alla prova con questo quiz di riepilogo generale per testare la tua preparazione complessiva sulla geometria della retta!
I 10 Quiz: Riepilogo Generale (R08)
Domanda 01. Trasforma l’equazione implicita $2x – y – 5 = 0$ in forma esplicita.
- A) $y = -2x – 5$
- B) $y = 2x – 5$
- C) $y = \frac{1}{2}x + 5$
- D) $y = 2x + 5$
Domanda 02. Il punto $P(3; 1)$ appartiene alla retta $y = 2x – 5$?
- A) Sì, perché l’uguaglianza è verificata.
- B) No, perché $1 \neq 6 – 5$.
- C) No, si trova nel semipiano al di sopra.
- D) Sì, perché la retta è crescente.
Domanda 03. Calcola il coefficiente angolare $m$ della retta passante per i punti $A(-1; 2)$ e $B(3; 10)$.
- A) $m = 4$
- B) $m = 1/2$
- C) $m = 2$
- D) $m = -2$
Domanda 04. Qual è il punto di intersezione della retta $y = 2x – 5$ con l’asse delle $x$? (Suggerimento: poni $y=0$)
- A) $(0; -5)$
- B) $(5; 0)$
- C) $(\frac{2}{5}; 0)$
- D) $(\frac{5}{2}; 0)$
Domanda 05. Guardando un grafico, noti che una retta incrocia l’asse $y$ in $(0; 3)$ e l’asse $x$ in $(-3; 0)$. Qual è l’equazione di questa retta?
- A) $y = 3x – 3$
- B) $y = -x + 3$
- C) $y = x + 3$
- D) $y = x – 3$
Domanda 06. Se un’equazione della retta si presenta nella forma implicita $by + c = 0$ (cioè il parametro $a = 0$), cosa possiamo dedurre geometricamente?
- A) È una retta passante per l’origine.
- B) È una retta orizzontale.
- C) È una retta verticale.
- D) Non rappresenta una retta.
Domanda 07. Trova le coordinate del punto di intersezione tra le rette $y = x + 1$ e $y = -2x + 7$.
- A) $(2; 3)$
- B) $(3; 4)$
- C) $(1; 2)$
- D) Nessuna intersezione.
Domanda 08. Risolvere il sistema lineare tra l’equazione di una retta obliqua e l’equazione $y = 0$ equivale geometricamente a cercare:
- A) L’intersezione con l’asse delle $y$.
- B) L’intersezione con l’asse delle $x$.
- C) L’origine degli assi.
- D) La pendenza della retta.
Domanda 09. Dove si trova il punto $O(0; 0)$ rispetto alla retta di equazione $y = x + 2$?
- A) Appartiene alla retta.
- B) Si trova nel semipiano al di sopra della retta.
- C) Si trova nel semipiano al di sotto della retta.
- D) Non è possibile determinarlo.
Domanda 10. Se due rette messe a sistema hanno pendenze diverse ($m_1 \neq m_2$), quale sarà sicuramente il risultato algebrico del sistema?
- A) Avrà infinite soluzioni.
- B) Sarà impossibile.
- C) Avrà una e una sola soluzione.
- D) Le soluzioni dipenderanno dal valore di $q$.
Soluzioni e Spiegazioni
Domanda 01. Risposta B ($y = 2x – 5$)
Per passare alla forma esplicita dobbiamo isolare la $y$. Portiamo la $y$ (che è negativa) a destra dell’uguale cambiandole il segno: $2x – 5 = y$. Leggendola da destra a sinistra otteniamo $y = 2x – 5$.
Domanda 02. Risposta A (Sì, perché l’uguaglianza è verificata)
Sostituiamo $x=3$ e $y=1$ nell’equazione: $1 = 2(3) – 5 \implies 1 = 6 – 5 \implies 1 = 1$. L’uguaglianza è perfetta, il punto si trova esattamente sulla linea.
Domanda 03. Risposta C ($m = 2$)
Applichiamo la formula $m = \frac{y_B – y_A}{x_B – x_A} = \frac{10 – 2}{3 – (-1)} = \frac{8}{3 + 1} = \frac{8}{4} = 2$.
Domanda 04. Risposta D ($(\frac{5}{2}; 0)$)
L’asse delle $x$ ha equazione $y=0$. Sostituendo $y=0$ si ottiene: $0 = 2x – 5 \implies 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2}$.
Domanda 05. Risposta C ($y = x + 3$)
L’intersezione con l’asse $y$ ci regala subito $q = 3$. L’intersezione con l’asse $x$ è $(-3; 0)$. Troviamo $m$ tra i punti $(-3; 0)$ e $(0; 3)$: $m = \frac{3 – 0}{0 – (-3)} = \frac{3}{3} = 1$. L’equazione è $y = 1x + 3$.
Domanda 06. Risposta B (È una retta orizzontale)
Se manca la $x$ ($a=0$), l’equazione diventa $by = -c \implies y = -\frac{c}{b}$. Essendo la $y$ costante per qualsiasi valore di $x$, la linea è piatta (orizzontale).
Domanda 07. Risposta A ($(2; 3)$)
Uguagliamo col metodo del confronto: $x + 1 = -2x + 7 \implies x + 2x = 7 – 1 \implies 3x = 6 \implies x = 2$. Sostituiamo per trovare la $y$: $y = 2 + 1 = 3$. Il punto è $(2; 3)$.
Domanda 08. Risposta B (L’intersezione con l’asse delle $x$)
L’equazione $y = 0$ non è altro che la formula matematica che descrive l’asse delle ascisse (tutti i punti che non hanno altezza). Un sistema con $y=0$ calcola il “taglio” su quell’asse.
Domanda 09. Risposta C (Si trova nel semipiano al di sotto…)
Sostituendo le coordinate $(0;0)$ nell’equazione $y = x + 2$ otteniamo $0 = 0 + 2 \implies 0 < 2$. Poiché l’ordinata del punto ($0$) è minore dell’ordinata della retta ($2$) in quel punto, l’origine si trova “sotto” la retta.
Domanda 10. Risposta C (Avrà una e una sola soluzione)
Se le pendenze sono diverse, le rette sono incidenti. Due rette incidenti si tagliano in un unico punto, garantendo che il sistema ammetta una e una sola soluzione (sistema determinato).
💡 L’importanza dell’allenamento globale
Esercizi misti come questo sono il vero banco di prova per il tuo cervello. Quando studi un argomento alla volta (es. solo le intersezioni), la tua mente entra in modalità automatica. Quando invece gli argomenti si mescolano, devi imparare a scegliere quale attrezzo tirare fuori dalla cassetta. Se hai superato brillantemente questo riepilogo, sei a un ottimo punto. Se hai faticato, ti consiglio di rivedere le mie lezioni precedenti.