Fino ad ora, per trovare l’equazione di una retta, abbiamo sempre avuto bisogno di conoscere in partenza la sua pendenza $m$. Ma cosa succede se nel testo di un problema non c’è traccia di $m$ e abbiamo soltanto le coordinate di due punti generici, ad esempio $A(x_A; y_A)$ e $B(x_B; y_B)$?
La geometria euclidea ci garantisce che per due punti passa una e una sola retta. Questo significa che quelle due coordinate contengono già tutto il codice genetico necessario per calcolare l’equazione. Per farlo, possiamo seguire due strade diverse.
INDICE
Metodo 1: La Formula Diretta
Esiste una formula specifica che permette di inserire i dati e arrivare direttamente al traguardo. Si chiama formula della retta passante per due punti:
$$\frac{y – y_A}{y_B – y_A} = \frac{x – x_A}{x_B – x_A}$$
Come si usa? Lasci le variabili $x$ e $y$ così come sono, e sostituisci i numeri dei punti $A$ e $B$ al posto delle lettere con i pedici.
Il limite della formula: Questa equazione funziona benissimo se la retta è obliqua. Ma se i due punti hanno la stessa coordinata $x$ o la stessa coordinata $y$, uno dei denominatori diventerà uguale a zero. Poiché in matematica non si può dividere per zero, in quei casi la formula fallisce e bisogna usare il colpo d’occhio.
Metodo 2: La Strategia in Due Step (Consigliata!)
Per evitare di incartarsi nei calcoli con le frazioni doppie della formula diretta, esiste una strategia algebrica infallibile basata su strumenti che conosci già:
- Trova la pendenza ($m$): Usa la formula del coefficiente angolare che abbiamo studiato in R04: $m = \frac{y_B – y_A}{x_B – x_A}$.
- Usa il fascio proprio: Scegli uno dei due punti (ad esempio $A$) e inserisci la $m$ appena trovata nella formula del fascio di rette (R08): $y – y_A = m(x – x_A)$.
Svolgendo i calcoli arriverai alla forma esplicita in modo molto più fluido e con meno rischi di distrazione sui segni meno.
I Casi Speciali (Zero Calcoli)
Prima di applicare qualsiasi formula, guarda sempre con attenzione le coordinate dei punti:
- Se hanno la stessa $x$ (es. $A(\mathbf{3}; 5)$ e $B(\mathbf{3}; -2)$): La retta è perfettamente verticale, svanisce la $y$ e l’equazione è subito $x = 3$.
- Se hanno la stessa $y$ (es. $A(1; \mathbf{4})$ e $B(-5; \mathbf{4})$): La retta è perfettamente orizzontale, svanisce la $x$ e l’equazione è subito $y = 4$.
Mettiti alla prova con questi 10 quiz per diventare un chirurgo delle formule!
I 10 Quiz: Retta passante per due punti (R09)
Domanda 01. Qual è la formula canonica della retta passante per due punti $A(x_A; y_A)$ e $B(x_B; y_B)$, valida per rette non parallele agli assi?
- A) $\frac{y – y_A}{x_B – x_A} = \frac{x – x_A}{y_B – y_A}$
- B) $y – y_A = m(x – x_A)$
- C) $\frac{y – y_A}{y_B – y_A} = \frac{x – x_A}{x_B – x_A}$
- D) $m = \frac{y_B – y_A}{x_B – x_A}$
Domanda 02. Trova l’equazione della retta passante per i punti $A(1; 2)$ e $B(3; 6)$.
- A) $y = 3x$
- B) $y = 2x$
- C) $y = 2x + 1$
- D) $y = x + 2$
Domanda 03. Se provi ad applicare la formula diretta ai punti $A(4; 1)$ e $B(4; 9)$, cosa succede a livello matematico?
- A) Il numeratore di sinistra diventa zero.
- B) Il denominatore di destra ($x_B – x_A$) diventa zero, rendendo la formula inutilizzabile.
- C) Si ottiene una retta passante per l’origine.
- D) Il coefficiente angolare risulta uguale a 1.
Domanda 04. Senza fare calcoli complessi, qual è l’equazione della retta passante per $A(4; 1)$ e $B(4; 9)$ vista nel quiz precedente?
- A) $y = 1$
- B) $y = 4x$
- C) $x = 4$
- D) $x = 0$
Domanda 05. Qual è l’equazione della retta che attraversa i punti $C(-2; 5)$ e $D(6; 5)$?
- A) $x = 5$
- B) $y = 5$
- C) $y = x + 5$
- D) $y = -2x + 6$
Domanda 06. Trova l’equazione della retta che passa per i punti $A(0; 4)$ e $B(2; 0)$.
- A) $y = -2x + 4$
- B) $y = 2x – 4$
- C) $y = -x + 4$
- D) $y = -2x$
Domanda 07. Nel metodo in “due step”, se calcoli prima $m$ e poi usi la formula $y – y_0 = m(x – x_0)$, quale dei due punti ti conviene scegliere come $(x_0; y_0)$?
- A) Obbligatoriamente il punto $A$.
- B) Obbligatoriamente il punto $B$.
- C) È del tutto indifferente: scegliendo $A$ o scegliendo $B$ si ottiene la stessa identica equazione finale.
- D) Dipende dal segno del coefficiente angolare.
Domanda 08. Calcola il coefficiente angolare della retta che passa per $P(-1; 3)$ e $Q(2; 9)$.
- A) $m = -2$
- B) $m = 3$
- C) $m = 2$
- D) $m = 4$
Domanda 09. Qual è l’equazione della retta passante per i punti $A(0; 0)$ e $B(3; 3)$?
- A) $y = 3x$
- B) $y = -x$
- C) $y = x$
- D) $x = 3$
Domanda 10. Se unisci i punti $A(1; 3)$ e $B(5; 11)$, quale retta ottieni?
- A) $y = 2x + 1$
- B) $y = 2x – 1$
- C) $y = 3x$
- D) $y = 4x – 1$
Soluzioni e Spiegazioni
Domanda 01. Risposta C ($\frac{y – y_A}{y_B – y_A} = \frac{x – x_A}{x_B – x_A}$)
Questa è la struttura della formula simmetrica per la retta passante per due punti. Mette in proporzione lo spostamento verticale generico rispetto a quello totale dei due punti fissi.
Domanda 02. Risposta B ($y = 2x$)
Calcoliamo $m$: $m = \frac{6 – 2}{3 – 1} = \frac{4}{2} = 2$. Ora usiamo il fascio proprio con il punto $A(1; 2)$: $y – 2 = 2(x – 1) \implies y – 2 = 2x – 2 \implies y = 2x$.
Domanda 03. Risposta B (Il denominatore di destra… diventa zero…)
Poiché entrambi i punti hanno $x = 4$, l’operazione al denominatore di destra sarà $4 – 4 = 0$. La divisione per zero non esiste, bloccando l’uso pratico della formula.
Domanda 04. Risposta C ($x = 4$)
Quando noti che tutti i punti condivisi hanno la stessa identica ascissa ($x_A = x_B = 4$), significa che la retta è una fiera linea verticale parallela all’asse $y$. La sua equazione si scrive direttamente come $x = 4$.
Domanda 05. Risposta B ($y = 5$)
I punti $C(-2; \mathbf{5})$ e $D(6; \mathbf{5})$ hanno la stessa identica ordinata. La retta è quindi orizzontale e bloccata all’altezza costante $y = 5$.
Domanda 06. Risposta A ($y = -2x + 4$)
Applichiamo il metodo rapido. Il punto $A(0; 4)$ ci dice subito che l’intercetta è $q = 4$ (visto che la $x$ è zero). Calcoliamo $m$ tra $A$ e $B$: $m = \frac{0 – 4}{2 – 0} = \frac{-4}{2} = -2$. Unendo i pezzi: $y = -2x + 4$.
Domanda 07. Risposta C (È del tutto indifferente…)
Entrambi i punti appartengono alla stessa linea. Scegliere le coordinate di $A$ o quelle di $B$ sposterà i calcoli intermedi, ma dopo aver semplificato e isolato la $y$ arriverai allo stesso identico risultato. Scegli sempre il punto con i numeri più piccoli o senza segni meno!
Domanda 08. Risposta C ($m = 2$)
Applichiamo la formula della pendenza: $m = \frac{9 – 3}{2 – (-1)} = \frac{6}{2 + 1} = \frac{6}{3} = 2$.
Domanda 09. Risposta C ($y = x$)
Passando per l’origine $(0;0)$, sappiamo che $q = 0$. La pendenza è $m = \frac{3 – 0}{3 – 0} = \frac{3}{3} = 1$. L’equazione è la celebre bisettrice del primo e terzo quadrante: $y = x$.
Domanda 10. Risposta A ($y = 2x + 1$)
Troviamo la pendenza: $m = \frac{11 – 3}{5 – 1} = \frac{8}{4} = 2$. Ora usiamo il punto $A(1; 3)$ nel fascio: $y – 3 = 2(x – 1) \implies y – 3 = 2x – 2 \implies y = 2x + 1$.
💡 Il consiglio del prof: Lo “scudo” contro i doppi segni
Nelle verifiche, l’errore più comune in assoluto avviene quando si inseriscono coordinate negative dentro la formula, come ad esempio un punto con $x = -3$. La formula contiene già un segno meno di suo, quindi si trasforma in $-(-3)$, che diventa $+3$. Se usi la formula diretta, rischi di dover gestire quattro di questi cambi di segno contemporaneamente. Ecco perché ti consiglio di calcolare prima la $m$ a parte: riduci la complessità e metti al sicuro il tuo voto! Nei miei corsi ti mostro come automatizzare questo controllo visivo.