In questo articolo vediamo come determinare se un punto è interno esterno o appartenente ad una circonferenza.
Per fare questa operazione sfruttiamo sa l’equazione della circonferenza che le coordinate del punto.
INDICE
APPARTENENZA DI UN PUNTO AD UNA RETTA
Data l’equazione di una circonferenza gamma:
$$ \gamma : \ x^2 + y^2 + ax+by +c = 0 $$
ed un punto generico P di coordinate:
$$ P (x_0, y_0) $$
diciamo che il punto appartiene alla circonferenza se la sua distanza dal centro è pari al raggio:
$$ \text{dist} (C,P) = r $$
Per verificare matematicamente l’appartenenza del punto P inseriamo le sue coordinate all’interno dell’equazione della circonferenza.
$$ \gamma : \ x_0^2 + y_0^2 + a \cdot x_0 + b \cdot y_0 +c = 0 $$
Se quest’ultima relazione è vera, cioè sul lato sinistro dell’equazione otteniamo zero, allora il punto appartiene alla circonferenza.
PUNTO INTERNO AD UNA CIRCONFERENZA
Un punto P di coordinate generiche
$$ P (x_0, y_0) $$
È interno ad una circonferenza gamma di equazione implicita:
$$ \gamma : \ x^2 + y^2 + ax+by +c = 0 $$
se la sua distanza dal centro risulta inferiore al raggio.
Per verificare se il punto si trova internamente alla circonferenza sostituiamo le sue coordinate all’interno del polinomio che rappresenta la circonferenza.
$$ x_0^2 + y_0^2 + a \cdot x_0 + b \cdot y_0 +c = 0 $$
La relazione dovrà risultare falsa.
In particolare il termine di sinistra dovrà risultare minore di zero:
$$ x_0^2 + y_0^2 + a \cdot x_0 + b \cdot y_0 +c < 0 $$
PUNTO ESTERNO AD UNA CIRCONFERENZA
Data una circonferenza gamma di equazione:
$$ \gamma : \ x^2 + y^2 + ax+by +c = 0 $$
Un punto P di coordinate
$$ P (x_0, y_0) $$
È esterno ad una circonferenza se la sua distanza dal centro è maggiore del raggio.
Per verificare che il punto sia esterno sostituiamo le coordinate nel polinomio che rappresenta la circonferenza ottenendo:
$$ x_0^2 + y_0^2 + a \cdot x_0 + b \cdot y_0 +c < 0 $$
ESEMPIO
Verifica se i punti A(2;1), B(3;-1) e D(–1;3) sono interni, esterni o appartengono alla circonferenza gamma di equazione:
$$ \gamma : \ x^2 +y^2 -4x +6y -3 =0 $$
Cominciamo dal punto A
$$ A (2,1) $$
Sostituiamo le sue coordinate nell’equazione della circonferenza:
$$ 2^2 +1^2 – 4 \cdot 2 + 6 \cdot 1 -3 =0 $$
$$ 4+1-8+6 -3 =0 $$
$$ 0=0 \to \ \text{VERO} \ \to A \in \gamma $$
Siccome abbiamo ottenuto un’identità concludiamo che il punto A appartiene alla circonferenza.
Ora passiamo al punto B
$$ B(3, -1) $$
Sostituiamo le sue coordinate nell’equazione della circonferenza:
$$ \gamma : \ x^2 +y^2 -4x +6y -3 =0 $$
Ottenendo:
$$ \gamma : \ 3^2 +{(-1)}^2 -4 \cdot 3 +6 \cdot (-1) -3 =0 $$
$$ -11 =0 \to \ \text{falso} \ \to A \notin \gamma $$
L’identità ottenuta è palesemente falsa!
Dobbiamo perciò negare l’appartenenza del punto alla circonferenza:
Siccome sul lato sinistro dell’equazione abbiamo ottenuto un valore minore di zero concludiamo che il punto è interno alla circonferenza.
$$ -11 <0 \to \ \text{ B è interno a $\gamma$} $$
A questo punto verifichiamo la posizione del punto D rispetto alla circonferenza.
$$ D(1,3) $$
Seguiamo la medesima procedura andando a sostituire le coordinate del punto C nell’equazione della circonferenza:
$$ \gamma : \ x^2 +y^2 -4x +6y -3 =0 $$
$$ {(-1)}^2 +3^2 – 4 \cdot (-1) + 6 \cdot 3 -3 =0 $$
$$ 1+9-4+18-3=0 $$
$$ 21=0 \to \ \text{falso} \to \ D \notin \gamma $$
Siccome l’identità ottenuta è falsa il punto D non appartiene alla circonferenza
$$ 21>0 \to \ \text{B è esterno a $\gamma $} $$
E poiché il lato sinistro dell’identità presenta un valore maggiore di zero il punto è certamente esterno alla circonferenza.
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA
Andiamo ora a rappresentare la situazione graficamente.
CENTRO E RAGGIO DELA CIRCONFERENZA
Per prima cosa ricaviamo il centro e il raggio dall’equazione esplicita della circonferenza:
$$ \gamma : \ x^2 +y^2 -4x +6y -3 =0 $$
I valori dei parametri a, b e c sono:
$$ a= -4 \quad b= +6 \quad c=-3 $$
Le coordinate del centro C sono:
$$ C = (x_0 , y_0) = \left( \ -frac{a}{2},\ -frac{b}{2} \right) = \left( \ -frac{-4}{2},\ -frac{6}{2} \right) $$
$$ C = (2 , \ -3) $$
Mentre il raggio risulta pari a:
$$ r = \sqrt{x_0^2 + y_0^2 -c} $$
$$ r = \sqrt{2^2 + {(-3)}_0^2 +3} = \sqrt{4+9+3} =\sqrt{16} = 4$$
GRAFICAMENTE
Rappresentiamo sotto la circonferenza e i punti dati.
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