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fasci di circonferenze: esterne, tangenti e secanti

I FASCI DI CIRCONFERENZE

I fasci di circonferenze sono una famiglia di circonferenze generate dalla combinazione lineare di due o più circonferenze.

Generalmente i fasci maggiormente studiati sono quelli generati da due circonferenze:

Consideriamo dunque le equazioni di due circonferenze nel sistema cartesiano:

Queste circonferenze sono anche dette le generatrici del fascio.

Possiamo ottenere un fascio di circonferenze attraverso una loro combinazione lineare.

Tale combinazione si ottiene facendo 𝛼 volte la circonferenza 1 più 𝛽 volte la circonferenza 2.

Dove 𝛼 e 𝛽 sono due parametri reali:

Se dividiamo per 𝛼 tutta l’equazione:

Notiamo che la combinazione lineare può diventare più semplice nel senso che per ottenere lo stesso fascio possiamo prendere una circonferenza più k volte la seconda circonferenza.

Questa operazione ci permette di lavorare con un solo parametro anziché due.

L’equazione del fascio risulta dunque:

Diciamo che quando k si avvicina allo zero allora ci avviciniamo sempre di più alla prima circonferenza.

Mentre quando k diventa una quantità molto grande, quindi tendente verso l’infinito, allora ci avviciniamo sempre di più alla seconda circonferenza generatrice.

fasci di circonferenze: esterne, tangenti e secanti

Scopri il corso di geometria cartesiana.

TIPOLOGIE DI FASCI DI CIRCONFERENZE:

Troviamo principalmente quattro tipologie di fascio che vengono classificate sulla base della posizione delle circonferenze generatrici:

  • Secanti
  • Tangenti
  • Esterne (o interne)
  • concentriche

FASCI DI CIRCONFERENZE SECANTI

Abbiamo un fascio di circonferenze secanti quando le due generatrici risultano secanti, ovvero hanno due punti in comune.

Tali punti in comune vengo anche detti punti base ed il fascio include tutte le possibili circonferenze che passano per i due punti

Definiamo inoltre l’asse radicale la retta che passa per i punti base.

Nel sistema cartesiano l’asse radicale è ricavato sottraendo membro a membro l’equazione di due circonferenze.

Date le equazioni delle due circonferenze generatrici:

 l’equazione dell’asse radicale risulta:

Dall’altro lato troviamo la retta dei centri è la retta che passa per i centri delle due circonferenze generici.

Ma più in generale possiamo affermare che i centri di tutte le circonferenze del fascio si trovano su questa retta.

L’asse radicale e la retta dei centri risultano tra di loro perpendicolari.

fasci di circonferenze: esterne, tangenti e secanti

FASCI DI CIRCONFERENZE TANGENTI

I fasci di circonferenze tangenti includono tutte le possibili circonferenze tangenti in un punto.

Essi sono generati da due circonferenze generatrici che sono tra di loro tangenti.

L’asse radicale e la rette dei centri, sempre perpendicolari, passano entrambe per il punto di tangenza.

Scopri il corso di geometria cartesiana.

fasci di circonferenze: esterne, tangenti e secanti

FASCI DI CIRCONFERENZE ESTERNE (O INTERNE)

I fasci di circonferenze esterne sono generati da due circonferenze esterne (o interne).

Tutte le circonferenze del fascio non hanno punti in comune.

In questo caso l’asse radicale  risulta esterno a tutte le circonferenze del fascio e risulta comunque perpendicolare alla retta dei centri. 

fasci di circonferenze: esterne, tangenti e secanti

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ESEMPIO DI STUDIO DI UN FASCIO DI CIRCONFERENZE

Costruisci il  fascio a partire dalle circonferenze:

Dopo aver determinato l’equazione del fascio trova:

  • Asse radicale
  • Punti base
  • Retta dei centri
  • Circonferenza passante per (1,–2)

EQUAZIONE DEL FASCIO

Cominciamo costruendo l’equazione del fascio.

Le equazioni delle generatrici sono:

Facciamo dunque la combinazione lineare tra la prima generatrice e k volte la seconda:

Raggruppando il polinomio in x e y a partire del grado maggiore troviamo:

Aggiustando qualche segno ecco la nostra equazione del fascio:

fasci di circonferenze: esterne, tangenti e secanti

CENTRI E RAGGI DELLE CIRCONFERENZE

Per rappresentare graficamente le due circonferenze generatrici possiamo facilmente calcolare i centri e i raggi a partire dalle loro equazioni:

EQUAZIONE DELL’ASSE RADICALE

Costruiamo l’equazione dell’asse radicale sottraendo membro a membro le equazioni delle due circonferenze:

fasci di circonferenze: esterne, tangenti e secanti

RICERCA DI EVENTUALI PUNTI BASE

Andiamo ora alla ricerca delle presenza eventuale di punti base.

Per farlo mettiamo a sistema l’equazione della prima circonferenza con l’asse radicale:

Sostituendo la y e sviluppando i calcoli perveniamo all’equazione spuria di secondo grado:

Da cui otteniamo i valori delle ascisse di intersezione:

Sostituendo poi tali valori nell’equazione dell’asse radicale troviamo le corrispondenti y, ottenendo in questo modo i punti di intersezione:

Sotto riportiamo i conti completi:

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EQUAZIONE DELLA DEI CENTRI RETTA 

Passiamo ora a determinare l’equazione della retta dei centri.

Un modo per determinarla consiste nel calcolare la pendenza del segmento che unisce i due centri e imporre poi il passaggio per uno dei due centri, attraverso il fascio proprio di rette.

Ricordiamo le coordinate dei centri ricavati dalle equazioni delle generatrici:

La pendenza ovvero il coefficiente angolare della retta dei centri è data dalla variazione delle ordinate divisa per la variazione delle ascisse:

Sfruttiamo quindi il fascio di rette che passano per il secondo centro imponendo il coefficiente angolare che abbiamo appena determinato:

Ecco quindi la nostra retta dei centri nella forma esplicita:

Come si può facilmente notare questa risulta perpendicolare all’asse radicale in quanto il suo coefficiente angolare è anti-reciproco.

fasci di circonferenze: esterne, tangenti e secanti

Un secondo modo per determinare la retta dei centri è proprio quella di sfruttare la condizione di perpendicolarità di questa retta rispetto all’asse radicale, la cui equazione ricordiamo è:

 che scritta in forma implicita risulta:

Una retta perpendicolare assume un’equazione generica del tipo:

Adesso non ci resta che imporre il passaggio per uno dei due centri, ad esempio il secondo, per ricavare il valore del parametro c:

Ecco dunque che abbiamo ottenuto la nostra retta dei centri.

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