POSIZIONE DI DUE CIRCONFERENZE

La posizione tra due circonferenze può essere di quattro tipi:

• Esterna 
• Tangente 
• Secante
• Interna 

Possiamo distinguere le rette tangenti in 

• Tangenti esternamente 
• Tangenti internamente

Un caso molto particolare di circonferenze interne sono le circonferenze concentriche ovvero con lo stesso centro.

POSIZIONE DELLE CIRCONFERENZE: CENTRI E RAGGI

Possiamo distinguere queste tipologie di posizione tra le circonferenze sulla base della distanza dei centri e della lunghezza dei raggi.

CIRCONFERENZE ESTERNE

In particolare quando la distanza tra i centri è maggiore della somma dei raggi le circonferenze si definiscono esterne.

In particolare detti C₁ e C₂ i due centri e R₁ e R₂ i due raggi diciamo che sono esterne se:

$$ \text{dist} (C_1, C_2) > R_1+R_2 $$

Queste circonferenze non hanno punti in comune

CIRCONFERENZE TANGENTI

Quando due circonferenze hanno un solo punto in comune le definiamo tangenti.

Troviamo due tipologie di circonferenze tangenti: quelle tangenti esternamente e quelle tangenti internamente.

Il caso delle tangenti esternamente si verifica quando la distanza dei centri è pari alla somma dei raggi.

Scritto in linguaggio matematico diciamo che:

$$ \text{dist} (C_1, C_2) = R_1+R_2 $$

Mentre sono tangenti internamente quando la distanza dai centri è pari alla differenza dei raggi (in valore assoluto) , ovvero:

$$ \text{dist} (C_1, C_2) = |R_1-R_2| $$

CIRCONFERENZE SECANTI

Il caso intermedio tra le circonferenza tangenti esternamente e quelle tangenti internamente sono le circonferenze secanti.

Questa coppia di circonferenze hanno due punti in comune.

In particolare tale condizione si verifica quando la distanza dai centri è compresa tra la differenza e la somma dei due raggi.

$$|R_1-R_2|< \text{dist} (C_1, C_2) < R_1+R_2 $$

CIRCONFERENZE INTERNE E CONCENTRICHE

Nelle circonferenze che sono interne la distanza dai centri risulta inferiore alla differenza (in modulo) dei raggi.

$$ \text{dist} (C_1, C_2) <| R_1-R_2 |$$

Quando si verifica questa condizione le circonferenze non hanno nessu punto in comune.

Un caso particolare di circonferenze interne sono le rette concentriche, che hano in cune il centro.

In tal caso la distanza dai centri è nulla:

$$ \text{dist} (C_1, C_2) =0 $$

POSIZIONE DELLE CIRCONFERENZE NEL SISTEMA CARTESIANO

Se ci troviamo nel sistema cartesiano come facciamo a stabilire la posizione di due circonferenze?

Consideriamo due circonferenze di equazione:

$$ \gamma_1 : \quad x^2+y^2 +ax+by+c=0 \\ \gamma_2 : \quad x^2+y^2 +a’x+b’y+c’=0 $$

Dai tre parametri a,b,c possiamo ricavare le coordinate dei centri e i raggi:

$$ C_1\ \left( – \frac{a}{2} , – \frac{b}{2} \right) \quad R_1 = \sqrt{ \left( \frac{a}{2} \right)^2 + \left( \frac{b}{2} \right)^2 -c} \\ C_2\ \left( – \frac{a’}{2} , – \frac{b’}{2} \right) \quad R_2 = \sqrt{ \left( \frac{a’}{2} \right)^2 + \left( \frac{b’}{2} \right)^2 -c’} $$

Successivamente possiamo calcolare la distanza tra i due centri con la formula per calcolare la distanza tra due punti:

$$ \overline{C_1 C_2 } = \sqrt{\left( \frac{a}{2} -\frac{a’}{2} \right)^2 + \left( \frac{b}{2} -\frac{b’}{2} \right)^2 }$$

IL CASO DELLE CIRCONFERENZE SECANTI

Le due circonferenze risultano secanti quando la distanza dai centri risulta compresa tra la soma e la differenza dei due raggi.

In questo caso possiamo ricercare i due punti di intersezione:

Per farlo possiamo calcolare l’asse radicale che si ottiene sottraendo le equazioni delle due circonferenze, ottenendo:

$$ \gamma_1 – \gamma_2 = r : \quad (a-a’)x +(b-b’)y+(c-c’) = 0 $$

Possiamo riscrivere questa equazione sia nelle forma implicita del tipo:

$$ r: \quad a” x +b” y +c” = 0 $$

 oppure anche nella forma esplicita del tipo:

$$ r: \quad y = mx+q $$

Se mettiamo a sistema l’equazione di una delle circonferenze con l’asse radicale, otteniamo i punti di intersezione.

$$ \gamma_1 \cap r: \quad \begin{cases} x^2+y^2 + ax+by+c = 0 \\ y = mx+q \end{cases} \to \quad A,B $$

Ovviamente si dovrà passare per la risoluzione di un’equazione di secondo grado.

Tale equazione di secondo grado avrà dunque un delta positivo.

CIRCONFERENZE SECANTI – ESEMPIO 

Determina la posizione reciproca tra le circonferenze:

$$ \gamma_1 : \quad x^2 +y^2 -4x+4y-12 = 0 \\ \gamma_2 : \quad x^2 +y^2 +6x-6y+8 = 0 $$

CENTRO E RAGGIO DELLE CIRCONFERENZE

Per prima cosa determiniamo il centro e il raggio delle due circonferenze.

L’equazione delle prima circonferenza è

$$ \gamma_1 : \quad x^2 +y^2 -4x+4y-12 = 0 $$

 dalla quale ricaviamo il centro e il raggio.

$$ C_1 (2,-2) \quad R_1 = \sqrt{4+4+12} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $$

Mentre la seconda circonferenza è:

$$ \gamma_1 : \quad x^2 +y^2 +6x-6y+8 = 0 $$

Il suo centro e raggio valgono rispettivamente:

$$ C_1 (-3,3) \quad R_2 = \sqrt{9+9-8} = \sqrt{10} $$

La distanza dei centri risulta pari a:

$$ \overline{C_1C_2} = \sqrt{5^2+5^2} = \sqrt{20} = 5\sqrt{2} = 7,1 $$

 che risulta compresa tra la somma e la differenza dei raggi, infatti:

$$ R_1-R_2 = \sqrt{20}- \sqrt{10} \approx 4,5-3,2 = 2,3 \\ R_1+R_2 = \sqrt{20}+ \sqrt{10} \approx 4,5+3,2 = 7,7 $$

Risultando dunque che:

$$ R_1-R_2 < \overline{C_1 C_2} < R_1+R_2 $$

Le circonferenze risultano secanti:

Rappresentando la figura possiamo farci una idea più precisa della loro posizione.

EQUAZIONE DELL’ASSE RADICALE 

Determiniamo dunque l’equazione dell’asse radicale sottraendo membro a membro l’equazione delle circonferenze:

$$ \begin{array}{l} \gamma_2 – \gamma_1 = r: & (6+4)x+(-6-4)y+(8+12) = 0 \\ & 10-10y+20 = 0 \\ & x-y+2= 0 \\ & y=x+2 \end{array}$$

SISTEMA ASSE RADICALE – PRIMA CIRCONFERENZA

Mettiamo ora l’asse radicale a sistema con la prima con la prima circonferenza:

$$ \gamma_1 \cap r: \quad \begin{cases} x^2+y^2-4x+4y-12=0 \\ y=x+2 \end{cases} $$

Sostituendo la y dell’asse nell’equazione della circonferenza e sviluppando i conti otteniamo un’equazione di secondo grado spuria:

$$ \begin{array}{l} x^2+(x+2)^2-4x+4(x+2)-12=0 \\ x^2+x^2+4x+4-4x+4x+8-12 \\ 2x^2+4x=0 \\ x^2+2x=0 \end{array} $$

Che ci darà due soluzioni, quindi il delta dell’equazione di secondo grado è certamente positivo

$$ x(x+2)=0 \to x = 0 \lor x=-2 $$

Che ci farà finire nei due punti di coordinate:

$$ \begin{array}{l} x=0 &\to& y = 2 \to A(0,2) \\ x=-2 &\to& y = 0 \to B(-2,0) \end{array}$$

Riportiamo sotto i calcoli:

Otteniamo la stessa soluzione quando mettiamo l’asse radicale a sistema con la seconda circonferenza.

LUNGHEZZA DELLA CORDA

Calcolando la distanza tra i due punti di intersezione possiamo determinare la lunghezza della corda comune alle due circonferenze.

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IL CASO DELLE CIRCONFERENZE TANGENTI

Nel caso in cui la distanza dai centri risulta esattamente pari alla somma o alla differenza dei raggi (eventualmente in valore assoluto) cadiamo nel caso delle rette tangenti.

Per trovare il punto di intersezione procediamo allo stesso modo di prima.

Ovvero ricavando l’asse radicale e mettendolo a sistema con una dei due circonferenze.

Il delta dell’equazione di secondo grado che ne risulterà sarà nullo.

 CIRCONFERENZE TANGENTI – ESEMPIO 

Determina la posizione reciproca tra le circonferenze:

$$ \begin{array}{l} \gamma_1 : \quad x^2 +y^2 -6x+12y-40 = 0 \\ \gamma_2 : \quad x^2 +y^2 -12x+16 = 0 \end{array}$$

CENTRO E RAGGIO DELLE CIRCONFERENZE

Dalla prima circonferenza:

$$ \gamma_1 : \quad x^2 +y^2 -6x+12y-40 = 0 $$

 ricaviamo che centro e raggio sono di valore pari a:

$$ C_1 (3,-6) \quad R_1 = \sqrt{9+36-40}= \sqrt{5} $$

Mentre dalla seconda circonferenza:

$$ \gamma_2 : \quad x^2 +y^2 -12x+16 = 0 $$

 il centro e il raggio risultano:

$$ C_2 (6,0) \quad R_2 = \sqrt{36+0-16}=\sqrt{20} = 2 \sqrt{5} $$

Osserviamo facilmente che la distanza dai centri risulta pari alla somma dei due raggi, infatti:

$$ \begin{array}{l} \overline{C_1 C_2} = \sqrt{3^2+6^2} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5} \\ \overline{C_1 C_2} =R_1+R_2 = 3 \sqrt{5} \end{array} $$

Dunque le rette risultano tangenti esternamente.

EQUAZIONE DELL’ASSE RADICALE 

Per determinare il punto di tangenza ci serviamo dell’asse radicale la cui equazione è ottenuta sottraendo membro a membro l’equazione delle due circonferenze:

$$ \begin{array}{l} \gamma_2 – \gamma_1 = r: & (-6+12)x+(-12-0)y+(40-16) = 0 \\ & 6x-12y+24 = 0 \\ & x-2y+4= 0 \\ & y = \frac{1}{2}x+2 \quad \text{oppure} \quad x=2y-4 \end{array}$$

SISTEMA ASSE RADICALE – PRIMA CIRCONFERENZA

Mettiamo adesso a sistema l’equazione dell’asse radicale esplicitata secondo la x con quella della prima circonferenza:

$$ \gamma_1 \cap r: \quad \begin{cases} x^2+y^2-6x-12y+40=0 \\ x=2y-4 \end{cases} $$

Pervenendo ad una equazione di secondo grado:

$$ \begin{array}{l} (2y-4)^2+y^2-6(2y-4)-12y+40=0 \\ 4y^2 -16y +16 +y^2 -12y+24-12y +40 =0 \\ 5y^2 -40y +80 =0 \\ y^2-8y+16=0 \end{array} $$

L’equazione presenta un delta nullo e dunque con una sola soluzione (doppia): infatti il trinomio sulla sinistra è un quadrato di binomio:

$$ (y-4)^2 = 0 \to y-4 =0 \to y=4 \overset{x=2y-4}{\longrightarrow} x=4 \to P(4,4) $$

Sostituendo alla x dell’asse radicale il punto di tangenza risulta essere:

Riportiamo sotto tutti i calcoli:

Ovviamente avremmo trovato la stessa soluzione mettendo a sistema l’equazione dell’asse radicale con la seconda circonferenza.

CASO DELLE CIRCONFERENZE ESTERNE E INTERNE

Quando si verifica che la distanza dei due centri è inferiore alla differenza dei raggile circonferenze sono interne.

Mentre quando tale distanza è maggiore della somma dei raggi le circonferenze sono esterne.

In tali situazioni non vi sono punti in comune tra le due circonferenze.

Pertanto se mettiamo a sistema il loro asse radicale con una qualsiasi delle circonferenze l’equazione di secondo grado non ammette soluzioni.

In questi caso il delta di tali equazioni risulta negativo.

CIRCONFERENZE ESTERNE – ESEMPIO

Determina la posizione reciproca tra le circonferenze:

$$ \begin{array}{l} \gamma_1 : \quad x^2 +y^2 -6x-4y+9 = 0 \\ \gamma_2 : \quad x^2 +y^2 +4x+2y = 0 \end{array} $$

CENTRO E RAGGIO DELLE CIRCONFERENZE

Per prima cosa determiniamo il centro e il raggio delle due circonferenze.

L’equazione delle prima circonferenza è

$$ \gamma_1 : \quad x^2 +y^2 -6x-4y+9 = 0 $$

 dalla quale ricaviamo il centro e il raggio.

$$ C_1 (3,2) \quad R_1 = \sqrt{9+4-9}=2 $$

Mentre la seconda circonferenza è:

$$ \gamma_2 : \quad x^2 +y^2 +4x+2y = 0 $$

Il suo centro e raggio valgono rispettivamente:

$$ C_2 (-2,-1) \quad R_2 = \sqrt{4+1}=\sqrt{5} $$

Possiamo facilmente calcolare che la distanza dai centri risulta maggiore della somma dei raggi, infatti:

$$ \overline{C_1 C_2} = \sqrt{5^2+3^2}= \sqrt{34} > 2+\sqrt{5} $$

Dunque le due circonferenze risultano esterne.

Rappresentando la figura possiamo farci una idea più precisa della loro posizione.

CALCOLO DELL’ASSE RADICALE 

Proviamo a confermare il fatto che le circonferenze in quanto esterne non hanno punti in comune.

Andiamo perciò ora a ricavare l’equazione dell’asse radicale sottraendo membro a membro le equazione delle due circonferenze:

$$ \begin{array}{l} \gamma_2 – \gamma_1 = r: & (4+6)x+(2+4)y+(0+9) = 0 \\ & 10x+6y+9 = 0 \\ & 6y=-10x-9 \\ & y =\ – \frac{5}{3}x+\frac{3}{2} \end{array}$$

SISTEMA ASSE RADICALE – PRIMA CIRCONFERENZA

Mettiamo ora a sistema l’equazione della prima circonferenza co l’asse radicale.

$$ \gamma_1 \cap r: \quad \begin{cases} x^2 +y^2 -6x-4y+9 = 0 \\ y =\ – \frac{5}{3}x+\frac{3}{2} \end{cases} $$

Inserendo il valore della y ricavata nell’equazione dell’asse radicale nell’equazione della circonferenza ne verrà l’equazione di secondo grado:

$$ 136x^2-156x+189=0 $$

 il cui delta risulta negativo e pertanto non vi sono punti di intersezione tra le circonferenze.

$$ \Delta = 156^2 – 4 \cdot 136 \cdot 189 = -78.480 $$

Riportiamo i calcoli nella figura sotto.

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