Fino a questo momento abbiamo quasi sempre considerato rette “fisse” e immobili sul piano cartesiano. Ma in geometria analitica esiste un concetto molto affascinante: un’equazione che non descrive una sola retta, ma infinite rette contemporaneamente.
Prendi un foglio, disegna un punto e piantaci sopra uno spillo. Ora appoggia un righello contro lo spillo e fallo ruotare. Quante linee diverse puoi tracciare senza mai staccarti da quel punto? Infinite!
Questo insieme di infinite rette che passano tutte per un unico “perno” centrale prende il nome di fascio proprio di rette.
INDICE
L’Equazione del Fascio Proprio
Se chiamiamo il nostro punto perno (il centro del fascio) con la lettera $C$ e gli diamo coordinate $C(x_0; y_0)$, l’equazione matematica che descrive tutte le rette che vi passano attraverso è:
$$y – y_0 = m(x – x_0)$$
Analizziamo i pezzi di questa formula:
- $x$ e $y$ rimangono lettere (sono le variabili generiche dell’equazione).
- $x_0$ e $y_0$ sono numeri fissi (le coordinate del centro).
- $m$ è il parametro variabile. Cambiando il valore di $m$, la retta cambia pendenza e ruota attorno al centro $C$, generando via via tutte le infinite rette del fascio.
Esempio pratico:
Vogliamo scrivere il fascio di rette con centro $C(2; 5)$.
Sostituiamo i numeri nella formula: $y – 5 = m(x – 2)$.
Se ora decidiamo di bloccare $m = 3$, otteniamo la singola retta $y – 5 = 3(x – 2)$, ovvero $y = 3x – 1$. Abbiamo appena “estratto” una specifica retta dal fascio!
Attenzione alla retta “fantasma”!
Questa formula è potentissima, ma ha un piccolo difetto di fabbrica. Poiché si basa sul coefficiente angolare $m$, non riesce a descrivere l’unica retta che non possiede un $m$ calcolabile: la retta perfettamente verticale passante per $C$.
Per questo motivo, quando si descrive un fascio proprio, l’equazione canonica copre tutte le rette tranne una. Per essere matematicamente inattaccabili, la retta verticale va indicata separatamente con l’equazione:
$$x = x_0$$
Mettiti alla prova con questi 10 quiz per imparare a estrarre rette e trovare i centri dei fasci!
I 10 Quiz: Retta passante per un punto e Fascio Proprio (R10)
Domanda 01. Cos’è un “fascio proprio” di rette?
- A) L’insieme di infinite rette parallele tra loro.
- B) L’insieme di infinite rette passanti per un unico punto detto centro.
- C) L’insieme di rette aventi la stessa intercetta all’origine.
- D) Una coppia di rette perpendicolari.
Domanda 02. Qual è l’equazione generale del fascio proprio di rette con centro in $C(x_0; y_0)$?
- A) $y – y_0 = m(x – x_0)$
- B) $y = mx + q$
- C) $\frac{y – y_0}{x – x_0} = m$
- D) $y – x_0 = m(x – y_0)$
Domanda 03. Quale retta particolare NON è compresa nell’equazione $y – y_0 = m(x – x_0)$?
- A) La retta passante per l’origine.
- B) La retta orizzontale passante per $C$.
- C) La retta perfettamente verticale passante per $C$ (equazione $x = x_0$).
- D) La bisettrice del quadrante.
Domanda 04. Scrivi l’equazione del fascio proprio di rette passante per il centro $P(3; -4)$.
- A) $y – 4 = m(x + 3)$
- B) $y + 4 = m(x – 3)$
- C) $y – 3 = m(x + 4)$
- D) $y + 3 = m(x – 4)$
Domanda 05. Dato il fascio di rette $y – 2 = m(x + 5)$, quali sono le coordinate del suo centro?
- A) $C(5; -2)$
- B) $C(2; 5)$
- C) $C(-5; 2)$
- D) $C(-2; 5)$
Domanda 06. Qual è il centro del fascio descritto dall’equazione $y = mx$?
- A) Il punto $(1; 1)$.
- B) L’origine degli assi $(0; 0)$.
- C) Non ha un centro, è un fascio improprio.
- D) Il punto $(m; m)$.
Domanda 07. Dato il fascio di centro $C(1; 3)$ di equazione $y – 3 = m(x – 1)$, estrai la retta che ha coefficiente angolare $m = 2$.
- A) $y = 2x + 1$
- B) $y = 2x – 1$
- C) $y = 2x + 3$
- D) $y = x + 2$
Domanda 08. L’equazione del fascio proprio con centro nel punto $A(-2; 0)$ è:
- A) $y = m(x – 2)$
- B) $y = m(x + 2)$
- C) $y + 2 = mx$
- D) $y – 2 = mx$
Domanda 09. Dato il fascio $y – 7 = m(x – 4)$, qual è l’equazione della retta verticale “fantasma” esclusa dalla formula ma appartenente al fascio geometrico?
- A) $y = 7$
- B) $x = -4$
- C) $x = 4$
- D) $y = 4$
Domanda 10. Considera il fascio proprio con centro $C(0; 5)$. Se cerchiamo la retta del fascio che passa anche per l’origine $(0; 0)$, che tipo di retta sarà?
- A) La retta orizzontale $y = 5$.
- B) La retta verticale $x = 0$ (l’asse $y$).
- C) La retta $y = x + 5$.
- D) La bisettrice $y = x$.
Soluzioni e Spiegazioni
Domanda 01. Risposta B (L’insieme di infinite rette passanti per un unico punto…)
Questa è la definizione matematica di fascio proprio. Immagina i raggi di una bicicletta: partono tutti dallo stesso asse centrale e si irradiano in tutte le direzioni.
Domanda 02. Risposta A ($y – y_0 = m(x – x_0)$)
È la formula fondamentale da imparare a memoria. Fai sempre attenzione a sottrarre le coordinate del centro ($x_0$ e $y_0$) alle variabili generali $x$ e $y$.
Domanda 03. Risposta C (La retta perfettamente verticale…)
La retta verticale non possiede un coefficiente angolare $m$ misurabile (sarebbe “infinito”). Di conseguenza, nessun numero che potrai inserire al posto di $m$ riuscirà mai a darti l’equazione $x = x_0$.
Domanda 04. Risposta B ($y + 4 = m(x – 3)$)
Inserendo le coordinate nella formula si cambiano i segni: $y – y_0$ diventa $y – (-4)$, ovvero $y + 4$. Mentre $x – x_0$ diventa $x – 3$.
Domanda 05. Risposta C ($C(-5; 2)$)
Per trovare il centro leggendo l’equazione devi fare il processo inverso: prendi i numeri vicini a $x$ e $y$ e inverti i loro segni. Il $+5$ diventa $-5$ (ascissa), il $-2$ diventa $+2$ (ordinata).
Domanda 06. Risposta B (L’origine degli assi $(0; 0)$)
L’equazione $y = mx$ si può scrivere come $y – 0 = m(x – 0)$. Questo ci fa capire immediatamente che le coordinate del perno centrale sono $x_0 = 0$ e $y_0 = 0$.
Domanda 07. Risposta A ($y = 2x + 1$)
Sostituiamo $m = 2$ nell’equazione: $y – 3 = 2(x – 1)$. Svolgiamo i calcoli moltiplicando la parentesi: $y – 3 = 2x – 2$. Portiamo il $-3$ a destra cambiandolo di segno: $y = 2x – 2 + 3$, che semplificato dà $y = 2x + 1$.
Domanda 08. Risposta B ($y = m(x + 2)$)
La coordinata $y$ è zero, quindi il termine a sinistra diventa semplicemente $y – 0$, cioè $y$. A destra, inserendo la $x$ negativa, cambiamo il segno: $m(x – (-2)) \implies m(x + 2)$.
Domanda 09. Risposta C ($x = 4$)
Dal fascio leggiamo che il centro è $C(4; 7)$. La retta esclusa dalla parametrizzazione con la $m$ è sempre quella verticale passante per il centro, la cui equazione blocca la ascissa. Quindi $x = 4$.
Domanda 10. Risposta B (La retta verticale $x = 0$)
Il centro è $(0; 5)$ e vogliamo che la retta passi per $(0; 0)$. Entrambi i punti si trovano esattamente sull’asse delle ordinate (hanno ascissa nulla). La retta che li unisce è proprio l’asse $y$, che è una retta verticale di equazione $x = 0$.
💡 Attenzione alla trappola dei segni invertiti!
Quando il professore ti dà l’equazione di un fascio e ti chiede di trovarne il centro a colpo d’occhio, l’errore più banale è estrarre i numeri lasciandoli col segno che vedi. Ricorda la regola aurea: la formula $y – y_0 = m(x – x_0)$ è costruita con il segno “meno”, che funge da specchio. Se nella formula vedi $(x + 8)$, l’ascissa del centro non è $8$, ma $-8$. Consideralo un “cambio di polarità” necessario. Se fai tua questa regola, non sbaglierai mai più un centro.