LA RETTA PASSANTE PER UN PUNTO E DUE PUNTI

In questo articolo vediamo come si determina l’equazione della retta passante per un punto dato un coefficiente angolare.

Successivamente analizziamo il passaggio della retta per due punti

RETTA PASSANTE PER UN PUNTO DATO UN COEFFICIENTE ANGOLARE

Notoriamente l’equazione della retta passante per un punto P (x₀, y₀) dato un certo coefficiente angolare mᵣ studiata sui libri scolastici è:

$$ y = y_0 + m_r \cdot (x-x_0) $$

Vedremo dunque come come giungere a livello teorico a questa dimostrazione e sfrutteremo i suoi risultati per determinare l’equazione della retta passante per due punti

DATI DI PARTENZA E GRAFICO

Vediamo ora come determinare l’equazione di una retta passante per un generico punto P di coordinate note:

$$ P(x_0, y_0) $$

Avente un certo coefficiente angolare m che possiamo chiamare m_r cioè m associato alla retta r.

$$ m = m_r $$

Noi sappiamo che per un punto P passano infinite rette e questo per un postulato della geometria euclidea.

Ma ne esisterà soltanto una che avrà una determinata inclinazione, determinata appunto dalla pendenza, ovvero dal coefficiente angolare m_r.

MODO 1  – SOSTITUZIONE – RETTA PASSANTE PER UN PUNTO

Il primo modo che abbiamo a disposizione per determinare l’equazione della retta passante per un punto con un dato coefficiente angolare è la sostituzione.

Consideriamo per prima cosa l’equazione di una generica retta scritta nella sua forma esplicita:

$$ y = mx+q $$

Ora sostituiamo al posto della x e della y le coordinate del punto P.

$$ P(x_0, y_0) $$

e al posto del coefficiente generico m quello specifico m_r.

$$ m = m_r $$

In questo modo otteniamo la seguente equazione:

$$ y_0 = m_r \cdot x_0 +q $$

L’unica incognita presente nell’equazione è la q, che possiamo facilmente determinare:

$$ q = y_0 – m_r \cdot x_0 $$

A questo punto abbiamo anche l’equazione della retta:

$$ y = m_r \cdot x + (y_0 – m_r \cdot x_0) $$

ESEMPIO DI RETTA PASSANTE PER UN PUNTO DATO UN COEFFICIENTE- MODO 1

Trova la retta passante per il punto di coordinate (3; 1) avente coefficiente angolare pari a 2.

Per prima cosa rappresentiamo i dati, ovvero le coordinate del punto:

$$ P (3,1) $$

ed il valore del coefficiente angolare:

$$ m=2 $$

Diamo una rappresentazione grafica fissando il punto all’interno del sistema cartesiano.

Siccome poi il coefficiente angolare vale 2, se ci spostiamo di una ascissa a destra ci spostiamo di due ordinate in alto.

Quindi la retta dovrà passare per forza per il punto di coordinate (4;3).

Per quei due punti tracciamo dunque l’unica retta passante.

Ora operiamo sul lato matematico e prendiamo in considerazione la generica equazione di una retta nella sua forma esplicita:

$$ y = m x +q $$

Sostituiamo al posto della x e della y della retta le coordinate del punto P

$$ P(3,1) $$

E al posto del coefficiente angola m il valore dato ovvero 2:

$$ m=2 $$

In questo modo l’equazione che otteniamo è :

$$ 1 = 2 \cdot 3 +q $$

Dalla quale possiamo facilmente ricavare il valore dell’intercetta all’origine q.

$$ q = 1-6 = -5 $$

Adesso che conosciamo sia il coefficiente angolare m che l’intercett all’orine q abbiamo anche l’equazione della retta cercata:

$$ y= 2x-5 $$

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MODO 2 – FORMULA – RETTA PASSANTE PER UN PUNTO DATO IL COEFFICIENTE

Il secondo modo per ricavare l’equazione di una retta passante per un punto P di coordinate date

$$ P (x_0, y_0) $$

 di coefficiente angolare m dato m_r

È quella di applicare la seguente formula:

$$ y= y_0 + m_r \cdot (x-x_0) $$

Per ottenere questa formula dobbiamo tornare ai passaggi svolti in alto dove avevamo l’equazione generale della retta scritta in forma esplicita:

$$ y = mx+q $$

Quando abbiamo inserito al posto della x e della y le coordinate del punto P

$$ P (x_0, y_0) $$

E il valore dato del coefficiente angolare:

$$ m= m_r $$

abbiamo ottenuto il valore del parametro ignoto q, ottenendo:

$$ q = y_0 – m_r \cdot x $$

Se andiamo ora ad inserire il valore di q trovate all’interno dell’equazione generica della retta r otteniamo:

$$ y = m_r \cdot x + y_0 -m_r \cdot x_0 $$

che possiamo riscrivere riordinando i termini come:

$$ y = y_0 + m_r \cdot x -m_r \cdot x_0 $$

Andando a raccogliere a fattor comune il coefficiente angolare m_r

Otteniamo proprio l’equazione della formula:

$$ y = y_0 + m_r \cdot (x-x_0) $$

ESEMPIO DI RETTA PASSANTE PER UN PUNTO DATO IL COEFFICIENTE – MODO 2

Trova l’equazione della retta passante per il punto P (-1; 2) avente come coefficiente angolare -3.

Per prima cosa riportiamo i dati, cioè le coordinate del punto P

$$ P (-1, 2) $$

E del coefficiente angolare della retta noto:

$$ m= -3 $$

Consideriamo quindi la formula della retta passante per un punto dato un certo coefficiente:

$$ y = y_0 + m_r \cdot (x-x_0) $$

Sostituiamo quindi nell’equazione della retta le coordinate del punto P e del coefficiente angolare, ottenendo:

$$ y = 2 + (-3) \cdot (x- (-1)) $$

Sviluppando i calcoli abbiamo:

$$ y = 2-3 \cdot (x+1) $$

$$ y = 2-3x-3 $$

$$ y = -3x-1$$

Abbiamo ottenuto l’equazione della retta cercata.

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA

Ora possiamo rappresentare graficamente la nostra retta, che passerà certamente per il punto P(-1,3) dato:

Ma conoscendo l’intercetta all’origine che vale –1, sappiamo che passerà anche per il punto di coordinate (0; –1)

RETTA PASSANTE PER 2 PUNTI

Vediamo ora come trovare l’equazione della retta passante per due punti:

Consideriamo due punti generici A e B del sistema cartesiano con:

$$ A(x_A, y_A) $$

Sappiamo per un postulato della geometria euclidea che per due punti passa una ed una sola retta.

Il nostro scopo è quella di trovare la sua equazione.

MODO 1 – SISTEMA

Il primo metodo che andiamo a vedere è quella di risolvere un sistema lineare, ottenuto imponendo il passaggio della retta per i due punti noti.

Consideriamo la generica retta scritta nella sua forma esplicita:

$$ y = mx+q $$

Nella prima equazione del sistema andiamo ad inserire le coordinate del punto A in questa equazione:

$$ y_A = m x_A+q $$

Mentre nella seconda equazione del sistema andiamo ad inserire le coordinate del punto B:

$$ y_B = m x_B+q $$

Rileggendo il sistema da destra verso sinistra possiamo anche scrivere:

$$ \begin{cases} y_A = m x_A+q \\ y_B = m x_B+q \end{cases} $$

METODO CRAMER

Quello che interessa a noi ora è risolvere questo sistema e non importa quale metodo andiamo ad utilizzare.

Il metodo che ho scelto in questo caso è il metodo Cramer, che consiste nel risolvere i sistemi mediante l’utilizzo dei determinanti.

Per prima cosa consideriamo proprio il sistema che abbiamo appena costruito:

$$ \begin{cases} y_A = m x_A+q \\ y_B = m x_B+q \end{cases} $$

A questo punto andiamo a costruire la matrice di sistema che consiste nel riportare i coefficienti delle due incognite m e q in colonna, esattamente come riportati nel suo sistema.

Mettiamo già questa matrice all’interno del simbolo di determinante che consiste in un due stanghette orizzontali ai margini

$$ \Delta = \begin{array}{|cc|} x_A & 1 \\ x_B & 1 \end{array} $$

Il simbolo di ∆ è il simbolo del determinante.

Per calcolare il determinante di questa matrice facciamo il prodotto degli elementi sulla diagonale principale (dall’alto a sinistra al basso a destra) a cui sottraiamo il prodotto degli elementi sella diagonale secondaria:

$$ \Delta = \begin{array}{|cc|} x_A & 1 \\ x_B & 1 \end{array} = x_A \cdot 1 – x_B \cdot 1 = x_A – x_B$$

Ora ci calcoliamo il determinante ∆_m associato all’incognita m.

Per farlo dobbiamo sostituire all’interno della matrice di sistema la prima colonna (quella dei coefficienti di m) con la colonna dei termini noti (le ordinate y dei punti A e B).

Poi calcoliamo con il metodo visto prima il determinante:

$$ \Delta _m = \begin{array}{|cc|} y_A & 1 \\ y_B & 1 \end{array} = y_A \cdot 1 – y_B \cdot 1 = y_A – y_B$$

Adesso troviamo il determinate ∆_q associato all’incognita q.

Andiamo quindi a sostituire nella matrice del sistema la seconda colonna (quella dei coefficienti di q) la colonna dei termini noti.

$$ \Delta = \begin{array}{|cc|} x_A & y_A \\ x_B & y_B \end{array} = x_A \cdot y_B – x_B \cdot y_A $$

A questo punto possiamo calcolare il coefficiente angolare della retta m come il rapporto tra il determinante associato ad m (∆_m) e il determinante di sistema (∆)

$$ m = \frac{ \Delta _m}{\Delta} $$

E l’ordinata all’origine q come  il rapporto tra il determinante associato ad m (∆_q) e il determinante di sistema (∆)

$$ q = \frac{ \Delta _q}{\Delta} $$

Se vogliamo scrivere tutti i calcoli completi avremo:

$$ m = \frac{ \Delta _m}{\Delta} = \frac {\begin{array}{|cc|} y_A & 1 \\ y_B & 1 \end{array}}{\begin{array}{|cc|} x_A & 1 \\ x_B & 1 \end{array} } = \frac{y_A-y_B}{x_A-x_B} = \frac{y_B -y_A}{x_B -x_A} $$

$$ q = \frac{ \Delta _q}{\Delta} = \frac {\begin{array}{|cc|} x_A & y_A \\ x_B & y_B \end{array} }{\begin{array}{|cc|} x_A & 1 \\ x_B & 1 \end{array} } = \frac{x_A \cdot y_B – x_B \cdot y_A}{x_A – x_B} $$

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ESEMPIO DI RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI

Trova l’equazione della retta passante per i punti A(1; 2) e B(3; 0) 

Cominciamo a scrivere i dati cioè le coordinate dei due punti:

$$ A(1,2) \quad B(3,0) $$

Consideriamo la generica equazione della retta:

$$ y = mx+q $$

Inseriamo prima le coordinate del punto A:

$$ 2 = m \cdot 1 +q $$

E poi le coordinate del punto B:

$$ 3 = m \cdot 0 +q $$

A questo punto rileggendo da destra a sinistra otteniamo il sistema:

$$ \begin{cases} m+q=2 \\ 0m+q=3 \end{cases} $$

Dalla seconda equazione risulta subito evidente il valore della q:

$$ q=3 $$

Sostiamo questo valore trovato all’interno della prima equazione del sistema, ricavando la m:

$$ m +3=2 \ \to \ m=-1 $$

L’equazione della retta diventa perciò:

$$ r: \ y=-x+3 $$

METODO CRAMER

Se avessimo voluto risolvere il sistema precedente con il metodo Cramer dei determinanti saremmo partiti dal sistema:

$$ \begin{cases} m+q=2 \\ 0m+q=3 \end{cases} $$

A questo punto calcoliamo il determinante di sistema dei sulla matrice dei coefficienti delle incognite:

$$ \Delta = \begin{array}{|cc|} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} = 1 \cdot 1 – 1 \cdot 0 = 1$$

Successivamente calcoliamo il determinante ∆_m sulla matrice ottenuta sostituendo la prima colonna con i termini noti:

$$ \Delta _m = \begin{array}{|cc|} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{array} = 2-3= -1$$

E il determinate  ∆_q sulla matrice ottenuta sostituendo la seconda colonna con i termini noti

$$ \Delta _q = \begin{array}{|cc|} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{array} = 3-0= 3$$

Infine calcoliamo le incognite m e q dividendo il relativo determinante per il determinante di sistema:

$$ m = \frac{\Delta _m}{\Delta} = \frac{-1}{1} = -1 $$

$$ q = \frac{\Delta _q}{\Delta} \frac{3}{1} = 3 $$

Otteniamo dunque la retta di equazione:

$$ y = -x+3$$

MODO 2 – RICAVIAMO IL COEFFICIENTE ANGOLARE E USIAMO LA FORMULA DELLA RETTA PASSANTE UN PUNTO

Il secondo metodo per ricavare l’equazione della retta passante per due punti consiste nel ricavare il coefficiente angolare della retta e imporre il passaggio della retta per uno dei due punti.

Consideriamo i due punti generici A e B:

$$ A(x_A, y_A) \quad B(x_B, y_B) $$

Ora calcoliamo il coefficiente angolare della retta mAB è definito come il rapporto tra la variazione delle ordinate e la variazione delle ascisse:

$$ m_{AB} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_B – y_A}{x_B -x_A} $$

Adesso troviamo l’equazione della retta imponendo il passaggio per uno dei due punti usando la formula generica:

$$ y = y_0 + m_{AB} \cdot (x-x_0) $$

Se scegliamo di imporre il passaggio per il punto A otteniamo:

$$ y = y_A + m_{AB} \cdot (x-x_A) $$

In alternativa possiamo optare per il passaggio per il punto B:

$$ y = y_B + m_{AB} \cdot (x-x_B) $$

Ovviamente svolgendo i calcoli otteniamo la stessa retta.

NOTA BENE! I DUE RISULTATI SONO IDENTICI

Notiamo bene come dal punto di vista matematico i due risultati sono identici.

Consideriamo infatti le due espressioni come se formassero un sistema di due equazioni:

$$ \begin{cases} y = y_A + m_{AB} \cdot (x-x_A) \\ y = y_B + m_{AB} \cdot (x-x_B) \end{cases} $$

Eguagliamo ora i due valori delle y:

$$ y_A + m_{AB} \cdot (x-x_A) = y_B + m_{AB} \cdot (x-x_B) $$

Spostiamo a sinistra e raccogliamo gli mAB e lasciamo il resto a destra

$$ m_{AB} \cdot ((x-x_A)-(x-x_B)) = y_B -y_A $$

Svolgiamo i calcoli dentro la parentesi dove si eliminano le x

$$ m_{AB} \cdot (x_B – x_A) = y_B -y_A $$

Esplicitando mAB troviamo il valore che eguaglia le due espressioni che è proprio la definizione di coefficiente angolare della retta passante per due punti A e B

$$ m_{AB} = \frac{y_B – y_A}{x_B -x_A} = \frac{\Delta y}{\Delta x} $$

ESEMPIO DI RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI

Trova l’equazione della retta passante per i punti A(1; 2) e B(3; 0) 

Calcoliamo il coefficiente angolare della retta cercata:

$$ m_{AB} = \frac{y_B – y_A}{x_B -x_A} = \frac{0-2}{3-1} = \frac{-2}{2} = -1 $$

Ora vediamo cosa succede imponendo il passaggio per il punto A(1; 2) 

$$ y = y_A + m_{AB} \cdot (x-x_A) $$

$$ y = 2 + (-1) \cdot (x-1) $$

$$ y = 2-x+1 $$

$$ y = -x+3 $$

Se scegliamo invece di farla passare per il punto B(3; 0)

$$ y = y_B + m_{AB} \cdot (x-x_B) $$

$$ y = 0 + (-1) \cdot (x-3) $$

$$ y = -x+3 $$

In entrambi i casi abbiamo ottenuto l’equazione della stessa retta :

RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI

Due rette sono tra di loro parallele se hanno la stessa pendenza ovvero lo stesso coefficienteangolare.

Risultano invece perpendicolari quando il prodotto tra i loro coefficienti è pari a –1, il che equivale a dire che il loro coefficienti sono anti-reciproci.

Consideriamo una generica retta r di equazione:

$$ r: \ y = m_r x +q_r $$

Ora prendiamo un’altra retta t di equazione:

$$ t: \ y = m_t x +q_t $$

La retta t risulta essere parallela alla retta r se ha lo stesso coefficiente angolare della retta r.

$$ t \parallel r \leftrightarrow \ m_t = m_r $$

Il simbolo della freccia  che va in entrambe le direzioni destra e sinistra significa che vale anche l’inverso.

Ovvero che se due rette presentano lo stesso coefficiente angolare allora sono tra di loro parallele.

Consideriamo ora un’altra retta s di equazione:

$$ s: \ y = m_s x +q_s $$

 questa retta risulta essere perpendicolare alla retta r di partenza se e solo se il prodotto tra il suo coefficiente angolare e quello della retta r è pari a –1

$$ s \perp r \leftrightarrow \ m_t \cdot m_r = -1 $$

Il che equivale a dire che i loro coefficienti sono antireciproci.

$$ s \perp r \leftrightarrow \ m_t = – \ \frac{1}{m_r} $$

ESEMPIO

Trovate le equazioni delle rette t ed s rispettivamente parallela e perpendicolare alla retta r di equazione:

$$ r: \ 3x-2y+2=0 $$

Passanti per il punto di coordinate (2; 0)

Per prima cosa ricaviamo l’equazione esplicita della retta r per capire quanto vale il suo coefficiente angolare:

$$ r: \ 3x-2y+2=0 $$

$$ r: \ 2y=3x+2 $$

$$ r: \ y = \frac{3}{2} +1$$

Ora sappiamo che la retta t risulta essere parallela alla retta r per cui il suo coefficiente angolare vale 3/2

$$ t \parallel r \leftrightarrow \ m_t = m_r = \frac{3}{2} $$

Sapendo che la retta t passa per il punto do coordinate (2; 0) applichiamo la formula della retta passante per un punto dato un certo coefficiente angolare:

$$ y = y_0 + m \cdot (x-x_0) $$

Imponiamo il passaggio per il punto dato e il coefficiente angolare ormai noto:

$$ t: \ y = 0 + \frac{3}{2} \cdot (x-2) $

Sviluppando i calcoli otteniamo l’equazione della retta t:

$$ t: \ y = \frac{3}{2} x -1 $$

Passiamo ora alla retta s.

Siccome quest’ultima è perpendicolare alla retta r il suo coefficiente angolare è l’antireciproco di 2/3 ovvero -3/2.

Imponendo il passaggio per il punto P(2;0) otteniamo:

$$ s: \ y = 0 – \ \frac{2}{3} \cdot (x-2) $$

$$ s: \ y =- \ \frac{2}{3} x + \frac{4}{3} $$

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