Per trovare la retta passante per due punti A e B basta che costruiamo un sistema lineare con le retta e imponiamo il passaggio per entrami i punti ottenendo un sistema lineare con due equazioni e due incognite.
Supponiamo infatti di avere due punti A e B di coordinate generiche:
$$ A(x_A, y_A) \quad B(x_B, y_B) $$
Ora consideriamo una generiche retta r scritta della forma esplicita:
$$ r: \quad y= mx+q $$
che possiamo esprimere anche leggendo da destra verso sinistra:
$$ mx+q= y $$
Se vogliamo che i nostri due punti A e B appartengo alla retta: in questione, ovvero che:
$$ A,B \in r: \quad mx+q= y $$
Costruiamo un sistema in cui imponiamo il passaggio per i due punti.
Detto in parole più semplici basta che riscriviamo l’equazione della retta sostituendo al posto della x e della y le coordinate dei due punti.
In questo modo otteniamo il seguente sistema lineare:
$$ \begin{cases} mx_A+q= y_A \\ mx_B+q= y_B \end{cases} $$
Dalla soluzione di questo sistema otteniamo i due parametri m (coefficiente angolare) e q (ordinata all’origine) che ci danno l’equazione della retta passante per i due punti.
INDICE
ESEMPIO 1 – RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI
Vediamo subito un esempio di come determinare praticamente l’equazione della retta passante per due punti.
Determina la retta r che passa per i punti A(2,3) e B(4,7)
Per prima cosa andiamo a rappresentare graficamente la situazione disegnando i due punti e la retta che passa per questi.
IMPONIAMO IL PASSAGGIO PER I PUNTI NELLA GENERICA RETTA
Consideriamo ora una generiche retta r scritta della forma esplicita:
$$ y = mx+q $$
che possiamo esprimere anche leggendo da destra verso sinistra:
$$ mx+q=y $$
Se vogliamo che i nostri due punti A e B appartengo alla retta: in questione, ovvero che:
$$ A,B \in r: \quad mx+q $$
Costruiamo un sistema in cui imponiamo il passaggio per i due punti.
Ovvero sostituiamo le coordinate dei punti al posto della x e della y
$$ \begin{array}{l} A(2,3) \to \\ B(4,7) \to \end{array} \begin{cases} 2m+q=3 \\ 4m+q=7 \end{cases} $$
Come si può facilmente notare si tratta di un sistema lineare con due equazioni e due incognite
RISOLVIAMO IL SISTEMA LINEARE – CONFRONTO
A questo punto dobbiamo risolvere il sistema lineare.
$$ \begin{cases} 2m+q=3 \\ 4m+q=7 \end{cases} $$
Per farlo ricordiamo che abbiamo a disposizione diversi metodi tra i quali:
- Sostituzione
- Confronto
- Riduzione
- Determinante
- Grafico
Cominciamo con l’applicare il metodo del confronto.
In questo caso possiamo ricavare il valore della q in modo semplice da entrambe le equazioni.
$$ \begin{cases} 2m+q=3 \\ 4m+q=7 \end{cases} \quad \to \quad \begin{cases} q=3-2m \\ q=7-4m \end{cases} $$
Adesso possiamo eguagliare (confrontare) i valori della q che sono determinati in funzione di m
$$ 3-2m=7-4m $$
Si tratta ora di risolvere una banale equazione di primo grado in m:
$$ 4m-2m=7-3 \to 2m=4 \to m=2 $$
Adesso che abbiamo il valore di m possiamo riscrivere il sistema tenendo una delle due equazioni.
Per ottenere dunque il valore della q ci basta sostituire il valore di m che abbiamo appena calcolato:
$$ \begin{cases} m=2 \\ q=7-4m \end{cases} \overset{m=2}{\longrightarrow} \begin{cases} m=2 \\ q=7-4 \cdot 2 \end{cases} \to \begin{cases} m=2 \\ q=-1\end{cases} $$
Ecco dunque che abbiamo i due parametri che possiamo sostituire nell’equazione generale della retta passante per i due punti
$$ y= mx+q \overset{\begin{cases} m=2 \\ q=-1\end{cases} }{\longrightarrow} y=2x-1 $$
SCOPRI LA GEOMETRIA CARTESIANA
Impara tutti i segreti della geometria cartesiana (analitica) in un percorso che parte dalla retta, passando per la parabola, l’ellisse e l’iperbole
ESEMPIO 2 – RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI
Determina la retta r che passa per i punti A(1,4) e B(–3,5)
Cominciamo con il rappresentare il disegno e costruiamo il sistema dove andiamo ad imporre il passaggio dei punti all’interno dell’equazione generale della retta:
$$ mx+q=y $$
Sistema che diventa:
$$ \begin{array}{l} A(1,4) \to \\ B(-3,5) \to \end{array} \begin{cases} m+q=4 \\ -3m+q=5 \end{cases} $$
METODO DEL DETERMINANTE
Scegliamo questa Volta di risolvere il sistema in questione:
$$ \begin{cases} m+q=4 \\ -3m+q=5 \end{cases} $$
con il metodo del determinante.
Ricordiamo che tale metodo permette di ricavare il valore delle incognite dividendo il determinante associato ad ogni incognita per il determinante del sistema.
$$ \begin{cases} m= \frac{\Delta_m}{\Delta} \\ q= \frac{\Delta_q}{\Delta} \end{cases} \ \text{dove}\ \ \begin{array}{l} \text{ $\Delta $ è il determinante del sistema} \\ \text{$\Delta_m$ è il determinante della $m$} \\ \text{$\Delta$ è il determinante della $q$} \end{array} $$
Per calcolare tutti i determinanti risulta obbligatori scrivere il sistema come sopra, dunque prima la m, poi la q uguale ai numeri:
$$ \begin{cases} m+q=4 \\ -3m+q=5 \end{cases} $$
Per prima cosa calcoliamo il determinante del sistema:
$$ \Delta = \left| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ -3 & 1 \end{array} \right| = 1 \cdot 1 -(-3) \cdot 1 = 1+3= 4 $$
Procediamo poi con il calcolo dei determinanti di m e q riscrivendo la matrice del sistema e sostituendo le colonne dei coefficienti delle incognite con i termini noti:
$$ \begin{array}{l} \Delta_m = \left| \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} \right| &=& 4 \cdot 1 -5 \cdot 1 = 4-5=-1\\ \Delta_q = \left| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ -3 & 5 \end{array} \right| &=& 1 \cdot 5 -(-3) \cdot 4 = 5+12=17 \end{array} $$
Infine otteniamo le nostre incognite dividendo il determinante associato ad ogni incognita per il determinate di sistema:
$$ \Delta = 4 \quad \Delta_m= -1 \quad \Delta_q= 17 \\ \ \\ \begin{cases} m= \frac{\Delta_m}{\Delta} = -\frac{1}{4} \\ q= \frac{\Delta_q}{\Delta} = \frac{17}{4} \end{cases}$$
Ed ecco che l’equazione della retta passante per i due punti risulta essere:
$$ r: \quad y = -\frac{1}{4} + \frac{17}{4} $$
Se vogliamo esprimere la retta nella fora implicita possiamo moltiplicare ambo i meri per 4 e spostare tutto a sinistra:
$$ r: \quad x+4y-17=0 $$
RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI – METODO DEL DETERMINANTE NULLO
Un altro modo abbastanza particolare per determinare l’equazione della retta passante per due punti è quello che sfrutta le proprietà die vettori e del determinante.
Consideriamo due punti generici A e B:
$$ A(x_A, y_A) \quad B(x_B, y_B) $$
Per avvicinarci di più alla teoria die vettori scriviamoli come vettori colonna in questo modo:
$$ A= \begin{pmatrix} x_A \\ y_A \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} x_B \\ y_B \end{pmatrix} $$
Ora consideriamo un generico punto appartenente alla retta che vogliamo determinare:
$$ P = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in r\ \text{ passante per $AB$} $$
Costruiamo in seguito due vettori che sono dati dalla differenza tra B e A e tra P e A:
$$ v_1= B-A = \begin{pmatrix} x_B -x_A \\ y_B -y_A \end{pmatrix} \\ \ \\ v_2= P-A = \begin{pmatrix} x -x_A \\ y -y_A \end{pmatrix} $$
L’ultimo step per determinare la retta passante per i due punti è quello di imporre il determinante della matrice ottenuta da questi due vettori uguale a zero.
$$ \left| \begin{array}{c} v_1 & v_2 \end{array} \right| = 0 $$
RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI – METODO DEL DETERMINANTE NULLO
Vediamo un esempio pratico e determiniamo la retta passante per i punti A e B
$$ A = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix} $$
Consideriamo dunque un generico punto (x,y) della nostra retta:
$$ P = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$
Costruiamo quindi i due vettori differenza:
$$ \begin{array}{l} v_1= B-A = \begin{pmatrix} -3-1 \\ 5-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\\ 1 \end{pmatrix} \\ \ \\ v_2= P-A = \begin{pmatrix} x -1 \\ y -4 \end{pmatrix} \end{array} $$
Andiamo adesso ad imporre il determinante della matrice con questi due vettori uguale a zero:
$$ \left| \begin{array}{c} v_1 & v_2 \end{array} \right| = 0 \to \left| \begin{array}{c} -4 & x-1 \\ 1 & y-4 \end{array} \right| = 0 $$
Applichiamo dunque il calcolo del determinante e determiniamo l’equazione della retta:
$$ \begin{array}{l} -4(y-4)-1(x-1)=0 \\ 4(y-4)+1(x-1)=0 \\ 4y-16+x-1=0 \\ x+4y-17=0 \end{array} $$
HAI QUALCHE DOMANDA ?
Se hai qualche domanda scrivila nei commenti.
SCOPRI IL CORSO DI GEOMETRIA CARTESIANA
Apprendi le cose più importanti della geometria cartesiana (o geometria analitica)
Un percorso increbile che parte dal piano cartesiano e le rette, e prosegue nell’avvincente mondo delle parabole, le ellissi e le iperboli.
L’ARTICOLO TI è PIACIUTO ?
Se questo contenuto ti è piaciuto e vorresti che anche altri utenti possano goderne di questo ed altri ancora sostieni il progetto offrendomi un semplice caffè virtuale
Questo semplice gesto per me significa moltissimo e può essere un forte impulso per lo sviluppo di tutto il progetto di divulgazione matematica
Visita il canale YouTube!