Per trovare la retta passante per due punti A e B basta che costruiamo un sistema lineare con le retta e imponiamo il passaggio per entrami i punti ottenendo un sistema lineare con due equazioni e due incognite.
Supponiamo infatti di avere due punti A e B di coordinate generiche:
$$ A(x_A, y_A) \quad B(x_B, y_B) $$
Ora consideriamo una generiche retta r scritta della forma esplicita:
$$ r: \quad y= mx+q $$
che possiamo esprimere anche leggendo da destra verso sinistra:
$$ mx+q= y $$
Se vogliamo che i nostri due punti A e B appartengo alla retta: in questione, ovvero che:
$$ A,B \in r: \quad mx+q= y $$
Costruiamo un sistema in cui imponiamo il passaggio per i due punti.
Detto in parole più semplici basta che riscriviamo l’equazione della retta sostituendo al posto della x e della y le coordinate dei due punti.
In questo modo otteniamo il seguente sistema lineare:
$$ \begin{cases} mx_A+q= y_A \\ mx_B+q= y_B \end{cases} $$
Dalla soluzione di questo sistema otteniamo i due parametri m (coefficiente angolare) e q (ordinata all’origine) che ci danno l’equazione della retta passante per i due punti.
ESEMPIO 1 – RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI
Vediamo subito un esempio di come determinare praticamente l’equazione della retta passante per due punti.
Determina la retta r che passa per i punti A(2,3) e B(4,7)
Per prima cosa andiamo a rappresentare graficamente la situazione disegnando i due punti e la retta che passa per questi.
IMPONIAMO IL PASSAGGIO PER I PUNTI NELLA GENERICA RETTA
Consideriamo ora una generiche retta r scritta della forma esplicita:
$$ y = mx+q $$
che possiamo esprimere anche leggendo da destra verso sinistra:
$$ mx+q=y $$
Se vogliamo che i nostri due punti A e B appartengo alla retta: in questione, ovvero che:
$$ A,B \in r: \quad mx+q $$
Costruiamo un sistema in cui imponiamo il passaggio per i due punti.
Ovvero sostituiamo le coordinate dei punti al posto della x e della y
$$ \begin{array}{l} A(2,3) \to \\ B(4,7) \to \end{array} \begin{cases} 2m+q=3 \\ 4m+q=7 \end{cases} $$
Come si può facilmente notare si tratta di un sistema lineare con due equazioni e due incognite
RISOLVIAMO IL SISTEMA LINEARE – CONFRONTO
A questo punto dobbiamo risolvere il sistema lineare.
$$ \begin{cases} 2m+q=3 \\ 4m+q=7 \end{cases} $$
Per farlo ricordiamo che abbiamo a disposizione diversi metodi tra i quali:
- Sostituzione
- Confronto
- Riduzione
- Determinante
- Grafico
Cominciamo con l’applicare il metodo del confronto.
In questo caso possiamo ricavare il valore della q in modo semplice da entrambe le equazioni.
$$ \begin{cases} 2m+q=3 \\ 4m+q=7 \end{cases} \quad \to \quad \begin{cases} q=3-2m \\ q=7-4m \end{cases} $$
Adesso possiamo eguagliare (confrontare) i valori della q che sono determinati in funzione di m
$$ 3-2m=7-4m $$
Si tratta ora di risolvere una banale equazione di primo grado in m:
$$ 4m-2m=7-3 \to 2m=4 \to m=2 $$
Adesso che abbiamo il valore di m possiamo riscrivere il sistema tenendo una delle due equazioni.
Per ottenere dunque il valore della q ci basta sostituire il valore di m che abbiamo appena calcolato:
$$ \begin{cases} m=2 \\ q=7-4m \end{cases} \overset{m=2}{\longrightarrow} \begin{cases} m=2 \\ q=7-4 \cdot 2 \end{cases} \to \begin{cases} m=2 \\ q=-1\end{cases} $$
Ecco dunque che abbiamo i due parametri che possiamo sostituire nell’equazione generale della retta passante per i due punti
$$ y= mx+q \overset{\begin{cases} m=2 \\ q=-1\end{cases} }{\longrightarrow} y=2x-1 $$
ESEMPIO 2 – RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI
Determina la retta r che passa per i punti A(1,4) e B(–3,5)
Cominciamo con il rappresentare il disegno e costruiamo il sistema dove andiamo ad imporre il passaggio dei punti all’interno dell’equazione generale della retta:
$$ mx+q=y $$
Sistema che diventa:
$$ \begin{array}{l} A(1,4) \to \\ B(-3,5) \to \end{array} \begin{cases} m+q=4 \\ -3m+q=5 \end{cases} $$
METODO DEL DETERMINANTE
Scegliamo questa Volta di risolvere il sistema in questione:
$$ \begin{cases} m+q=4 \\ -3m+q=5 \end{cases} $$
con il metodo del determinante.
Ricordiamo che tale metodo permette di ricavare il valore delle incognite dividendo il determinante associato ad ogni incognita per il determinante del sistema.
$$ \begin{cases} m= \frac{\Delta_m}{\Delta} \\ q= \frac{\Delta_q}{\Delta} \end{cases} \ \text{dove}\ \ \begin{array}{l} \text{ $\Delta $ è il determinante del sistema} \\ \text{$\Delta_m$ è il determinante della $m$} \\ \text{$\Delta$ è il determinante della $q$} \end{array} $$
Per calcolare tutti i determinanti risulta obbligatori scrivere il sistema come sopra, dunque prima la m, poi la q uguale ai numeri:
$$ \begin{cases} m+q=4 \\ -3m+q=5 \end{cases} $$
Per prima cosa calcoliamo il determinante del sistema:
$$ \Delta = \left| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ -3 & 1 \end{array} \right| = 1 \cdot 1 -(-3) \cdot 1 = 1+3= 4 $$
Procediamo poi con il calcolo dei determinanti di m e q riscrivendo la matrice del sistema e sostituendo le colonne dei coefficienti delle incognite con i termini noti:
$$ \begin{array}{l} \Delta_m = \left| \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} \right| &=& 4 \cdot 1 -5 \cdot 1 = 4-5=-1\\ \Delta_q = \left| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ -3 & 5 \end{array} \right| &=& 1 \cdot 5 -(-3) \cdot 4 = 5+12=17 \end{array} $$
Infine otteniamo le nostre incognite dividendo il determinante associato ad ogni incognita per il determinate di sistema:
$$ \Delta = 4 \quad \Delta_m= -1 \quad \Delta_q= 17 \\ \ \\ \begin{cases} m= \frac{\Delta_m}{\Delta} = -\frac{1}{4} \\ q= \frac{\Delta_q}{\Delta} = \frac{17}{4} \end{cases}$$
Ed ecco che l’equazione della retta passante per i due punti risulta essere:
$$ r: \quad y = -\frac{1}{4} + \frac{17}{4} $$
Se vogliamo esprimere la retta nella fora implicita possiamo moltiplicare ambo i meri per 4 e spostare tutto a sinistra:
$$ r: \quad x+4y-17=0 $$
RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI – METODO DEL DETERMINANTE NULLO
Un altro modo abbastanza particolare per determinare l’equazione della retta passante per due punti è quello che sfrutta le proprietà die vettori e del determinante.
Consideriamo due punti generici A e B:
$$ A(x_A, y_A) \quad B(x_B, y_B) $$
Per avvicinarci di più alla teoria die vettori scriviamoli come vettori colonna in questo modo:
$$ A= \begin{pmatrix} x_A \\ y_A \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} x_B \\ y_B \end{pmatrix} $$
Ora consideriamo un generico punto appartenente alla retta che vogliamo determinare:
$$ P = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in r\ \text{ passante per $AB$} $$
Costruiamo in seguito due vettori che sono dati dalla differenza tra B e A e tra P e A:
$$ v_1= B-A = \begin{pmatrix} x_B -x_A \\ y_B -y_A \end{pmatrix} \\ \ \\ v_2= P-A = \begin{pmatrix} x -x_A \\ y -y_A \end{pmatrix} $$
L’ultimo step per determinare la retta passante per i due punti è quello di imporre il determinante della matrice ottenuta da questi due vettori uguale a zero.
$$ \left| \begin{array}{c} v_1 & v_2 \end{array} \right| = 0 $$
RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI – METODO DEL DETERMINANTE NULLO
Vediamo un esempio pratico e determiniamo la retta passante per i punti A e B
$$ A = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix} $$
Consideriamo dunque un generico punto (x,y) della nostra retta:
$$ P = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$
Costruiamo quindi i due vettori differenza:
$$ \begin{array}{l} v_1= B-A = \begin{pmatrix} -3-1 \\ 5-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\\ 1 \end{pmatrix} \\ \ \\ v_2= P-A = \begin{pmatrix} x -1 \\ y -4 \end{pmatrix} \end{array} $$
Andiamo adesso ad imporre il determinante della matrice con questi due vettori uguale a zero:
$$ \left| \begin{array}{c} v_1 & v_2 \end{array} \right| = 0 \to \left| \begin{array}{c} -4 & x-1 \\ 1 & y-4 \end{array} \right| = 0 $$
Applichiamo dunque il calcolo del determinante e determiniamo l’equazione della retta:
$$ \begin{array}{l} -4(y-4)-1(x-1)=0 \\ 4(y-4)+1(x-1)=0 \\ 4y-16+x-1=0 \\ x+4y-17=0 \end{array} $$
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