Esercizi Svolti sui Limiti: Forma Indeterminata $\infty / \infty$ (Gerarchie)

In questo articolo affrontiamo esercizi sui limiti nella forma indeterminata $\frac{\infty}{\infty}$ (infinito su infinito).

Quando sia il numeratore che il denominatore tendono all’infinito, per capire chi “vince” (o se pareggiano), dobbiamo guardare alla velocità con cui vanno all’infinito.

Questi esercizi sono presenti nel quiz correlato .

Ripasso: La Scala degli Infiniti

Per $x \to +\infty$, le funzioni principali si ordinano così (dalla più lenta alla più veloce):

$$\ln x \ll x^n \ll a^x \ll x^x$$

• Regola d’Oro: Nel calcolo del limite, “sopravvive” solo il termine più veloce (dominante). Gli altri possono essere trascurati (cancellati).
• Attenzione: Per $x \to -\infty$, la gerarchia cambia! Esempio: $e^x \to 0$ (non è più un infinito), mentre $x^2 \to +\infty$ (diventa il termine dominante).

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Esercizi Svolti sui limiti nella forma infinito su infinito

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

Livello Semplice (Polinomi)

Esercizio 1: Grado Num > Grado Den

Domanda: Calcola $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 – 2x + 1}{2x^2 + 5}$.

Risposta Corretta: $+\infty$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

• Analisi: Polinomio grado 3 fratto polinomio grado 2.
• Metodo Veloce: Vincono i termini di grado massimo: $\frac{x^3}{2x^2}$.
• Semplificazione: $\frac{x}{2} \to +\infty$.

Esercizio 2: Gradi Uguali

(Ispirato a WA0002 – Es. 10)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2 – 3x + 2}{3x + 2x^2 + 1}$.

Risposta Corretta: $2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

• Termini Dominanti: Al numeratore $4x^2$. Al denominatore $2x^2$ (attenzione all’ordine!).
• Rapporto: $\frac{4x^2}{2x^2} = \frac{4}{2} = 2$.

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Livello Intermedio (Gerarchia Base)

Esercizio 3: Logaritmo vs Potenza

Domanda: Calcola $\lim_{x \to +\infty} \frac{5 \ln x + 2}{x – 1}$.

Risposta Corretta: $0$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

• Gerarchia: La potenza $x$ è un infinito di ordine superiore rispetto al logaritmo $\ln x$.
• Conclusione: Vince il denominatore. Il limite vale $0$.

Esercizio 4: Esponenziale vs Potenza

Domanda: Calcola $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x – x^5}{x^2 + 1}$.

Risposta Corretta: $+\infty$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

• Numeratore: Tra $e^x$ e $x^5$, vince $e^x$.
• Denominatore: Tra $x^2$ e $1$, vince $x^2$.
• Limite approssimato: $\frac{e^x}{x^2}$.
• Gerarchia: L’esponenziale al numeratore batte la potenza al denominatore. Il risultato è $+\infty$.

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Livello Avanzato (Gerarchie Complesse e Miste)

Esercizio 5: Somme di Esponenziali (Basi diverse)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to +\infty} \frac{2^x + 3^x}{3^x – 5}$.

Risposta Corretta: $1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

• Analisi: Tra gli esponenziali, vince quello con la base maggiore ($3^x$).
• Numeratore: $3^x( (2/3)^x + 1 ) \sim 3^x$ (perché $(2/3)^x \to 0$).
• Denominatore: $3^x(1 – 5/3^x) \sim 3^x$.
• Rapporto: $\frac{3^x}{3^x} = 1$.

Esercizio 6: Misto Logaritmi ed Esponenziali

(Ispirato a WA0002 – Es. 7)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to +\infty} \frac{2e^x – 5x + \ln(1/x)}{4\ln x + 2x – 2}$.

Risposta Corretta: $+\infty$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

• Numeratore: Abbiamo $e^x$ (infinito molto forte), $5x$ (infinito debole) e $\ln(1/x) = -\ln x$ (infinito debolissimo). Dominante: $2e^x$.
• Denominatore: Abbiamo $\ln x$ e $2x$. Dominante: $2x$.
• Limite semplificato: $\lim_{x \to +\infty} \frac{2e^x}{2x} = \lim \frac{e^x}{x}$.
• Gerarchia: Vince l’esponenziale sopra. Risultato $+\infty$.

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Livello Molto Avanzato (Gerarchie a $-\infty$ e Casi Tricky)

Esercizio 7: Gerarchia a $+\infty$ (Coefficienti)

(Ispirato a WA0002 – Es. 8)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to +\infty} \frac{2e^x – 5x + \ln x}{3\ln x + 3e^x + x^2}$.

Risposta Corretta: $2/3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

• Numeratore ($x \to +\infty$): Il termine più veloce è $e^x$. (Coeff. $2$).
• Denominatore ($x \to +\infty$): Il termine più veloce è $e^x$ (batte $x^2$ e $\ln x$). (Coeff. $3$).
• Calcolo: Trascuriamo tutto tranne i dominanti.$\lim_{x \to +\infty} \frac{2e^x}{3e^x} = \frac{2}{3}$.

Esercizio 8: Gerarchia a $-\infty$ (Cambio Dominante)

(Ispirato a WA0002 – Es. 9)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to -\infty} \frac{2e^x – 5x^2 + \ln|x|}{3\ln|x| + 3e^x + 4x^2}$.

Risposta Corretta: $-5/4$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

• Attenzione: $x \to -\infty$.
  • $e^x \to 0$ (Diventa un numero piccolissimo, sparisce!).
  • $x^2 \to +\infty$ (Diventa l’infinito dominante).
  • $\ln|x| \to +\infty$ (Infinito più lento di $x^2$).
• Termini Dominanti:
  • Num: $-5x^2$.
  • Den: $+4x^2$.
• Calcolo: $\lim_{x \to -\infty} \frac{-5x^2}{4x^2} = -\frac{5}{4}$.

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Livello Molto Molto Avanzato (Radici e Segni)

Esercizio 9: Radice Quadrata a $-\infty$

Domanda: Calcola $\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{3x – 2}$.

Risposta Corretta: $-2/3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

• Numeratore: Estraggo $x^2$ dalla radice. $\sqrt{x^2(4 + \dots)} = |x|\sqrt{4} = 2|x|$.
• Modulo: Poiché $x \to -\infty$, $|x| = -x$.Quindi il Num si comporta come $-2x$.
• Denominatore: Si comporta come $3x$.
• Limite: $\frac{-2x}{3x} = -\frac{2}{3}$.

Esercizio 10: Radice Cubica e Modulo

(Ispirato a WA0002 – Es. 4 modificato)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt[3]{x^3 – x}}{|x| + 1}$.

Risposta Corretta: $-1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

• Numeratore: Radice cubica di $x^3$ è $x$ (mantiene il segno).$\sqrt[3]{x^3(1-\dots)} \sim x$.
• Denominatore: $|x|$ per $x \to -\infty$ vale $-x$.Quindi $-x + 1 \sim -x$.
• Limite: $\frac{x}{-x} = -1$.

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Tanti esercizi sui limiti nella forma + infinito – infinito.