Esercizi Svolti sui Limiti: Forma Indeterminata $+\infty – \infty$

In questo articolo affrontiamo esercizi sui limiti nella forma indeterminata $+\infty – \infty$ (+ infinito – infinito).

Questa situazione si verifica quando sottraiamo due quantità che tendono entrambe all’infinito. Per risolvere l’indeterminazione e capire “chi vince” (o se si bilanciano finendo in un numero), usiamo due strategie:

1. Scala degli Infiniti (Gerarchia): Utile quando le funzioni sono di “famiglie” diverse.
   • Ordine di grandezza crescente (per $x \to +\infty$):$$\ln x \ll x^n \ll a^x \ll x^x$$
   • “Vince” il termine di ordine superiore; raccogliendo il termine dominante, l’indeterminazione sparisce.
2. Razionalizzazione: Utile quando abbiamo radici dello stesso ordine e con lo stesso coefficiente dominante (es. $\sqrt{x^2…} – x$). Qui dobbiamo moltiplicare per il coniugato per “sciogliere” la differenza.

Questi esercizi sono presenti nel quiz correlato [(Nota per te: inserire link al quiz)].

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Esercizi Svolti limiti + infinito – infinito

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

Livello Semplice (Polinomi e Scala degli Infiniti)

Esercizio 1: Polinomio (Raccoglimento)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to +\infty} (x^3 – 2x^4 + x)$.

Risposta Corretta: $-\infty$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

• Analisi: È una forma $\infty – \infty$. In un polinomio comanda sempre il termine di grado massimo.
• Metodo: Raccogliamo la $x$ di grado massimo ($x^4$).$\lim_{x \to +\infty} x^4 (\frac{1}{x} – 2 + \frac{1}{x^3})$.
• Calcolo: $(+\infty) \cdot (0 – 2 + 0) = (+\infty) \cdot (-2) = -\infty$.

Esercizio 2: Gerarchia (Esponenziale vs Potenza)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to +\infty} (x^{10} – e^x)$.

Risposta Corretta: $-\infty$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

• Analisi: Abbiamo una potenza ($x^{10}$) contro un esponenziale ($e^x$).
• Gerarchia: L’esponenziale cresce molto più velocemente di qualsiasi potenza. “Vince” $-e^x$.
• Formalmente: Raccogliamo $e^x$.$\lim_{x \to +\infty} e^x (\frac{x^{10}}{e^x} – 1)$.Per la gerarchia, $\frac{x^{10}}{e^x} \to 0$.Quindi: $(+\infty) \cdot (0 – 1) = -\infty$.

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Livello Intermedio (Razionalizzazione Quadrata Base)

Esercizio 3: Radice meno Polinomio (Caso Base)

(Ispirato a WA0004 – Es. 1)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 – 3x + 2} – x)$.

Risposta Corretta: $-3/2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

• Analisi: $\sqrt{x^2} \approx x$, quindi abbiamo $x – x$. Serve razionalizzare.
• Razionalizzazione: Moltiplico e divido per $(\sqrt{\dots} + x)$.$$\frac{(\sqrt{x^2-3x+2}-x)(\sqrt{x^2-3x+2}+x)}{\sqrt{x^2-3x+2}+x} = \frac{(x^2-3x+2) – x^2}{\sqrt{x^2-3x+2}+x}$$
• Semplificazione Num: $-3x + 2$.
• Raccoglimento Den: $\sqrt{x^2(1 – \dots)} + x \approx |x| + x = x + x = 2x$.
• Limite: $\lim_{x \to +\infty} \frac{-3x}{2x} = -3/2$.

Esercizio 4: Coefficiente diverso da 1

(Ispirato a WA0004 – Es. 3)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to +\infty} (2x – \sqrt{4x^2 – 5x})$.

Risposta Corretta: $5/4$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

• Analisi: $2x – \sqrt{4x^2} \approx 2x – 2x$. Indeterminato.
• Razionalizzazione: Fattore $(2x + \sqrt{4x^2-5x})$.Num: $(2x)^2 – (4x^2 – 5x) = 4x^2 – 4x^2 + 5x = 5x$.
• Denominatore: $2x + \sqrt{4x^2(1-\dots)} \sim 2x + 2x = 4x$.
• Limite: $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x}{4x} = 5/4$.

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Livello Avanzato (Logaritmi e Razionalizzazione Complessa)

Esercizio 5: Differenza di Logaritmi

Domanda: Calcola $\lim_{x \to +\infty} (\ln(2x+1) – \ln(x+3))$.

Risposta Corretta: $\ln 2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

• Proprietà Log: $\log A – \log B = \log(A/B)$.$\lim_{x \to +\infty} \ln \left( \frac{2x+1}{x+3} \right)$.
• Limite Argomento: Per $x \to +\infty$, $\frac{2x}{x} \to 2$.
• Risultato: $\ln 2$.

Esercizio 6: Razionalizzazione con coefficiente “nascosto”

(Ispirato a WA0004 – Es. 6)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to +\infty} (3x – \sqrt{9x^2 – 5x + 4})$.

Risposta Corretta: $5/6$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

• Razionalizzazione: Moltiplico per $(3x + \sqrt{\dots})$.
• Numeratore: $(3x)^2 – (9x^2 – 5x + 4) = 9x^2 – 9x^2 + 5x – 4 = 5x – 4$.
• Denominatore: $3x + \sqrt{9x^2(1-\dots)} \sim 3x + 3x = 6x$.
• Limite: $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x}{6x} = 5/6$.

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Livello Molto Avanzato (Radici Cubiche e Gerarchie Miste)

Esercizio 7: Radice Cubica

(Ispirato a WA0004 – Es. 11)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt[3]{x^3 – x^2} – x)$.

Risposta Corretta: $-1/3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

• Formula: $A – B = \frac{A^3 – B^3}{A^2 + AB + B^2}$.Qui $A = \sqrt[3]{x^3-x^2}$ e $B = x$.
• Numeratore ($A^3-B^3$): $(x^3 – x^2) – x^3 = -x^2$.
• Denominatore: $A^2 \sim (x^3)^{2/3} = x^2$; $AB \sim x \cdot x = x^2$; $B^2 = x^2$.Totale Den: $x^2 + x^2 + x^2 = 3x^2$.
• Limite: $\lim_{x \to +\infty} \frac{-x^2}{3x^2} = -1/3$.

Esercizio 8: Gerarchia complessa (Log, Potenza, Esp)

(Ispirato a WA0002 – Es. 5)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to +\infty} (x^2 – 3\ln(x^3) – 2e^x)$.

Risposta Corretta: $-\infty$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

• Analisi: Abbiamo Potenza ($x^2$), Logaritmo ($\ln$) ed Esponenziale ($-e^x$).
• Gerarchia: L’esponenziale $e^x$ domina su tutti gli altri termini.
• Segno: Poiché il termine dominante ha segno meno ($-2e^x$), il limite va a $-\infty$.
• Raccoglimento Formale: $e^x (\frac{x^2}{e^x} – \frac{9\ln x}{e^x} – 2) \to (+\infty)(0 – 0 – 2) = -\infty$.

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Livello Molto Molto Avanzato (Doppia Razionalizzazione e Casi Misti)

Esercizio 9: Differenza tra due Radici Cubiche

(Ispirato a WA0004 – Es. 12)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt[3]{x^3 + x^2} – \sqrt[3]{x^3 – x^2})$.

Risposta Corretta: $2/3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

• Strategia: Usiamo la formula $A – B = \frac{A^3 – B^3}{A^2 + AB + B^2}$.
• Numeratore: $(x^3 + x^2) – (x^3 – x^2) = 2x^2$.
• Denominatore:
  • $A^2 \sim (\sqrt[3]{x^3})^2 = x^2$.
  • $AB \sim x \cdot x = x^2$.
  • $B^2 \sim x^2$.
  • Somma $\approx 3x^2$.
• Limite: $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2}{3x^2} = 2/3$.

Esercizio 10: Radice Quadrata vs Cubica (Trick)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+x} – \sqrt[3]{x^3-x^2})$.

Risposta Corretta: $1/2 – (-1/3) = 5/6$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

• Metodo: Aggiungiamo e sottraiamo $x$ per separare i limiti.$(\sqrt{x^2+x} – x) – (\sqrt[3]{x^3-x^2} – x)$.
• Parte 1 ($\sqrt{x^2+x} – x$): Razionalizzando (radice quadrata) otteniamo $\frac{x}{2x} = 1/2$.
• Parte 2 ($\sqrt[3]{x^3-x^2} – x$): Razionalizzando (radice cubica, vedi Es. 7) otteniamo $-1/3$.
• Totale: $1/2 – (-1/3) = 1/2 + 1/3 = 5/6$.

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Tanti esercizi sui limiti nella forma + infinito – infinito.