Esercizi Svolti sui Limiti: Teorema di De L’Hôpital

In questo articolo affrontiamo il Teorema di De L’Hôpital, il “coltellino svizzero” dei limiti.

Il teorema afferma che, sotto certe ipotesi (funzioni derivabili), se un limite si presenta nella forma $0/0$ o $\infty/\infty$, allora:

$$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

Ovvero, il limite del rapporto delle funzioni è uguale al limite del rapporto delle loro derivate.

Attenzione:

1. Non derivare come frazione ($\frac{f’g – fg’}{g^2}$)! Devi derivare numeratore e denominatore separatamente.
2. Si può applicare solo a $0/0$ e $\infty/\infty$. Le altre forme ($0 \cdot \infty$, $\infty – \infty$, $1^\infty$) vanno prima trasformate.

Questi esercizi sono presenti nel quiz correlato.

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Esercizi Svolti sui limiti con il teorema di L’Hôpital

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

Livello Semplice (Applicazione Diretta)

Esercizio 1: Forma $0/0$ Semplice

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} – 1}{\sin(3x)}$.

Risposta Corretta: $2/3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

• Sostituzione: $e^0 – 1 = 0$; $\sin 0 = 0$. Forma $0/0$.
• De L’Hôpital: Deriviamo Num e Den.
  • $D[e^{2x} – 1] = 2e^{2x}$.
  • $D[\sin(3x)] = 3\cos(3x)$.
• Nuovo Limite: $\lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{3\cos(3x)}$.
• Calcolo: $\frac{2 \cdot e^0}{3 \cdot \cos 0} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3}$.

Esercizio 2: Forma $\infty / \infty$ (Log vs Polinomio)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^2}$.

Risposta Corretta: $0$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

• Sostituzione: $\infty / \infty$.
• De L’Hôpital:
  • $D[\ln x] = 1/x$.
  • $D[x^2] = 2x$.
• Nuovo Limite: $\lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2x^2}$.
• Calcolo: $\frac{1}{+\infty} = 0$.

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Livello Intermedio (Applicazione Iterata e Prodotti)

Esercizio 3: De L’Hôpital Doppio

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 0} \frac{e^x – x – 1}{x^2}$.

Risposta Corretta: $1/2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

• Sostituzione: $1 – 0 – 1 = 0$ su $0$. Forma $0/0$.
• Hopital 1: $D[e^x-x-1] = e^x – 1$; $D[x^2] = 2x$.Limite: $\frac{e^x – 1}{2x}$. (Ancora $0/0$).
• Hopital 2: Deriviamo di nuovo.
  • $D[e^x – 1] = e^x$.
  • $D[2x] = 2$.
• Nuovo Limite: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$.

Esercizio 4: Forma $0 \cdot \infty$ (Trasformazione)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 0^+} x \cdot \ln x$.

Risposta Corretta: $0$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

• Sostituzione: $0 \cdot (-\infty)$. Non applicabile subito.
• Trucco: Scriviamo $x \cdot \ln x = \frac{\ln x}{1/x}$. Ora è $\frac{-\infty}{+\infty}$.
• De L’Hôpital:
  • $D[\ln x] = 1/x$.
  • $D[1/x] = -1/x^2$.
• Semplificazione: $\frac{1/x}{-1/x^2} = \frac{1}{x} \cdot (-x^2) = -x$.
• Limite: $\lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$.

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Livello Avanzato (Differenze e Potenze)

Esercizio 5: Forma $\infty – \infty$ (Frazione)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\sin x} – \frac{1}{x} \right)$.

Risposta Corretta: $0$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

• Sostituzione: $\infty – \infty$.
• M.C.M.: Trasformiamo in una frazione unica.$\frac{x – \sin x}{x \sin x}$. (Ora è $0/0$).
• Hopital 1:
  • Num: $1 – \cos x$.
  • Den: $\sin x + x \cos x$ (derivata del prodotto).
  • Limite: $\frac{1 – \cos x}{\sin x + x \cos x}$ (Ancora $0/0$).
• Hopital 2:
  • Num: $\sin x$.
  • Den: $\cos x + (\cos x – x \sin x) = 2\cos x – x \sin x$.
• Calcolo: $\frac{\sin 0}{2\cos 0 – 0} = \frac{0}{2} = 0$.

Esercizio 6: Esponenziale che “vince”

Domanda: Calcola $\lim_{x \to +\infty} x^3 e^{-x}$.

Risposta Corretta: $0$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

• Forma: $\infty \cdot 0$. Trasformiamo in $\frac{x^3}{e^x}$ ($\infty/\infty$).
• Hopital (3 volte):
  1. $\frac{3x^2}{e^x}$
  2. $\frac{6x}{e^x}$
  3. $\frac{6}{e^x}$
• Calcolo Finale: $\frac{6}{+\infty} = 0$.

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Livello Molto Avanzato (Esponenziali generalizzati)

Esercizio 7: Forma $0^0$ ($x^x$)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 0^+} x^x$.

Risposta Corretta: $1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

• Trasformazione: Usiamo l’identità $f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$.$x^x = e^{x \ln x}$.
• Analisi Esponente: Calcoliamo $\lim_{x \to 0^+} (x \ln x)$.Dall’Esercizio 4 sappiamo che fa $0$.
• Limite Finale: $e^0 = 1$.

Esercizio 8: Forma $1^\infty$

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{\frac{1}{x}}$.

Risposta Corretta: $e^2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

• Trasformazione: $e^{\frac{1}{x} \ln(1+2x)} = e^{\frac{\ln(1+2x)}{x}}$.
• Analisi Esponente: $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+2x)}{x}$ è $0/0$.
• Hopital sull’esponente:
  • Num: $\frac{1}{1+2x} \cdot 2 = \frac{2}{1+2x}$.
  • Den: $1$.
  • Limite: $\frac{2}{1} = 2$.
• Risultato: $e^2$.

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Livello Molto Molto Avanzato (Casi Tricky)

Esercizio 9: Rapporto di Logaritmi

Domanda: Calcola $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(\sin x)}{\ln x}$.

Risposta Corretta: $1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

• Sostituzione: $\frac{\ln(0^+)}{\ln(0^+)} = \frac{-\infty}{-\infty}$.
• Hopital:
  • Num: $\frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$.
  • Den: $1/x$.
• Nuova forma: $\frac{\cot x}{1/x} = x \cdot \cot x = x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x \cdot \frac{x}{\sin x}$.
• Limiti Notevoli: $\cos 0 = 1$ e $\frac{x}{\sin x} \to 1$.
• Risultato: $1 \cdot 1 = 1$.

Esercizio 10: “Ciclo” di Hopital (quando non usarlo)

Domanda: Calcola $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$. (Provando Hopital…).

Risposta Corretta: $1$ (ma Hopital fallisce/cicla).

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

• Sostituzione: $\infty/\infty$.
• Hopital:
  • Num: $\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
  • Den: $1$.
  • Risultato: $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$. Siamo tornati al reciproco della funzione di partenza!
• Conclusione: De L’Hôpital qui entra in un loop infinito. Bisogna risolvere raccogliendo la $x$:$\frac{\sqrt{x^2(1+1/x^2)}}{x} = \frac{x\sqrt{1+…}}{x} \to 1$.

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