TEOREMA DI DE L’HOSPITAL
Il teorema di Hospital è un teorema molto importante nella matematica dei limiti.
Esso di permette di risolvere, sotto opportune ipotesi, il limite associato ad un rapporto tra funzioni quando si determina una forma di indecisione del tipo:
- Infinito / infinito
- Zero / zero
Vediamo quindi di enunciarlo per esteso con opportuni esempi.
Prima di andare a vedere il teorema cerchiamo di capire chi era Hospital
ENUNCIATO DEL TEOREMA
Siano f,g due funzioni ad una variabile reale, derivabili in un certo intervallo (a,b).
con derivata prima g’ diverso da zero all’interno dell’intervallo (a,b).
Sia x0 un punto di accumulazione del dominio appartenente ad (a,b)
Se valgono le seguenti ipotesi
Il che significa affermare che il limite per x che tende a x0 del rapporto delle funzioni crea una forma indeterminata del tipo:
- Infinito / infinito (∞/∞)
- Zero / zero (0/0)
Supponendo inoltre che il limite per x che tende a x0 del rapporto tra le derivate prime dia una forma determinata, quindi:
- un numero reale
- infinito
Allora è possibile calcolare il limite del rapporto tra le funzioni con il limite del rapporto tra le derivate
ESEMPI
Partiamo con due esempi molto semplici dell’applicazione del teorema di Hospital.
Il primo riguarderà una forma del tipo 0/0, mentre il secondo cuna forma ∞ / ∞.
ESEMPIO 0 / 0
Risulta subito chiaro che questo limite non presenta molta difficoltà di calcolo, utilizzando l’approccio classico.
Per chi di voi è pratico di scomposizioni con i prodotti notevoli riconoscerà immediatamente un trinomio particolare al numeratore con prodotto pari a 2 e somma pari a -3.
Non sarà dunque difficile riconoscere la coppia (-2 , -1) che porterà alla scomposizione del numeratore con ( x – 2 ) * ( x – 1).
Per quanto riguarda il denominatore è ancora più evidente che si tratta di una differenza di quadrati scomponibile come ( x +1 ) * ( x – 1).
Così facendo avremo:
Il teorema di Hospital ci permette in qualche modo di superare questo procedimento di scomposizione e semplificazione, a patto chiaramente conosciamo le regole di derivazione.
Nel caso del calcolo del nostro limite che presenta forma indeterminata 0/0
Basterà calcolare la derivata del numeratore che risulta 2x-3 e quella del denominatore che risulta 2x.
A questo punto andiamo a sostituire al posto della x il numero 1 e come risultato otteniamo ancora -1/2.
ESEMPIO ∞/∞
Vediamo un esempio molto semplice della forma ∞/∞ con questo esempio polinomiale.
Possiamo prendere a riferimento l’esercizio precedente e sostituire al posto della x che tende a 1, la x che tende all’infinito
Anche qui per chi è afferrato per sull’utilizzo della gerarchia degli infiniti risulta subito evidente che l’infinito che prevale sia al numeratore che al denominatore è x2.
In tal modo la funzione data si comporta in maniera asintotica alla funzione x2/x2 e quindi il limite cercato vale 1.
Chi non avesse dimestichezza con la gerarchia degli infiniti non deve comunque disperare poiché il teorema di Hospital gli offre una valida alternativa.
In questa situazione però la procedura di Hospital verrà applicata per ben due volte, fino a quando la forma indeterminata sarà del tutto sciolta.
Partendo dunque dal limite di partenza:
Procediamo con la prima applicazione del teorema, otteniamo un’altra forma del tipo infinito su infinito.
A questo punto procediamo con l’utilizzo di Hospital per la seconda volta e magia delle magie ecco il valore del limite che stiamo cercando.
IL TEOREMA DI HOSPITAL APPLICATO AI LIMITI NOTEVOLI
Quando abbiamo studiato i limiti notevoli, prima ancora di incontrare sulla nostra strada le derivate abbiamo dimostrato, attraverso delle splendide dimostrazioni i seguenti risultati:
Grazie al teorema di Hospital questi risultati diventano certamente alla portata di mano di tutti.
(sempre previa conoscenza delle regole di derivazione).
Vediamo dunque di applicare il teorema ad ognuno di questi casi, partendo dal primo limite notevole:
Applichiamo ora il teorema derivando sia il numeratore che il denominatore:
Ecco che abbiamo il nostro primo limite.
Passiamo ora al secondo caso:
Passiamo ora al terzo
Per ultimo il quarto
VERSO CASI PIU’ COMPLESSI
Il teorema di Hospital è certamente molto utile quando sia di fronte a forme di indecisione, soprattutto del tipo 0/0.
In quest’ultimo ambito , infatti, quando siamo di fronte a forme non polinomiali, come ad esempio:
- Radici
- Esponenziali
- Logaritmi
non abbiamo a disposizione le classiche formule delle scomposizioni.
Quindi sembrerebbe che l’unica “via d’uscita” sia rappresentata dai limiti notevoli.
Per nostra sfortuna questa strada non è sempre percorribile!
Solo allora viene compresa l’enorme portata di questo teorema.
Questo esempio vi aiuterà certamente a fare chiarezza circa del concetto che abbiamo appena tentato di spiegare
Il limite appena proposto da come risultato una forma indeterminata del tipo 0/0.
Tentiamo di applicare il limite, facendo tendere il senx alla x, quando la x tende a zero notevole.
Quando facciamo questo passaggio si crea però una situazione strana.
Infatti il numeratore scompare completamente, mentre al denominatore resta la x.
Il problema di questa forma 0/0 e che sembra non portarci più da nessuna parte.
Questo forse ci suggerisce il problema che quando abbiamo fatto tendere il senx alla x, abbiamo compiuto un’approssimazione forse troppo forte.
Forse ci siamo dimenticati che quando la x tende a zero resta comunque ancora una piccolissima differenza tra il senx e la x.
Ciò significa che i limiti notevoli non sono in grado di darci tutte le risposte che cerchiamo.
Il teorema di Hospital sembra dunque in grado di entrare più in profondità di questo problema.
Se proviamo ad applicarlo, avremo:
Ed ecco che il valore del limite cercato è 1/6.
In realtà nella seconda approssimazione ho applicato ancora il limite notevole per cui al tendere della x verso zero, il valore di 1-cosx tende a 1/2*x2.
In realtà se non conoscessi i limiti notevoli, il risultato del limite dopo la prima applicazione del teorema farebbe ancora 0/0.
Per risolvere questo limite basta comunque applicare altre due volte il teorema di Hospital per trovare il limite cercato.
ALCUNE PRECAUZIONI PER L’USO PRIMA DI UTILIZZARLO
- Ricordiamo anzitutto che Il teorema vale per i QUOZIENTI e non per i prodotti!
Anche se questa cosa può sembrare del tutto ovvia, chiariamo questo concetto attraverso il seguente esempio.
Consideriamo il seguente limite:
Se tentiamo di applicare Hospital ignorando che non si tratta di una divisione avremo che:
Leggendo questa funzione come un prodotto incorriamo in questo brutto erroraccio.
Il modo più corretto per affrontare questo limite è tentare di ricondurre la forma indeterminata 0 * ∞ ad una forma del tipo 0/0, in questo modo:
A questo punto possiamo procedere con l’applicazione del teorema:
2. Il secondo punto da chiarire teorema si applica solo a FORME INDETERMINATE.
Qualora infatti il limite calcolato ci desse una forma nota non possiamo applicare la procedura.
Questo secondo esempio ci fa capire meglio questa affermazione.
In questa situazione il calcolo del limite produce una forma determinata.
Perciò è vietata l’applicazione del teorema di Hospital.
Se noi infatti tentassimo lo stesso di applicarlo troveremo un risultato che non è quello ricercato.
3. Il teorema prescrive di fare il quoziente delle derivate e non la derivata del quoziente.
Questa terza indicazione è facilmente comprensibile guardando al seguente esempio:
4. Se il limite di f’/g’ non esiste non è possibile fare nessuna affermazione sull’applicazione del teorema.
Guardiamo questo esempio per capire meglio:
Il limite che stiamo tentando di calcola non esiste.
Infatti non sapremo mai in modo preciso cosa fanno il seno e il coseno quando gli argomenti tendono a infinito.
L’unica cosa che sappiamo è che il loro valore oscilla tra -1 e +1.
Il modo corretto di risolvere il limite è quello di applicare la classica scala degli infiniti.
Se invece applichiamo il teorema di Hospital arriveremo alla conclusione che nulla si può affermare
HAI QUALCHE DOMANDA?
Se hai una qualsiasi domanda su questo teorema scrivi pure un commento qui sotto, sarò lieto di risponderti.
Se desideri approfondire questo ed altri teoremi della matematica ti invito a dare un’occhiata al corso che ho creato proprio a questo scopo.
Per vedere tanti altri video di matematica puoi inoltre seguire il mio canale 😉
