Skip to main content

TEOREMA DI DE L’HOSPITAL

Il teorema di Hospital è un teorema molto importante nella matematica dei limiti. 

Esso di permette di risolvere, sotto opportune ipotesi, il limite associato ad un rapporto tra funzioni quando si determina una forma di indecisione del tipo:

  • Infinito / infinito
  • Zero / zero 

Vediamo quindi di enunciarlo per esteso con opportuni esempi.

Prima di andare a vedere il teorema cerchiamo di capire chi era Hospital

ENUNCIATO DEL TEOREMA

Siano f,g due funzioni ad una variabile reale, derivabili in un certo intervallo (a,b).

 con derivata prima  g’ diverso da zero all’interno dell’intervallo  (a,b). 

Sia x0 un punto di accumulazione del dominio appartenente ad (a,b) 

Se valgono le seguenti ipotesi

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

Il che significa affermare che il limite per x che tende a x0 del rapporto delle funzioni crea una forma indeterminata del tipo:

  • Infinito / infinito  (∞/∞)
  • Zero / zero         (0/0)
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

Supponendo inoltre che il limite per x che tende a x0 del rapporto tra le derivate prime dia una forma determinata, quindi:

  •  un numero reale
  •  infinito
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

Allora è possibile calcolare il limite del rapporto tra le funzioni con il limite del rapporto tra le derivate

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

VIDEO SUL TEOREMA DI HOSPITAL

Partiamo con due esempi molto semplici dell’applicazione del teorema di Hospital.

Il primo riguarderà una forma del tipo 0/0, mentre il secondo cuna forma ∞ / ∞.

ESEMPIO 0 / 0

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

Risulta subito chiaro che questo limite non presenta molta difficoltà di calcolo, utilizzando l’approccio classico.

Per chi di voi è pratico di scomposizioni con i prodotti notevoli riconoscerà immediatamente un trinomio particolare al numeratore con prodotto pari a 2 e somma pari a -3.

Non sarà dunque difficile riconoscere la coppia (-2 , -1) che porterà alla scomposizione del numeratore con ( x – 2 ) * ( x – 1).

Per quanto riguarda il denominatore è ancora più evidente che si tratta di una differenza di quadrati scomponibile come ( x +1 ) * ( x – 1).

Così facendo avremo:

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

Il teorema di Hospital ci permette in qualche modo di superare questo procedimento di scomposizione e semplificazione, a patto chiaramente conosciamo le regole di derivazione.

Nel caso del calcolo del nostro limite che presenta forma indeterminata 0/0

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

Basterà calcolare la derivata del numeratore che risulta 2x-3 e quella del denominatore che risulta 2x.

A questo punto andiamo a sostituire al posto della x il numero 1 e come risultato otteniamo ancora -1/2.

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

ESEMPIO  ∞/∞

Vediamo un esempio molto semplice della forma ∞/∞ con questo esempio polinomiale.

Possiamo prendere a riferimento l’esercizio precedente e sostituire al posto della x che tende a 1, la x che tende all’infinito

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

Anche qui per chi è afferrato per sull’utilizzo della gerarchia degli infiniti risulta subito evidente che l’infinito che prevale sia al numeratore che al denominatore è x2.

In tal modo la funzione data si comporta in maniera asintotica alla funzione x2/x2 e quindi il limite cercato vale 1.

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

Chi non avesse dimestichezza con la gerarchia degli infiniti non deve comunque disperare poiché il teorema di Hospital gli offre una valida alternativa.

In questa situazione però la procedura di Hospital verrà applicata per ben due volte, fino a quando la forma indeterminata sarà del tutto sciolta.

Partendo dunque dal limite di partenza:

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

Procediamo con la prima applicazione del teorema, otteniamo un’altra forma del tipo infinito su infinito.

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

A questo punto procediamo con l’utilizzo di Hospital per la seconda volta e magia delle magie ecco il valore del limite che stiamo cercando.

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

IL TEOREMA DI HOSPITAL APPLICATO AI LIMITI NOTEVOLI

Quando abbiamo studiato i limiti notevoli, prima ancora di incontrare sulla nostra strada le derivate abbiamo dimostrato, attraverso delle splendide dimostrazioni i seguenti risultati:

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

Grazie al teorema di Hospital questi risultati diventano certamente alla portata di mano di tutti.

(sempre previa conoscenza delle regole di derivazione).

Vediamo dunque di applicare il teorema ad ognuno di questi casi, partendo dal primo limite notevole:

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

Applichiamo ora il teorema derivando sia il numeratore che il denominatore:

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

Ecco che abbiamo il nostro primo limite.

Passiamo ora al secondo caso:

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

Passiamo ora al terzo

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

Per ultimo il quarto

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

VERSO CASI PIU’ COMPLESSI

Il teorema di Hospital è certamente molto utile quando sia di fronte a forme di indecisione, soprattutto del tipo 0/0.

In quest’ultimo ambito , infatti, quando siamo di fronte a forme non polinomiali, come ad esempio:

  • Radici
  • Esponenziali
  • Logaritmi

 non abbiamo a disposizione le classiche formule delle scomposizioni.

Quindi sembrerebbe che l’unica “via d’uscita” sia rappresentata dai limiti notevoli.

Per nostra sfortuna questa strada non è sempre percorribile!

Solo allora viene compresa l’enorme portata di questo teorema.

Questo esempio vi aiuterà certamente a fare chiarezza circa del concetto che abbiamo appena tentato di spiegare

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

Il limite appena proposto da come risultato una forma indeterminata del tipo 0/0.

Tentiamo di applicare il limite, facendo tendere il senx alla x, quando la x tende a zero notevole.

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

Quando facciamo questo passaggio si crea però una situazione strana.

Infatti il numeratore scompare completamente, mentre al denominatore resta la x.

Il problema di questa forma 0/0 e che sembra non portarci più da nessuna parte.

Questo forse ci suggerisce il problema che quando abbiamo fatto tendere il senx alla x, abbiamo compiuto un’approssimazione forse troppo forte.

Forse ci siamo dimenticati che quando la x tende a zero resta comunque ancora una piccolissima differenza tra il senx e la x.

Ciò significa che i limiti notevoli non sono in grado di darci tutte le risposte che cerchiamo.

Il teorema di Hospital sembra dunque in grado di entrare più in profondità di questo problema.

Se proviamo ad applicarlo, avremo:

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

Ed ecco che il valore del limite cercato è 1/6.

In realtà nella seconda approssimazione ho applicato ancora il limite notevole per cui al tendere della x verso zero, il valore di 1-cosx tende a 1/2*x2.

In realtà se non conoscessi i limiti notevoli, il risultato del limite dopo la prima applicazione del teorema farebbe ancora 0/0.

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

Per risolvere questo limite basta comunque applicare altre due volte il teorema di Hospital per trovare il limite cercato.

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

ALCUNE PRECAUZIONI PER L’USO PRIMA DI UTILIZZARLO

  1. Ricordiamo anzitutto che Il teorema vale per i QUOZIENTI e non per i prodotti!

Anche se questa cosa può sembrare del tutto ovvia, chiariamo questo concetto attraverso il seguente esempio.

Consideriamo il seguente limite:

Se tentiamo di applicare Hospital ignorando che non si tratta di una divisione avremo che:

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

Leggendo questa funzione come un prodotto incorriamo in questo brutto erroraccio.

Il modo più corretto per affrontare questo limite è tentare di ricondurre la forma indeterminata 0 * ∞ ad una forma del tipo 0/0, in questo modo:

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

A questo punto possiamo procedere con l’applicazione del teorema:

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

2. Il secondo punto da chiarire  teorema si applica solo a FORME INDETERMINATE.

Qualora infatti il limite calcolato ci desse una forma nota non possiamo applicare la procedura.

Questo secondo esempio ci fa capire meglio questa affermazione.

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

In questa situazione il calcolo del limite produce una forma determinata.

Perciò è vietata l’applicazione del teorema di Hospital.

Se noi infatti tentassimo lo stesso di applicarlo troveremo un risultato che non è quello ricercato.

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

3. Il teorema prescrive di fare il quoziente delle derivate e non la derivata del quoziente.

Questa terza indicazione è facilmente comprensibile guardando al seguente esempio:

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

4. Se il limite di f’/g’ non esiste non è possibile fare nessuna affermazione sull’applicazione del teorema.

Guardiamo questo esempio per capire meglio:

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

Il limite che stiamo tentando di calcola non esiste.

Infatti non sapremo mai in modo preciso cosa fanno il seno e il coseno quando gli argomenti tendono a infinito.

L’unica cosa che sappiamo è che il loro valore oscilla tra -1 e +1.

Il modo corretto di risolvere il limite è quello di applicare la classica scala degli infiniti.

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

Se invece applichiamo il teorema di Hospital arriveremo alla conclusione che nulla si può affermare

Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna
Disegni a penna

HAI QUALCHE DOMANDA?

Se hai una qualsiasi domanda su questo teorema scrivi pure un commento qui sotto, sarò lieto di risponderti.

Se desideri approfondire questo ed altri teoremi della matematica ti invito a dare un’occhiata al corso che ho creato proprio a questo scopo.

Per vedere tanti altri video di matematica puoi inoltre seguire il mio canale 😉

Leave a Reply