FORMA INDETERMINATA INFINITO SU INFINITO (∞/∞)

Una forma indeterminata del tipo infinito su infinito (∞/∞) si verifica quando dopo aver sostituito nel limiti la x abbiamo un rapporto tra due infiniti.

Per risolvere tale di tipo di forma di indecisione utilizziamo principalmente la scala degli infiniti.

LE FORME INDETERMINATE NEI LIMITI

Le forme indeterminate nei limiti sono:

• +∞–∞ (più infinito meno infinito)
• 0·∞  (zero per infinito)
• 0/0  (zero su zero)
• ∞/∞   (infinito su infinito)
• ∞⁰  (infinito alla zero)
• 0⁰  (zero alla zero)
• 1^∞  (uno alla infinito)

In questo articolo parliamo della forma più infinito meno infinito dei limiti.

FORMA INFINITO SU INFINITO (+∞/∞)

Si verifica una forma indeterminata del tipo infinito su infinito quando, dopo aver sostituito alla x il valore per cui tende, troviamo un rapporto tra infiniti.

ESEMPIO

Consideriamo il seguente limite:

$$ \lim_{x\to + \infty} \frac{3x^2 -x+5}{2x^3 +x+2} $$

Se andiamo a sostituire al posto della x il più infinito abbiamo

$$ = \frac{3 \cdot \infty^2 -\infty +5}{2 \cdot \infty^3 + \infty +2} = \frac{+\infty -\infty}{\infty} = ?? $$

Come possiamo notare al numeratore ci resta una forma indeterminata del tipo più infinito meno infinito (+∞-∞).

Mentre al denominatore un infinito.

Lo strumento che dovrebbe essere utilizzato per risolvere tali forme indeterminate è il raccoglimento a fattor comune.

Diversamente dal classico raccoglimento a fattor comune che troviamo nei polinomi in questo caso raccogliamo il grado maggiore della x.

In termini id infiniti rappresenta quello più in alto sulla scala degli infiniti.

Facciamo questa operazione di raccoglimento sia al numeratore che al denominatore.

$$ \lim_{x\to + \infty} \frac{3x^2 -x+5}{2x^3 +x+2} = \lim_{x\to + \infty} \frac{x^2 \cdot \left( 3 – \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2} \right)}{x^3 \cdot \left( 2 + \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3}\right)} $$

Notiamo che quando la x tende all’infinito le frazioni con al denominatore la x dentro la parentesi tendono a zero:

$$ \text{se } x \to + \infty : \frac{1}{x} ,\ \frac{5}{x^2} ,\ \frac{1}{x^2} ,\ \frac{2}{x^3} \to 0 $$

Dunque possiamo scrivere che:

$$ \lim_{x\to + \infty} \frac{x^2 \cdot \left( 3 – \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2} \right)}{x^3 \cdot \left( 2 + \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3} \right)} \sim \frac{x^2 \cdot (3-0+0)}{x^3 \cdot (2+0+0)} = \frac{3x^2}{2x^3} = \frac{3}{2x} \to \frac{3}{\infty} = 0 $$

SCHEMA GENERALE PER LA FORMA INFINITO SU INFINITO (∞/∞)

Dall’ultimo esercizio si capisce subito che se avessimo utilizzato la scala degli infiniti ci bastava far prevalere gli infiniti più forti al numeratore e al denominatore.

$$ \lim_{x\to + \infty} \frac{\color{blue}{3x^2} -x+5}{\color{blue}{2x^3} +x+2} \sim \frac{3x^2}{2x^3} = \frac{3}{2x} \to \frac{3}{\infty} = 0 $$

Andiamo ora a costruire una schema generale per la forma infinito fratto infinito (∞/∞).

Per rappresentare in generale una forma di indecisione del tipo infinito su infinito (∞/∞) possiamo usare la seguente scrittura:

$$ \frac{a \cdot \infty^\alpha}{b \cdot \infty^\beta} $$

Dove:

$$ \alpha, \beta = \text{ posizioni sulla scala degli infiniti} $$

$$ a,b= \text{ coefficienti degli infiniti} $$

Se l’infinito alfa, ovvero quello che si trova al numeratore,  è più forte sulla scala degli infiniti rispetto all’infinito beta (denominatore) allora il risultato è infinito.

Questo si verifica dal momento che il denominatore è una quantità trascurabile rispetto al numeratore.

In altre parole è come se il denominatore fosse un semplice numero mentre il numeratore un infinito.

$$ \alpha > \beta \to \infty^\alpha > \infty^\beta \to \frac{a \cdot \infty^\alpha}{b \cdot \infty^\beta} = \frac{\infty}{n} = \infty $$

Badate bene che α e β non rappresentano gli esponenti, bensì la posizione sulla scala degli infiniti.

Tale scala, ricordiamolo, copre anche i casi di funzioni esponenziali e logaritmiche.

Nella situazione in cui è l’infinito beta (denominatore) a prevalere sul infinito alfa(numeratore) il risultato tende a zero.

Ciò si verifica poiché questa volta è il numeratore ad essere trascurabile (numero) rispetto al denominatore (infinito).

$$ \alpha < \beta \to \infty^\alpha < \infty^\beta \to \frac{a \cdot \infty^\alpha}{b \cdot \infty^\beta} = \frac{n}{\infty} = 0 $$

Quando i due infiniti maggiori che si trovano al numeratore e al denominatore si trovano sulla stessa posizione nella scala degli infiniti (α =β), allora resta il rapporto tra i coefficienti a e b.

$$ \alpha = \beta= \gamma \to \infty^\alpha = \infty^\beta \to \frac{a \cdot \infty^\alpha}{b \cdot \infty^\beta} = \frac{a \cdot \infty^\gamma}{b \cdot \infty^\gamma} =\frac{a}{b} $$

Ricapitolando possiamo fare il seguente schema:

$$ \frac{a \cdot \infty^\alpha}{b \cdot \infty^\beta} = \begin{cases} \infty &\text{se}& \alpha>\beta \\ 0 &\text{se}& \alpha<\beta \\ \frac{a}{b} &\text{se}& \alpha>\beta \end{cases} $$

CASO DI  α > β  : FORMA INDETERMINATA INFINITO SU INFINITO ∞/∞

Cominciamo con alcuni esempi in cui il numeratore prevale in termini di infinito rispetto al denominatore:

ESEMPIO 1 – forma indeterminata infinito su infinito (∞/∞) α > β

Consideriamo il seguente limite:

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{1+x+4x^2-3x^3}{2x+2x^2+1} = $$

Per la scala degli infiniti facciamo sopravvivere gli infiniti più forti:

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{1+x+4x^2 \color{red}{-3x^3}}{2x+\color{red}{2x^2}+1} \sim \lim_{x \to +\infty} \frac{-3x^3}{2x^2} = \lim_{x \to +\infty} – \ \frac{3}{2} x = – \infty $$

ESEMPIO 2 – forma indeterminata infinito su infinito (∞/∞) α >β

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{1+x^2 \sqrt{x} + 4x^2 \sqrt[3]{x}-3 x^\frac{3}{5}}{2x+2x^2 +x^\frac{2}{5}} = \frac{\infty}{\infty} \to \text{F.I.}$$

Cominciamo con il trasformare in potenza i radicali presenti al numeratore:

$$ x^2 \sqrt{x} = x^2 \cdot x^\frac{1}{2} = x^{2+\frac{1}{2}} = x^\frac{5}{2} $$

$$ x^2 \sqrt[3]{x} = x^2 \cdot x^\frac{1}{3} = x^{2+\frac{1}{3}} = x^\frac{7}{3} $$

Ora andiamo a riscrivere il limite:

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{1+x^\frac{5}{2}+4 x^\frac{7}{3}-3 x^\frac{3}{5}}{2x+ 2 x^2-3 x^\frac{2}{5}} = $$

Al numeratore facciamo prevalere la potenza di x con esponente 7/3 mentre al denominatore quella con esponente 2.

Quando x tende all’infinito avremo che:

$$ \frac{1+x^\frac{5}{2} \color{blue}{+4 x^\frac{7}{3}}-3 x^\frac{3}{5}}{2x+ \color{blue}{2 x^2}-3 x^\frac{2}{5}} \sim \frac{4 x^\frac{7}{3}}{2 x^2} = 2 x^{\frac{7}{3}-2} = 2 x^\frac{1}{3} = +\infty$$

ESEMPIO 3 – CALCOLO PIÙ INFINITO MENO INFINITO

Mettiamo ora anche qualche esponenziale e logaritmo nei calcoli:

$$ \lim_{x \to – \infty} \frac{1+2x^2 -3e^{-x}}{2^\frac{1}{x} + x^2 +5^x +2^{-x}} = \frac{1+2 \cdot(-\infty)^2 – 3 \color{blue}{e^{+\infty}}}{\color{brown}{2^\frac{1}{-\infty}}+(-\infty)^2+\color{green}{5^{-\infty}}+\color{violet}{2^{+\infty}}}= $$

Le potenze x² vanno entrambe all’infinito.

Attenzione al fatto che l’esponenziale che è presente al numeratore va all’infinito.

Mentre l’esponente del primo esponenziale al denominatore (1/x) va a zero, perciò porta l’esponenziale a valere 1.

Il secondo esponenziale 5^x va a zero poiché l’esponente vale –∞.

Mentre l’ultimo esponenziale del numeratore 2^-x genera un infinito

$$ = \frac{1+\infty -3 \cdot \color{blue}{\infty}}{\color{brown}{2^0}+\infty + \color{green}{0}+\color{violet}{\infty}} = \frac{1+\infty -\infty}{1+ \infty +0 +\infty} = \frac{+\infty -\infty}{\infty} \to \text{f. ind.}$$

Dal momento che abbiamo una forma indeterminata con infiniti possiamo adottare la scala degli infiniti.

Attenzione che dobbiamo prendere gli infiniti più forti escludendo dai giochi le quantità che non generano infiniti.

Perciò al numeratore facciamo prevalere l’esponenziale (genera infinito).

Mentre al denominatore facciamo rimanere l’ultimo esponenziale 2^-x.

$$ \begin{array}{cccc} \lim_{x \to – \infty} \frac{1+2x^2 \color{blue}{-3e^{-x}}}{2^\frac{1}{x} + x^2 +5^x \color{violet}{+2^{-x}}} &\sim& \lim_{x \to – \infty} \frac{-3 e^{-x}}{2^{-x}} &=& \\ &=& \lim_{x \to – \infty} -3 \cdot \left( \frac{e}{2} \right)^{-x} &=& -3 \cdot \left( \frac{e}{2} \right)^{+\infty} = -\infty \end{array}$$

Questo risultato si verifica dal momento che la base dell’esponenziale (e/2) è maggiore di 1.

IMPARA A SVOLGERE TUTTE LE FORME INDETERMINATE DEI LIMITI !!!

CASO DI  α < β  : FORMA INDETERMINATA INFINITO SU INFINITO ∞/∞

Svolgiamo ora qualche esempio in cui è il denominatore a prevalere sulla scala degli infiniti.

ESEMPIO 1- forma indeterminata infinito su infinito (∞/∞) α < β

Partiamo dal seguente limite:

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 -x+2}{x^3 +x+1} = \frac{\infty}{\infty} $$

Facendo prevalere il quadrato al numeratore e il cubo al denominatore risulta subito facile intuire che:

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 -x+2}{x^3 +x+1} \sim \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x^3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = \frac{1}{\infty} = 0 $$

ESEMPIO 2 – forma indeterminata infinito su infinito (∞/∞) α < β

Proviamo a fare un esempio in cui compaiono anche esponenziali:

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{3 e^x +2}{2 e^{2x} + 3e^x +1} = \frac{\infty}{\infty} $$

Anche in questo caso applichiamo subito la scala degli infiniti:

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{3 e^x +2}{2 e^{2x} + 3e^x +1} \sim \lim_{x \to +\infty} \frac{3 e^x}{2 e^{2x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3 }{2 e^{x}} = \frac{3}{\infty} = 0 $$

ESEMPIO 3 – forma indeterminata infinito su infinito (∞/∞) α < β

Proponiamo ora un esempio con i logaritmi:

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{ \ln(3+x+2x^2)}{\ln(1+x^3)+x} = \frac{\infty}{\infty} $$

Anche in questo caso andiamo subito ad utilizzare la scala:

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{ \ln (3+x+2x^2)}{\ln (1+x^3)+x} \sim \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln (2x^2)}{\ln(x^3) +x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln2 +2\ln x}{ 3\ln x +x} $$

Al numeratore lasciamo lnx  mentre al denominatore la x prevale su lnx:

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln2 +2\ln x}{ 3\ln x +x} \sim \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{ x} = 0 $$

Il limite cercato fa zero in quanto il denominatore prevale sulla scala degli infiniti.

ESEMPIO 4 – forma indeterminata infinito su infinito (∞/∞) α < β

Proseguiamo con un esempio in cui compaiono funzioni di varia tipologia:

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{ 2 \ln x +x^2 -3e^x}{3^x +x^2 +3\ln x} = \frac{\infty}{\infty} $$

Notiamo che tutte le funzioni presenti sia al numeratore che al denominatore tendono all’infinito quando la x tende all’infinito.

Pertanto per la scala degli infiniti abbiamo:

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{ 2 \ln x +x^2 -3e^x}{3^x +x^2 +3\ln x} \sim \lim_{x \to +\infty} \frac{ -3e^x}{3^x } = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{e}{3} \right)^x = \infty $$

Questo dal momento che la base dell’esponenziale è minore di 1.

ESEMPIO CON VIDEO

per chiarire meglio i concetti visti fino a qui guardiamo insieme questo video

CASO DI  α = β  : FORMA INDETERMINATA INFINITO SU INFINITO ∞/∞

Vediamo ora insieme qualche esempio di “pareggio tra infiniti” tra il numeratore e il denominatore.

ESEMPIO 1

Riproponiamo l’esempio precedente ma con il limite per x tendente al meno infinito:

$$ \lim_{x \to -\infty} \frac{ 2 \ln |x| +x^2 -3e^x}{3^x +x^2 +3\ln |x|} = \frac{\infty}{\infty} $$

In questo caso notiamo che le funzioni esponenziali vanno a zero:

$$ e^{-\infty} \sim 3^{-\infty} = 0 $$

Pertanto gli infiniti più forti questa volta hanno natura di potenza.

$$ \lim_{x \to -\infty} \frac{ 2 \ln |x| +x^2 -3e^x}{3^x +x^2 +3\ln |x|} \sim \lim_{x \to -\infty} \frac{ x^2}{x^2} = 1 $$

ESEMPIO 2 – forma indeterminata infinito su infinito (∞/∞) α = β

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3-x+5}{x^3+x+1} = \frac{\infty}{\infty} $$

Applichiamo subito la scala:

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3-x+5}{x^3+x+1} \sim \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3}{x^3} = 2 $$

ESEMPIO 3

Mixiamo un po’ di funzioni:

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{ 2 \ln x +x^2 -3e^x}{e^x +x^2 +3\ln x} = \frac{\infty}{\infty} $$

Essendo che tutte queste funzioni vanno ad infinito scegliamo gli esponenziali come i più forti sulla scala:

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{ 2 \ln x +x^2 -3e^x}{e^x +x^2 +3\ln x} \sim \frac{-3e^x}{e^x} = -3 $$

HAI QUALCHE DOMANDA SULLA FORMA INDETERMINATA INFINITO SU INFINITO (∞/∞)?

Se hai domande sull’argomento appena trattato scrivilo sotto nei commenti.

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