La forma indeterminata 0/0 (zero su zero) si ha nei limiti quando al tendere della x verso una certa quantità (finita oppure infinita) fa tendere la funzione ad un rapporto tra due infinitesimi (zeri).
Se vuoi contestualizzare meglio la forma indeterminate all’interno della logica dei limiti ti consiglio di dare un’occhiata ai seguenti articoli:
- Limiti: forme determinate e indeterminate
- Le forme indeterminate dei limiti
FORMA INDETERMINATA 0/0 (ZERO SU ZERO)
Per comprendere con cosa abbiamo a che fare consideriamo i seguenti tre esempi di calcolo dei limiti:
Partiamo dal primo caso, e andiamo a calcolare il limite
Come potete notare otteniamo un rapporto tra zeri, ovvero tra quantità infinitesime.
Allo stesso modo se calcoliamo gli altri due:
Anche qui siamo nella stessa situazione.
Come possiamo uscire da questa situazione imbarazzante?
COME RISOLVERE UNA FORMA INDETERMINATA 0/0 (ZERO SU ZERO)
Per nostra fortuna la matematica ha inventato degli strumenti molto interessanti per venire a capo del problema.
I modi che possiamo utilizzare per risolvere le forme indeterminate del tipo 0/0 (zero su zero)
Questi metodi sono:
- Scomposizione e semplificazione(in presenza di polinomi)
- Razionalizzazioni (in presenza di radici)
- Limiti notevoli ( con esponenziali, logaritmi e funzioni trigonometriche)
- Teorema di Hospital (sempre valido)
- Polinomio di Taylor (sempre valido)
METODO DELLA SCOMPOSIZIONE E SEMPLIFICAZIONE
Quando il numeratore e il denominatore sono dei polinomi è sempre possibile risolvere le forme indeterminate 0/0 (zero su zero) mediante la scomposizione
ESEMPIO 1 – FORMA INDETERMINATA 0/0 CON SCOMPOSIZIONE
Consideriamo il primo limite che abbiamo proposto in apertura dell’articolo:
Andiamo a raccogliere a fattor comune la x al numeratore, e successivamente a semplificare con il denominatore:
Quindi il nostro limite diventa:
ESEMPIO 2
Consideriamo questo esempio un po’ più denso:
In questo caso notiamo che il numeratore della frazione è un trinomio speciale con somma pari a –3 e prodotto pari a +2.
Perciò lo possiamo scomporre come:
Mentre il denominatore è una differenza di quadrati:
Quindi possiamo riscrivere il nostro limite come segue:
Vi faccio notare che la forma zero su zero è causata proprio dal fattore comune tra il numeratore e il denominatore (x–2):
Infatti quando andiamo a sostituire al posto della x il due sono proprio questi due che si annullano:
Semplificando il fattore comune togliamo anche la forma indeterminata e il nostro limite diventa:
ESEMPIO 3
Un metodo che è sempre applicabile in tutte le scomposizioni polinomiali è la scomposizione con Ruffini.
Consideriamo il seguente esempio di limite:
Notiamo che il valore a cui tende la x, ovvero 1, è il fattore annullante sia del numeratore che del denominatore.
Perciò avremo certamente che entrambi i polinomi sono divisibili per (x–1).
Svolgiamo quindi la divisione con Ruffini, partendo dal numeratore:
Il risultato della divisione risulta:
Pertanto la scomposizione del numeratore è:
Facciamo ora la stessa procedura con il denominatore:
Il quoziente della divisione è:
Pertanto il denominatore è scomponibile come:
A questo punto andiamo a riscrivere il nostro limite come:
Semplificando il fattor comune (x–1) otteniamo:
Questo è il valore del limite cercato.
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MOTODO DELLA RAZIONALIZZAZIONE
Un altro modo per risolvere la forma indeterminata 0/0 (zero su zero) dei limiti è la razionalizzazione.
Questo metodo si utilizza quando siamo in presenza di radicali.
Prendiamo in esame il secondo caso presentato all’inizio dell’articolo:
Come potete notare al numeratore è presente una radice quadrata.
Il fattore razionalizzante di:
Infatti abbiamo che:
Andiamo ora a razionalizzare la frazione del limite:
I calcoli del numeratore li abbiamo fatti perciò il limite diventa:
Se al numeratore raccogliamo un segno meno:
Semplifichiamo il fattor comune (1–x)
LIMITI NOTEVOLI – forma indeterminata 0/0 (zero su zero)
Quando siamo in presenza di forme esponenziali, logaritmiche, funzioni goniometriche(seno, coseno, tangente) o potenze particolari ad esponente reale è possibile usare i limiti notevoli.
Prendiamo in esame questo esempio:
Se andiamo a calcolare il limite sostituendo zero alla x :
Otteniamo una forma indeterminata del tipo 0/0 (zero su zero).
Ritorniamo ora al limite di partenza e cerchiamo di riconoscere le forme riconducibili alla teoria dei limiti notevoli:
Ricordiamo che quando la t diventa molta piccola (tende a zero):
Quindi possiamo riscrivere il nostro limite come:
Dove il simbolo:
Dunque:
TEOREMA DI HOSPITAL:
Un metodo generale sempre valido per risolvere forme indeterminate del tipo 0/0 (zero su zero) è il teorema di Hospital.
Questo teorema prescrive che quando ci troviamo di fronte a forme indeterminate del tipo 0/0 oppure ∞/∞ possiamo risolverle facendo il limite del rapporto tra le derivate.
Ovviamente sempre per x che tende al valore originario.
Risulta chiaro che per usare questo metodo bisogna aver ben chiaro si calcolano le derivatecon le relative regole di derivazione.
Prendiamo in esame alcuni limiti già svolti:
ESEMPIO FORMA INDETERMINATA 0/0 (zero su zero) – TEOREMA DI HOSPITAL
Calcolando la derivata del numeratore e del denominatore otteniamo:
ESEMPIO 2
Come secondo esempio riportiamo il caso in cui abbiamo applicato la razionalizzazione:
Anche in questo caso andiamo a calcolare la derivata prima del numeratore e del denominatore per poi sostituire:
ESEMPIO 3
Com ultimo esempio riportiamo quello relativo ai limiti notevoli:
Andiamo a calcolare come al solito le derivate del numeratore e del denominatore della frazione:
Se facessimo la sostituzione troveremmo ancora una forma indeterminata 0/0.
Quindi andiamo a raccogliere a fattor comune 2x sa al numeratore che al denominatore per poi semplificarle:
Semplifichiamo ora la x al numeratore e al denominatore:
Ora sostituiamo lo zero al posto della x:
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POLINOMIO DI TAYLOR – MC LAURIN
Un ultimo interessante metodo che mostriamo per calcolare le derivate è il polinomio di Taylor.
Quando il punto x preso in considerazione è il punto zero questo viene detto anche polinomio di Mc Laurin.
Questo metodo è utilizzato prevalentemente nelle università da ingegneria in su.
Quindi se fate economia o le scuole superiori non preoccupatevi se non lo avete visto.
Possiamo considerare questo metodo come un’espansione dei limiti notevoli e del metodo Hospital.
ESEMPIO FORMA INDETERMINATA 0/0 (ZERO SU ZERO) – TAYLOR MC-LAURIN
Prendiamo in considerazione il seguente limite:
Anche se questo limite può sembrare banalmente risolto con i limiti notevoli, ci accorgiamo che provando a fare le opportune sostituzioni, che:
Per x tendente a zero:
In questo caso arriviamo alla conclusione che questa cosa non è risolvibile.
Grazie al polinomio di Mc Laurin attestato al terzo ordine sappiamo che in x=0:
Sostituendo nell’espressione del limite abbiamo:
Semplificano le x al numeratore e le x alla seconda al denominatore:
Facendo “sopravvivere” solamente gli infinitesimi più forti abbiamo:
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