IMPORTANZA DELLA MATEMATICA NELLA STORIA
La storia dell’uomo e la storia della matematica si sono intrecciate per millenni.
Quando le società si sono sviluppate, passando da quelle primitive a quelle più moderne, sono per l’uomo sono nate nuove sfide:
Pensiamo ad esempio ai canali di irrigazione dell’antica mesopotamia.
Oppure all’organizzazione degli scambi commerciali e la tenuta del magazzino nell’antico Egitto.
O ancora allo studio delle stelle per creare delle rotte commerciali dei Fenici
Ma soprattutto possiamo pensare alle opere più meravigliose della storia antica.
Come ad esempio le piramidi egizie e i templi greci.
Il Colosseo degli antichi romani e le piramidi incas.
Tutto questo non sarebbe mai stato possibile senza la matematica.
OGGI TUTTAVIA…
La matematica è percepita da molti studenti come una cosa insopportabile.
La maggior parte degli studenti è convinto che la matematica sia inutile e senza di essa il mondo sarebbe migliore
Centinaia di regole prive di significato che vengono imposte dall’alto, al solo fine di creare sofferenza e dolore
Questo crea molta confusione e frustrazione in molti studenti.
Probabilmente questa è l’immagine più comune dello studente medio di un professore di matematica.
La verifica si sta avvicinando e l’angelo della morte è pronto a infliggere il colpo di grazia.
Come possiamo uscire da questa situazione?
Come possiamo salvarci da tutte le ansie che questa materia ci infligge?
UN APPROCCIO DIVERSO
Quando ci accingiamo ad esplorare il mondo della matematica abbiamo bisogno di una bussola.
L’ambito degli argomenti è infatti molto vasto.
Per questo motivo abbiamo bisogno di prima di partire di una mappa concettuale
STRUTTURA DELLA MATEMATICA
Possiamo immaginare la matematica come se fosse una grande piramide.
Alla base di questa piramide stanno tutti gli argomenti più basilari.
Poi troviamo quelli intermedi.
Seguendo troviamo il livello delle funzioni che fa un po’ da collante tra i primi livelli e gli ultimi.
Ed infine al vertice troviamo gli argomenti più avanzati della matematica.
Ed infine al vertice troviamo gli argomenti più avanzati della matematica.
Se vogliamo avere uno scema un po’ più preciso di quello che significa la piramide della matematica osservate la figura qui sotto.
LA BASE DELLA PIRAMIDE MATEMATICA
Alla base di questa struttura possiamo trovare quella che noi chiameremo la matematica base, per quello che concerne la parte di algebra.
Se notate bene sulla fiancata a sinistra c’è la parte geometrica, chiamata geometria euclidea.
Per darvi un’idea di quando si studiano questi concetti diciamo solitamente nel biennio delle scuole superiori.
LIVELLO INTERMEDIO
Poi nel livello intermedio troviamo la matematica intermedia, per quel che riguarda la parte algebrica.
In questo filone troviamo le equazioni e disequazioni di ogni genere.
Partendo da quelle di primo grado o riconducibili al primo grado, fino a quelle più sofisticate di natura esponenziale e logaritmica.
Questo lungo filone si affronta a livello scolastico tra la seconda e la quarta superiore.
Sulla fiancata sinistra, quella che riguarda la parte geometrica si sviluppa quel livello intermedio che prende il nome di geometria cartesiana.
La geometria cartesiana, dal nome del suo inventore Cartesio (1596-1650), è il punto di incontro tra la geometria euclidea classica e l’algebra delle equazioni e delle disequazioni.
Questa sezione si collega poi al filone delle equazioni che è lo step successivo procedendo verso la più alta conoscenza matematica.
Tale livello oggetto di studio solitamente al terzo anno di un liceo scientifico
IL LIVELLO DELLE FUNZIONI
Il livello successivo di questo girone dantesco ci porta poi alle funzioni.
Se c’è un argomento che nella matematica riveste un ruolo di primissimo piano sono proprie queste ultime.
Le funzioni sintetizzano tutti gli aspetti algebrici che troviamo nella matematica base e quella intermedia, con quelli base e intermedi che troviamo nella geometria.
Le funzioni si studiano in modo approfondito tra il quarto e il quinto anno delle scuole superiori.
LIVELLI SUPERIORI
Sopra il livello delle funzioni troviamo poi gli argomenti più avanzati dalla matematica, che ho suddiviso in tre grandi filoni:
- Integrali
- Funzioni a due variabili
- Algebra lineare.
Nella fiancata di sinistra del nostro schema come potete notare della figura in alto c’è la trigonometria.
Questa materia l’ho collocata tra la matematica intermedia e quella delle funzioni.
La trigonometria è un contenitore molto vasto, che oltre ad essere una materia a se, riesce a contenere tutti gli argomenti che si collocano alla base della piramide.
Questa è una materia talmente ampia che necessita di un video corso interamente dedicato ad essa.
Una volta acquisiti gli elementi della piramide matematica è possibile affrontare materie più complesse, che ancora oggi reggono i pilastri della nostra società moderna.
Per citarne alcune possiamo trovare:
- Economia
- Fisica
- Informatica
- Ingegneria.
Ovviamente la materia dove per eccellenza serve un’ottima conoscenza della matematica è l’ingegneria.
Questa ultima parte della matematica viene studiata con dicersi gradi e livelli di conoscenza in ambito universitario a seconda della facoltà scelta.
OSSATURA CENTRALE
Nel nostro corso di matematica ci occuperemo dell’ossatura centrale della materia.
MATEMATICA BASE
Il primo livello della matematica a livello algebrico è quello dedicato agli argomenti base della matematica:
Tra questi riordiamo in ordine:
- Numeri e operazioni fondamentali
- Monomi e polinomi
- Frazioni algebriche
- Equazioni e disequazioni di primo grado
- Sistemi di equazioni
- Radicali
MATEMATICA INTERMEDIA
A seguire troviamo quella che definisco la matematica intermedia, che si occupa principalmente delle equazioni e delle disequazioni.
In essa troviamo:
- Equazioni e disequazioni fratte e di secondo grado
- Sistemi di disequazioni
- Equazioni e disequazioni irrazionali
- Equazioni e disequazioni in valore assoluto
- Esponenziali
- Logaritmi
Questi due argomenti includono anche equazioni e disequazioni logaritmiche.
MATEMATICA DELLE FUNZIONI
Eccoci arrivati nel girone principe della matematica, le funzioni.
Esse sintetizzano, come accennato in precedenza gli argomenti dell’algebra e della geometria, formando un ampissimo argomento.
Tra i principali step per lo studio delle funzioni ricordiamo:
- Dominio delle funzioni
- Intersezioni con gli assi e segno
- Limiti e continuità
- Rapporto incrementale
- Derivate
- Massimi, minimi, concavità e flessi.
MATEMATICA AVANZATA
Per quanto possa essere difficile operare una classificazione degli argomenti della matematica, ho deciso di suddividere il vertice di questa piramide in tre principali categorie:
- Integrali
- Funzioni a due variabili
- Algebra lineare.
INTEGRALI
Possiamo considerare l’argomento dei radicali come una prosecuzioni delle derivate.
Gli integrali servono nello studio delle funzioni a calcolare l’area sottesa tra la funzione e l’asse delle x.
Ma in ambito ingegneristico possono spingersi sino a calcolare aree e volumi.
In un primitivo approccio degli integrali ho distinto i seguenti sotto argomenti:
- Concetto di integrale
- Integrazione di:
- funzioni elementari
- funzioni la cui derivata è una composta
- Integrali per sostituzione e per parti
- Integrali di funzioni fratte
FUNZIONI A DUE VARIABILE
Le funzioni a due variabili possono essere considerate a tutti gli effetti il prolungamento dello studio di funzioni ad una variabile.
Pertanto essi presentano lo stesso schema di approccio dello studio delle funzioni ad una variabile reale.
Con la differenza che essi si riferiscono ad un grafico tridimensionale e dovremo sfoggiare tutte le conoscenze della geometria cartesiana per una corretta comprensione dell’argomento.
Ho comunque distinto le seguenti fasi di studio:
- Definizione di funzione a due variabili
- Dominio
- Curve di livello
- Vettore gradiente (derivate parziali) utilizzato per i punti stazionari
- Hessiano, che utilizza le matrici per capire la natura di tali punti.
ALGEBRA LINEARE
L’algebra lineare non sembra avere particolari connessioni con gli altri livelli della matematica, se non per quanto riguarda l’ambito dei numeri.
È un argomento potenzialmente vastissimo, che è trattato come una branchia indipendente della matematica.
L’unico argomento con cui sembra avere una fortissima connessione in realtà sono i sistemi lineari e la geometria cartesiana.
In realtà una volta passato lo step dei sistemi lineari è possibile creare l’argomento più importante di questa materia, ovvero le funzioni lineari.
Solo grazie a questo strumento si può realmente comprendere la connessione di questa materia con tutte le altre branchie della matematica.
Gli step principali per muoversi all’interno di questa materia sono:
- Vettori
- Operazioni tra vettori
- Vettori linearmente dipendenti e indipendenti
- Determinante
- Rango
- Matrici inverse
- Sistemi lineari
A questi argomenti che solitamente sono certamente studiati nell’ambito delle facoltà di economia, affianchiamo altri che sono di livello più avanzato:
- Spazi e sottospazi vettoriali
- Funzioni lineari
CORSO DI MATEMATICA
Se sei arrivato fino a questo punto della lettura e se sei fortemente interessato ad intraprendere un percorso corretto di matematica ho creato un corso adatto al tuo caso.
Nel nostro corso di matematica ho seguito centrale della materia.
Ho suddiviso questo corso di elementi di matematica in 7 sezioni:
- Dai concetti base alle prime equazioni
- Dalle equazioni ai primi studi di funzioni
- Limiti
- Integrali e derivate
- Funzioni a due variabili
- Algebra lineare
- Teoremi della matematica
1. DAI CONCETTI BASE ALLE PRIME EQUAZIONI – UN RAPIDO RIPASSO
Molto spesso si comincia a preparare l’esame di elementi non si tiene in considerazione che il punto di partenza non sono le derivate e gli integrali.
Per un corretto approccio al mondo delle funzioni è infatti di basilare importanza conoscere gli elementi fondamentali del calcolo ovvero:
- numeri
- monomi
- polinomi
- frazioni algebriche.
- fondamenti delle equazioni.
Questo mini corso offre una rapida rispolverata per tutti quei concetti che vengono presto lasciati nel dimenticatoio dalla gran parte degli studenti.
Questo avviene pressappoco tra la prima e la seconda superiore.
Questo è il primo fondamentale step per preparare in modo corretto l’esame di matematica, o di elementi di matematica.
Questo secondo mini corso segna dunque la seconda fase del nostro viaggio.
Dopo aver assaporato quali sono i fondamenti del calcolo numerico attraverso i concetti di numeri puri, monomi, polinomi e frazioni algebriche il viaggio prosegue.
2. DALLE EQUAZIONI AI PRIMI STUDI DI FUNZIONE
In questa seconda parte gli argomento trattati sono:
- equazioni e disequazioni di primo grado
- sistemi di disequazioni
- equazioni fratte e fattorizzate
- radicali, argomento ampio
- equazioni e disequazioni irrazionali
- equazioni e disequazioni esponenziali
I primi punti dello studio di funzioni sono:
- dominio
- intersezioni con gli assi
- segno
- grafico probabile
Vedremo questi studi applicati a funzioni di varia natura:
- razionale
- fratta
- irrazionale
- Esponenziale
Lo studio di funzioni rappresentano il perno centrale attorno al quale ruota tutto il ragionamento matematico.
Le funzioni sono definite come le relazioni per cui ad ogni elemento di un certo insieme, che chiamiamo dominio, corrisponde uno ed un solo elemento del codomio.
Grazie alle Funzioni è possibile prevedere l’andamento di una variabile, chiamata solitamente x, rispetto all’andamento di un’altra variabile y.
Le funzioni trovano ampio spazio nel mondo della fisica, dove si cerca di determinare leggi sempre più precise che legano tra di loro diversi aspetti misurabili della realtà.
Consideriamo ad esempio la legge di gravitazione universale, scoperta da Newton e trattata nella sua opera Philosophiae Naturalis Principia Mathematica del 1687.
La sua formulazione è F=G(m1*m2)/R^2, dove:
- F è la forza che lega due pianeti
- G è la costante di gravitazione universale
- m1 e m2 sono le masse dei corpi
- R è la distanza che separa i due corpi
In particolare questa formula tenta di prevedere la Forza che due corpi sviluppano a causa dell’attrazione di gravità.
Da questa formulazione possiamo vedere che tale forza è direttamente proporzionale alle masse dei corsi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
3. LIMITI E CONTINUITA'(DA COMPLETARE)
La fase successiva di occupa dei limiti.
In particolare in questa sezione vedremo:
- analisi grafica dei limiti
- definizione formale di limite
- Forme note dei limiti
- limiti forme indeterminate 0/0 e infinito/infinito
- applicazione dei limiti per studiare la continuità di una funzione
- punti di discontinuità
Questa sezione è da aggiornare e completare!
4. DERIVATE E INTEGRALI
Dopo i limiti entriamo finalmente nel cuore della matematica: le derivate e gli integrali.
Se avete seguito correttamente questo tabellina di marcia eccoci arrivati al cuore della matematica moderna.
Le derivate e gli integrali hanno cominciato ad essere concepite in Europa a partire dal 1600.
DERIVATE
Fu grazie a studiosi come Newton che nacque il calcolo differenziale e il concetto di derivata di una funzione.
In matematica sono uno strumento potentissimo per indagare a fundo una funzione.
In questa sezione affronteremo dapprima i concetti di :
- rapporto incrementale
- derivata prima di una funzione
- Regole di derivazione
- esercizi sulle regole di derivazione
Negli esercizi pratici utilizzeremo queste derivate all’interno dello studio di funzioni per analizzare:
- punti stazionari
- punti di non derivabilità
- crescenza e decrescenza
- concavità e flessi
Negli esercizi pratici troveremo inoltre
- retta tangente ad una funzione
- polinomio di Taylor
INTEGRALI
Nella sezione relativa agli integrali vedremo:
- il concetto di integrale e funzione primitiva
- regole di integrazione di funzioni elementari e composte
- Regole di integrazioni sulle fratte
- integrali per parti
- integrali per sostituzione
Nel video corso specifico troverete anche la sezione dedicata all’eserciziario.
5. FUNZIONI A DUE VARIABILI
Le funzioni a due variabili possono essere considerati come un ampliamento delle funzioni ad una variabile.
Con l’unica differenza riguarda il dominio della funzione.
Nelle funzioni ad una variabile partivano da un dominio in R per arrivare ad un condominio in R.
Nelle funzioni a due variabili il dominio è definito in un piano cartesiano, quindi diremo che la funzione va da R^2 a R.
In questo mini corso vedremo:
- concetto di funzione a due variabili
- cenni sul dominio
- derivate parziali prime e vettore gradiente
- Punti stazionari e classificazione mediante il metodo dell’Hessiano.
Nel video corso specifico troverete anche la sezione dedicata all’eserciziario.
6. ALGEBRA LINEARE
E’ quella parte dell’Algebra lineare che di solito viene studiata in modo basilare nei corsi di economia.
in questa sezione troveremo:
- concetto di vettore e operazioni di vettori
- vettori linearmente dipendenti e indipendente
- Matrici, tipologie e operazioni
- Prodotto tra matrici
- Matrice inversa
- determinante e rango di una matrice
- sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli
- Metodi Cramer e Pivot
Nel corso specifico sull’Algebra lineare troverete tutta la sezione più approfondita adatta ai corsi di ingegneria.
7. TEOREMI DELLA MATEMATICA
Questa sezione la troverete colo nel video corso specifico
ESERCIZIARIO
Si raccomanda coloro che vogliono realmente avere una adeguata preparazione per l’esame di affiancare questo corso al corso ESERCIZI DI MATEMATICA (TRATTI DA UNIVERSITA’).
Qualora invece avete optato per i mini corsi, gli esercizi sono già compresi all’interno.
Questo corso è complementare poiché vengono messi in pratica tutte le nozioni contenute in questo nel corso principale sulla matematica.
I temi sono tratti principalmente dall’università di Bergamo ma vi sarà un continuo aggiornamento.
NOTE FINALI
Il corso ha una durata complessiva di circa quaranta ore.
Il Contenuto Video del corso sarà vostro per 180 giorni.
Mentre i contenuti PDF sono scaricabili.
