La matematica finanziaria è quella parte della matematica che si occupa di problemi collegati alla finanza.
In particolare modo l’oggetto principalmente studiato sono le operazioni finanziarie, tipicamente investimenti e finanziamenti.
INDICE
RELAZIONI CON MOLTE MATERIE ECONOMICHE
La matematica finanziaria ha relazioni con diverse materie che si studiano in ambito economico.
In particolare mi riferisco a:
- Finanza
- Mercato mobiliare
- Economia monetaria
- Ragioneria
- Economia politica
La relazione forse più forte è quella che la collega alla finanza aziendale.
La finanza aziendale è infatti quella branchia dell’economia che studia le decisioni di investimento e di finanziamento delle imprese.
Le relazioni tra la matematica finanziaria e la finanza aziendale sono dunque molteplici.
Quando dobbiamo stabilire infatti la fattibilità o meno di un progetto di investimento, il principale strumento che abbiamo a disposizione deriva principalmente dalla matematica finanziaria.
In particolare ci riferiamo al metodo del Valore Attuale Netto (VAN) di un investimento che consiste nell’attualizzazione i flussi di cassa futuri generati dall’investimento stesso.
Anche quando dobbiamo calcolare il prezzo delle azioni e delle obbligazioni ci servono tali procedimenti di attualizzazione.
Così infine questi stessi procedimenti si spingono sino a calcolare il valore della società.
Anche la relazione della matematica finanziaria con mercato mobiliare è abbastanza forte.
Il mercato mobiliare è quella branchia dell’economia che ha come oggetto principale lo scambio dei titoli finanziari e le loro caratteristiche in termini di rischio e di rendimento.
Tali titoli sono principalmente azioni e obbligazioni, ma vi sono anche titoli chiamati derivati (proprio perché derivano dai primi due) come ad esempio opzioni, future, e swap.
Per conoscere il valore di mercato di questi titoli la conoscenza della matematica finanziaria è fondamentale.
Ancora un’altra materia in cui vi sono importanti relazioni con la matematica finanziaria è il mercato monetario.
Possiamo definire il mercato monetario come un mercato di capitali in cui vengono scambiati titoli e prestiti con durata generalmente inferiore ai 18 mesi.
Anche qui la matematica finanziaria entra in gioco per stabilire il valore di tali titoli finanziari o per determinare l’ammontare degli scambi monetari generati ad esempi tra le banche e le imprese in materia di finanziamenti.
Un po’ meno strette sono le relazioni tra la matematica finanziaria ed altre due materie: ragioneria ed economia politica.
In ragioneria forse una delle poche connessioni consiste nei calcoli relativi alla partita doppia quando ci troviamo di fronte ai piani di ammortamento relativamente al calcolo degli interessi passivi, o per il calcolo del valore della cambiali.
Anche nell’economia politica troviamo qualche piccolo
Nella micro economia si trova qualche piccolo cenno nella teoria del vincolo inter-temporale, grazie al quale è possibile comprendere le decisioni di scelta tra il reddito presente e quello futuro di un individuo.
Mentre in macroeconomia troviamo un po’ di matematica finanziaria quando si introduce il concetto di interesse, fondamentale poi per comprendere il meccanismo del modello IS-LM
STRUTTURA PIRAMIDALE DELLA MATEMATICA FINANZIARIA
Prima di affrontare la matematica finanziaria è bene sapere che la possiamo rappresentare come una piramide.
Alla base di questa piramide troviamo gli elementi fondamentali, poi troviamo un livello intermedio ed infine quelle più avanzato.
Ess in qualche modo può essere vista anche come una scatola cinese in cui la base è la scatola più piccola, il livello intermedio è la scatola intermedia, mentre quello avanzato è la scatola grande
Entriamo più nello specifico definendo meglio le componenti dei vari livelli.
LIVELLO BASE
Nel livello base della matematica finanziaria troviamo tutti quei concetti base che definiscono meglio la materia.
Mi riferisco in particolare a:
- Processi di capitalizzatone e attualizzazione
- Capitale, montante e valore attuale
- Interesse, tasso di interesse e intensità di interesse
- Sconto tasso di sconto e intensità di sconto
- Fattore di montante e di attualizzazione
- Scindibilità e traslabilità
Questa parte della materia è a mio avviso la più incomprensibile dal punto di vista pratico, poiché si aggancia ai concetti e alle definizioni puramente matematiche.
Definiti questi concetti se vogliamo di re così un po’ astratti comincia il vero viaggio nello studio della materia, che riprende dai regimi finanziari.
I regimi finanziari sono quella parte della materia che formalizza le regole di calcolo che verranno utilizzate quando si avrà a che fare con le operazioni finanziarie, ovvero investimenti e finanziamenti.
Distinguiamo i regimi finanziari in tre principali categorie:
- Semplice
- Composto
- Anticipato.
Questi tre regimi finanziari vengono analizzati sia in fase di capitalizzazione che in fase di attualizzazione.
È di fondamentale importanza in questo approccio un utilizzo appropriato delle formule inverse e la conoscenza di alcune proprietà matematiche come le derivate.
Un terzo blocco che contribuisce a definire meglio il livello base della matematica finanziaria è quello dei tassi di interesse.
Un aspetto chiave dei tassi di interesse che vengono utilizzati nei regimi finanziari è che esiste una relazione biunivoca tra l’unità temporale che si sta utilizzando e il tasso di interesse stesso.
Per unità temporale intendiamo ad esempio, il mese, il quadrimestre, l’anno e così via.
A questi dovranno corrispondere il tasso mensile, il tasso quadrimestrale, il tasso annuo e via discorrendo.
LIVELLO INTERMEDIO
Una volta che abbiamo affrontato il cammino salendo i gradini del livello base eccoci arrivati al livello intermedio.
Questo è il livello a mio avviso più affascinante della materia.
Arrivati a questo punto dovremmo essere in grado di utilizzare tutti gli strumenti acquisititi nella prima parte del percorso per creare nuovi e più e elaborati concetti.
Questi sono le operazioni finanziarie e le rendite.
OPERAZIONI FINANZIARIE
Le operazioni finanziarie possono essere definiti come una serie di importi in tempi differenti.
Esse possono essere descritte sia attraverso l’utilizzo dei vettori che rappresentati graficamente su una linea del tempo.
Immaginiamo che un individuo si privi oggi di una certa somma di denaro, ad esempio 1.000 euro con la finalità di ricevere 300 euro tra un anno, 600 euro ra due anni e 400 euro tra tre anni.
Potremo descrivere questa operazione finanziaria attraverso l’utilizzo di due vettori, che possiamo chiamo X e T.
$$ X = \begin{pmatrix} -1.000 & +300 & +600 & +400 \end{pmatrix} $$
$$ T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} $$
Dove per X intendiamo il vettore le cui componenti rappresentano i flussi di cassa prodotti da questo investimento, mentre il vettore T rappresenta i tempi corrispondenti di tali flusso di cassa.
Se volessimo rappresentare invece tale situazione su una linea del tempo avremo:
Sopra linea del tempo ho rappresentato i tempi, ovvero le componenti del vettore T, mentre sotto la linea, in corrispondenza di ogni tempo gli importi monetari, ovvero le componenti di X.
Quando si studiano tali operazioni finanziarie ritengo che sia di fondamentale importanza una corretta, seppur non precisa, rappresentazione grafica.
Le operazioni finanziarie si distinguono in operazioni di investimento e di finanziamento.
INVESTIMENTI E FINANZIAMENTI
Un’operazione finanziaria di investimento, come quella rappresentata in precedenza indica una rinuncia iniziale di risorse per ottenere dei valori positivi nei tempi seguenti.
Un esempio pratico di operazione di investimento in termini reali potrebbe essere rappresentato da un’azienda che acquista un macchinario o un impianto.
Tale acquisto permetterà all’azienda di produrre dei beni e servizi che una volta venduti al consumatore genereranno dei flussi finanziari positivi.
Un esempio di investimento di natura finanziaria potrebbe essere l’acquisto da parte di un investitore di un titolo obbligazionario.
In cambio dell’acquisto di tale titolo l’investitore avrà il diritto ad esempio a riscuotere periodicamente delle cedole, che rappresentano gli interessi dell’investimento e il suo capitale a scadenza.
Dall’altro lato troviamo le operazioni finanziarie di finanziamento.
Nei finanziamenti abbiamo in una fase iniziale un flusso finanziario con segno positivo, seguito in una o più fasi successive a flussi di cassa negativi.
Tali flussi di cassa vengono definite rate, che incorporano, oltre che il pagamento del capitale preso a prestito anche le rispettive quote interesse.
Questa parte verrà meglio descritta all’interno del livello avanzato dedicato ai piani di ammortamento.
RENDITE
Per rendite possiamo intendere delle operazioni finanziarie caratterizzate da importi dello stesso segno chiamate rate.
In realtà questa definizione non è propriamente corretta poiché se gli importi hanno tutti lo stesso segno tale operazione non sarebbe definibile ne come un investimento e neppure come un finanziamento.
Comunque poco ci importa se non che sia una definizione funzionale a concepire questo nuovo concetto.
Se volessimo trovare una definizione un po’ più lineare potremmo usare la seguente.
Possiamo definire una rendita come un insieme di importi chiamati rate, esigibili o pagabili in tempi predefiniti.
Un esempio di rendita potrebbe essere il seguente:
Questa rendita presenta due rate di importo 1.000 pagabili tra 1 e 2 anni, e 2 rate di importo 2.000 pagabili tra 5 e 7 anni.
CLASSIFICAZIONE DELLE RENDITE
Il punto di partenza quando si affrontano le rendite è la classificazione.
Le rendite possono essere classificate sulla base di diversi fattori che riguardano le rate che la compongono, come ad esempio:
- Importo delle rate
- Periodicità delle rate
- Durata della rendita
- Decorrenza
- Scadenza della rata
VALORE ATTUALE E MONTANTE DELLE RENDITE
Quando affrontiamo le rendite all’interno della matematica finanziaria siamo interessati a conoscere il valore attuale (oggi) della rendita oppure il suo valore alla scadenza (montante).
Ancora una volta ritornano prepotenti i concetti di attualizzazione e capitalizzazione.
Quando vogliamo calcolare il valore oggi della rendita dovremo attualizzare ad oggi le rate future.
Quando invece vogliamo calcolare il montante della rendita allora dobbiamo capitalizzare le rate sino all’epoca della scadenza della rendita
RENDITE MOLTO PARTICOLARI
Il tipo di rendita maggiormente studiata proprio per la sua semplice struttura presenta le seguenti caratteristiche:
Rendita a rata costante, periodica, temporanea di n rate, immediata e posticipata.
Se rappresentiamo questo tipo di rendita potremo vederla in questo modo:
Quando operiamo nel regime composto esistono delle formule molto particolari per calcolarne il valore attuale e il montante.
Per calcolare il valore attuale utilizziamo questa formula:
$$ V = R \cdot a_{n \rceil i} = R \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i} $$
Dove quel simbolo dopo il primo uguale si legge a figurato n al tasso i, dove n indica il numero di rate e i il tasso di interesse.
La seguente figura mostra cosa avviene a livello grafico.
Per calcolare il montante della rendita ci avvaliamo invece della seguente formula:
$$ V = R \cdot s_{n \rceil i} = R \cdot \frac{(1+i)^{n} -1}{i} $$
Dove il simbolo con la s, si legge “esse figurato n al tasso i”
Una volta compresi i fondamenti di questi due calcoli è possibile guardare in senso più ampio a tutti gli altri tipi di rendite particolari che possono essere schematizzati tramite il seguente schema ad albero.
In questa sezione meritano una particolare attenzione le rendite perpetue.
Tale attenzione è dovuta al fatto che per poter calcolare il valore attuale di tali rendite il procedimento è molto semplice.
$$ V = \frac{R}{i} $$
LIVELLO AVANZATO
Quando abbiamo superato gli step intermedi delle operazioni finanziarie e delle rendite siamo finalmente in grado di affrontare i livello avanzati della matematica finanziaria.
In essi facciamo rientrare i seguenti 4 argomenti:
- Piani di ammortamento
- Criteri di scelta tra operazioni finanziarie
- Titoli obbligazionari e struttura dei tassi di interesse
- Matematica attuariale
Se volessimo essere più precisi i piani di ammortamento e i criteri di scelta sarebbero un “avanzato 1”, mentre gli ultimi due argomenti un “avanzato 2”.
PIANI DI AMMORTAMENTO
I piani di ammortamento sono i piani di restituzione di un prestito attraverso delle rate.
Ogni rata comprende in se due componenti.
La prima è la quota capitale, ovvero quella parte di rata che è destinata alla restituzione del capitale preso a prestito.
La seconda è la quota interesse, ovvero quella parte di rata che serve a remunerare il capitale preso a prestito.
Il pagamento di ogni rata diminuisce il debito residuo, inizialmente pari al capitale preso a prestito, della relativa quota capitale.
Il debito estinto aumenta della successiva quota capitale.
I piani di ammortamento vengono rappresentati come nella seguente figura:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \bf{k} & \bf{t_k} & \bf{R_k} & \bf{C_k} & \bf{I_k} & \bf{D_k} & \bf{E_k} \\ 0&t_0 & -&-&-&S&- \\ 1&t_1 & R_1 & C_1 & I_1 & D_1 & E_1 \\ 2 & t_2 & R_2 & C_2 & I_2 & D_2 & E_2 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ j & t_{j} & R_{j} & C_{j} & I_{j} & D_{j} & E_{j} \\ j+1 & t_{j+1} & R_{j+1} & C_{j+1} & I_{j+1} & D_{j+1} & E_{j+1} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ n & t_{n} & R_{n} & C_{n} & I_{n} & D_{n} & E_{n} \end{array}
k indica il numero della rata
tk l’epoca relativa ad ogni rata
Rk è l’importo della k-esima rata
Ck è l’importo della k-esima quota capitale
Ik è l’importo della k-esima quota interesse
Dk è il k-esimo debito residuo
Ek è il k-esimo debito estinto.
CONDIZIONI DI CHIUSURA
Affinché sia valido un piano di ammortamento devono valore due condizioni di chiusura: elementare e finanziaria.
La condizione di chiusura elementare implica che la somma algebrica delle quote capitale deve essere pari al capitale preso a prestito.
$$ S = \sum_{k=1} ^n \ C_k = C_1 + C_2 + \dots + C_n $$
La condizione di chiusura finanziaria afferma invece che la somma delle rate attualizzate deve coincidere con il capitale S preso a prestito.
Scritta con formule matematico, quando si opera nel regime a capitalizzazione composta, diventa:
$$ S = sum_{k=1}^n R_k \cdot (1+i)^{-t_k} $$
Formula che può essere esplicitata nel seguente modo:
$$ S = R_1 \cdot (1+i)^{-t_1} + R_2 \cdot (1+i)^{-t_2} + \dots + R_n \cdot (1+i)^{-t_n} $$
TIPOLOGIA DI PIANI DI AMMORTAMENTO
Oltre ai generici piani di ammortamento dove non esistono particolari regole di stesura, possiamo riconoscere alcune tipologie “standard” di piani di ammortamento.
Le principali tipologie di ammortamento sono:
- Restituzione in un’unica rata finale
- Pagamento periodico delle quote interesse e capitale a scadenza
- Italiano
- Francese
- Americano
AMMORTAMENTO CON RESTITUZIONE TRAMITE UN’UNICA RATA FINALE
Questo è il piano di ammortamento più semplice in quanto prevede la restituzione di una sola rata alla scadenza.
Supponendo che tale rata venga pagata dopo n periodi il suo calcolo sarà il montante del capitale S preso a prestito.
$$ R = S \cdot (1+i)^n $$
L’unica quota capitale contenuta nella rata sarà ovviamente pari a S, mentre la quota interesse potremo calcolarla in questo modo:
$$ I = S \cdot [(1+i)^n -1] $$
AMMORTAMENTO CON QUOTE CAPITALI COSTANTI E RIBORSO DEL PRESTITO A SCADENZA
Anche questo piano di ammortamento è particolarmente semplice.
Ad intervalli di tempo regolari vengono pagate quote di interessi costanti pari a:
$$ I = S \cdot i $$
Mentre nell’ultimo periodo viene pagata anche la quota capitale pari all’importo del capitale S
$$ R_n = S + S \cdot i = S \cdot (1+i) $$
AMMORTAMENTO ITALIANO
Il piano di ammortamento italiano è definito anche piano di ammortamento a quota capitale costante.
Dalla condizione di chiusura elementare si evince subito che la quota capitale è pari al rapporto tra il capitale preso a prestito e il numero di rate:
$$ Q = \frac{S}{i} $$
Il debito residuo (Dk) e il debito estinto (Ek) seguono una progressione aritmetica in ragione della quota capitale.
$$ E_k = \frac{S}{n} \cdot k $$
$$ D_k = \frac{S}{n-k} \cdot k $$
Per calcolare invece la quota interesse usiamo la seguente formula:
$$ I_k = \frac{S}{n-k} \cdot (n-k+1) \cdot i $$
AMMORTAMENTO FRANCESE
Il piano di ammortamento francese è definito anche piano di ammortamento con rata costante.
Dalla condizione di chiusura finanziaria, da cui possiamo applicare le regole sulle rendite risulta immediatamente chiaro che:
$$ R \cdot a_{n \rceil i} = R \cdot \frac{ 1 – (1+i)^{-n}}{i} $$
Da questa relazione risulta immediato il calcolo della rata dell’ammortamento:
$$ R = \frac{S}{a_{n \rceil i}} = \frac{S}{\frac{ 1 – (1+i)^{-n}}{i}} $$
Questo piano di ammortamento è anche definito progressivo, nel senso che le sue quote capitali seguono una progressione geometrica la cui ragione è pari a (1+i).
Più in generale potremo anche scrivere che:
$$ C_k = C_{} \cdot (1+i) = C_1 \cdot (1+i)^{k-1} $$
Una relazione interessante che collega il pagamento della rata R alla quota capitale del k-esimo periodo Ck è la seguente
$$ C_k = R \cdot v^{n-k+1} = R \cdot (1+i) ^{- \ (n-k+1)} $$
La quota interesse segue invece la seguente seguente formula
$$ I_k = R \cdot \left( 1- v^{n-k+1} \right) = R \cdot \left( 1 – (1+i) ^{- \ (n-k+1)} \right) $$
Il debito ad una determinata epoca k può essere calcolato attualizzando le future (n-k) rate.
Sempre tornando all’esempio di prima se volessimo calcolare il debito residuo all’epoca 15, faremo il seguente calcolo:
AMMORTAMENTO AMERICANO
Di tutti i piani di ammortamento quello americano è sicuramente il più singolare.
Questo piano di ammortamento è definito anche piano di ammortamento a due tassi di interesse.
Con il primo tasso i calcoliamo la quota interesse costante I:
$$ I = S \cdot i $$
Mentre con il secondo tasso j calcoliamo la quota di fondo per ottenere il capitale S
$$ Q = \frac{S}{ s_{n \rceil j}} = \frac{S}{ \frac{(1+j)^n -1}{i}} $$
Il debito residuo resta pari sempre ad S fino alla rata pagata in (n-1), essendo che la quota capitale in tali epoche risulta sempre nulla.
USUFRUTTO E NUDA PROPRIETA’
Quando si studiano i piani di ammortamento due concetti risultano di cruciale importanza.
Mi riferisco ai concetti di usufrutto e di nuda proprietà.
Come ben sappiamo le rate di un ammortamento si suddividono in due componenti: la quota capitale e la quota interessi.
Quando il piano di ammortamento è ad un certo punto della sua vita possiamo attuare il noto concetto di attualizzazione per il calcolo dell’usufrutto e della nuda proprietà.
Per calcolare la nuda proprietà ad una certa epoca t attualizzazione ad un determinato tasso, solitamente nel regime composto le future quote capitale.
Mentre per calcolare l’usufrutto attualizziamo le future quote interesse.
Il grafico sottostante dovrebbe rendere l’idea.
Vi faccio un attimo ragionare sui concetti di usufrutto e nuda proprietà.
La nuda proprietà richiama al concetto del capitale che è stato prestato.
La proprietà del capitale che deve essere restituito alla banca.
L’usufrutto richiama invece al concetto che qualcuno sta usufruendo di questo capitale.
Per questo motivo chi detiene il capitale a prestito paga una sorta di affitto chiamato interesse.
CRTERI DI SCELTA
Quando stiamo prendendo in considerazione un’operazione finanziaria, o più in particolare dei progetti di investimento o di finanziamento abbiamo bisogno di criteri che ci facciano meglio capire la direzione da seguire.
I criteri di scelta o di valutazione dei progetti offrono degli strumenti grazie ai quali è possibile scegliere l’alternativa migliore in quanto a investimenti o finanziamenti.
I principali criteri di scelta a disposizione sono il REA e il TIR.
RISULTATO ECONOMICO ATTUALIZZATO (REA)
Il REA, ovvero il Risultato Economico Attualizzato, è un criterio di scelta che si basa sull’attualizzazione ad un determinato tasso di interesse dei flussi di cassa prodotti da un’operazione finanziaria.
TASSO INTERNO DI RENDIMENTO (TIR)
Il secondo criterio di scelta importante è il TIR, ovvero il tasso interno di rendimento.
Il TIR è definito come quel tasso che rende il REA pari a zero.
MERCATO OBBLIGAZIONARIO E STRUTTURA DEI TASSI DI INTERESSE
Il terzo tasso della matematica finanziaria avanzata riguarda il mercato obbligazionario e la struttura finanziaria dei tassi di interesse.
OBBLIGAZIONI
Le obbligazioni sono titoli di debito che servono a finanziare le aziende.
Questi titoli sono venduti sul mercato ad un determinato prezzo calcolato attualizzando i flussi di cassa prodotti dal titolo ad un determinato tasso di interesse.
Una principale classificazione delle obbligazioni riguarda il pagamento o meno di cedole, ovvero degli interessi pagati del titolo.
Le obbligazioni senza cedola restituiscono un unico flusso di cassa finale chiamato il valore nominale del titolo che incorpora sia il prezzo pagato e i relativi interessi.
Questo obbligazioni vengono anche definite Zero Coupon Bond (ZCB).
Le obbligazioni cedolari (Coupon Bond) vengono emesse ad un determinato prezzo, e pagamento ad intervalli di tempo regolari (annualmente, semestralmente o trimestralmente) delle cedole.
Queste cedole che incorporano gli interessi del titolo vengono calcolate in base ad un predeterminato tasso sul valore nominale del titolo.
IL METODO DEL BOOTSTRAP E LA STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI
Quando osserviamo il mercato obbligazionario ci rendiamo conto che ogni obbligazione presenta un suo specifico TRES.
IL TRES è quell’unico tasso di interesse che rende l’attualizzazione dei flussi cassa (cedole e valore nominale) del titolo uguale al suo prezzo di emissione.
Questo significa che lo stesso tasso viene utilizzato per attualizzare i flussi di cassa relativi ad ogni epoca.
Se ci pensiamo bene tuttavia la rischiosità di un investimento dovrebbe in qualche modo dipendere dall’orizzonte temporale dello stesso.
Quindi servirebbe un approccio che fa corrispondere ad ogni epoca futura un particolare flusso di cassa, e proprio da questo approccio nasce la procedura del Bootstrap.
Mediante questa procedura siamo infatti in grado di ricavare una serie di tassi spot (o tassi a pronti) che variano al variare della scadenza.
Per adottare questa procedura e per determinare una struttura dei tassi di interesse su n periodi, ci avvaliamo generalmente di n titoli, con scadenze rispettivamente a uno, due, tre, …, n periodi.
ESEMPIO DI APPLICAZIONE DEL BOOTSTRAP
Per fare un esempio concreto immaginiamo di voler ricavare la struttura dei tassi spot a 1, 2, 3 e 4 anni, e per farlo ci avvaliamo di questi quattro titoli.
- BOT con valore nominale pari a 100 e prezzo di emissione di 97,5
- TCF a due anni con cedola annuale pari a 2,2, valore nominale 100 e prezzo 95.
- TCF a tre anni con cedola annuale pari a 4, valore nominale 100 e prezzo 92
- TCF a quattro anni con tasso cedolare 3,8%, valore nominale 100 e prezzo 87,5
MATEMATICA ATTUARIALE
Il quarto tassello della matematica finanziaria avanzata è composto dalla matematica attuariale.
Questa branchia della matematica finanziaria si occupa dell’analisi dei contratti di assicurazione, in particolare delle polizze caso vita e morte.
CONTRATTO DI ASSICURAZIONE
Un contratto di assicurazione è un contratto in cui una persona chiamato il contraente versa un premio in denaro aduna compagnia assicuratrice per garantire, al verificarsi di un certo evento incerto riguardante una certa persona o cosa (assicurato), il pagamento di una certa prestazione ad un beneficiario.
Quando il contratto ha come oggetto la vita o la morte dell’assicurato allora viene definito contratto di assicurazione caso vita o morte.
IMPARA LA MATEMATICA FINANZIARIA
Impara la matematica finanziaria con un percorso strutturato che troverai nei videocorsi di matematica finanziaria.
Scopri il canale YouTube !