Se Gauss, Lobačevskij e Bolyai (di cui abbiamo appena parlato) furono i ribelli che osarono sfidare Euclide in universi paralleli (l’iperbolico), Bernhard Riemann (1826 – 1866) fu il saggio che disse: “Perché scegliere? Posso descriverli tutti.”
Riemann, un allievo timido e geniale di Gauss, non si limitò a creare un’altra geometria. Creò un linguaggio universale per descrivere qualsiasi geometria possibile, su qualsiasi superficie e in qualsiasi dimensione. Fu l’uomo che diede alla curvatura la sua formula matematica.
La Rivoluzione: La Geometria “Intrinseca”
Nel 1854, Riemann dovette tenere la sua lezione di abilitazione (la Habilitationsschrift) di fronte al più temibile dei giudici: il suo mentore, Carl Friedrich Gauss. Invece di presentare un argomento sicuro, Riemann scelse un tema che avrebbe ridefinito la matematica: Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria.
In quella lezione leggendaria, Riemann distrusse l’idea che la geometria dipendesse da come uno spazio è “immerso” in un altro (come un foglio curvo nello spazio 3D). Introdusse il concetto di geometria intrinseca:
La geometria di uno spazio è definita interamente dalle misurazioni che si possono fare all’interno di quello spazio.
Come un verme che striscia su un foglio di carta, che può capire se il foglio è piatto o curvo (una sfera) semplicemente misurando angoli e distanze al suo interno, senza mai “uscire” per guardarlo dall’esterno.
Il Tensore Metrico: La Formula della Curvatura
Per fare ciò, Riemann inventò lo strumento matematico fondamentale per descrivere qualsiasi spazio curvo: il Tensore Metrico (o Tensore di Riemann).
Questa complessa “macchina” matematica ($g_{\mu\nu}$) è un insieme di numeri che definisce, punto per punto, come si misurano le distanze e gli angoli in uno spazio. Dando a questo tensore valori diversi, Riemann poteva descrivere con la stessa equazione:
- Lo spazio piatto di Euclide.
- Lo spazio iperbolico di Lobačevskij e Bolyai.
- Lo spazio sferico.
- E infiniti altri universi curvi in 3, 4, 5 o $n$ dimensioni.
Aveva creato la Geometria Riemmaniana, la matematica universale della curvatura.
L’Ipotesi che Vale un Milione di Dollari
Riemann non si limitò alla geometria. Come Eulero e Gauss, il suo genio toccò ogni campo. Nella Teoria dei Numeri, si immerse nel mistero più profondo: la distribuzione dei numeri primi.
Studiò una funzione oggi nota come Funzione Zeta di Riemann $\zeta(s)$. Scoprì che gli “zeri” (i punti in cui la funzione si annulla) di questa funzione sembravano seguire uno schema preciso. Nella sua pubblicazione del 1859, fece un’affermazione, quasi di sfuggita, che è diventata il problema irrisolto più importante della matematica:
L’Ipotesi di Riemann:
Tutti gli zeri non banali della funzione Zeta di Riemann si trovano sulla “linea critica” con parte reale $1/2$.