Diofanto di Alessandria (vissuto approssimativamente nel III secolo d.C.) è una figura cruciale nel panorama della matematica greca tardo-ellenistica. A lui si deve un approccio matematico radicalmente diverso rispetto alla tradizione geometrica di Euclide e Apollonio.
È universalmente riconosciuto come il padre dell’algebra, grazie al suo lavoro incentrato sulla manipolazione di espressioni e sulla ricerca di soluzioni numeriche a problemi complessi.
INDICE
L’Opera Principale: Arithmetica
L’opera più importante di Diofanto è l’Arithmetica, un monumentale trattato originariamente composto da tredici libri. Purtroppo, solo sei libri sono giunti fino a noi nella versione greca, più un set di quattro libri scoperto in una traduzione araba, lasciando gran parte dell’opera originale perduta.
L’Arithmetica non è un manuale sistematico di teoria, ma una vasta raccolta di circa 150 problemi risolti con grande ingegnosità. La sua metodologia, che combina il rigore greco con le tecniche di calcolo babilonesi, segna il passaggio da una matematica puramente geometrica a una basata sull’analisi numerica.
Il Simbolismo e l’Algebra Sincopata
Il contributo più rivoluzionario di Diofanto risiede nell’introduzione di un simbolismo algebrico primitivo. Mentre i suoi predecessori greci utilizzavano una “algebra geometrica” (dove ogni numero rappresentava una lunghezza, un’area o un volume), Diofanto adottò un’algebra sincopata.
Egli utilizzava abbreviazioni per rappresentare le potenze dell’incognita ($s$ per la prima potenza, $\delta$ per il quadrato, $\kappa$ per il cubo, ecc.) e alcuni segni per le operazioni, abbandonando la totale dipendenza dal linguaggio comune. Sebbene non fosse ancora l’algebra simbolica moderna (che usa simboli anche per i coefficienti e le operazioni, come fece Viète nel XVI secolo), il lavoro di Diofanto rappresentò un passo decisivo verso l’astrazione algebrica.
Le Equazioni Diofantee
La fama di Diofanto è legata in modo indissolubile alle equazioni diofantee o all’analisi indeterminata.
Questo è il nome dato alle equazioni algebriche i cui coefficienti sono numeri interi e per le quali si cercano solo soluzioni intere o razionali.
Diofanto si specializzò nella risoluzione di problemi che ammettevano infinite soluzioni (indeterminate) o problemi con soluzioni limitate (determinate), ma in entrambi i casi egli si accontentava di trovare una singola soluzione specifica, spesso positiva, senza elaborare un metodo generale per trovare tutte le possibili soluzioni.
Un esempio classico è la ricerca delle terne pitagoriche, ovvero le soluzioni intere dell’equazione $x^2 + y^2 = z^2$, problema già noto ma affrontato in modo numerico da Diofanto.
Il Legame con Fermat
L’influenza dell’Arithmetica si estese per secoli, raggiungendo il suo culmine con Pierre de Fermat. Fu leggendo una copia di Diofanto che Fermat fu ispirato a formulare il suo celebre Ultimo Teorema (sull’equazione $a^n + b^n = c^n$ per $n>2$), scrivendo la sua celebre nota a margine proprio accanto al problema 8 del Libro II, dove Diofanto chiedeva di dividere un quadrato in due quadrati.
L’Indovinello della Tomba 🪦
Curiosamente, anche se le informazioni biografiche su Diofanto sono scarse, la sua età è stata tramandata attraverso un epigramma contenuto nell’Antologia Palatina, che si dice fosse inciso sulla sua tomba. Questo epitaffio poetico è un vero e proprio problema algebrico che rivela la sua passione per la matematica fino all’ultimo respiro:
*Questa tomba racchiude Diofanto. Egli ti mostra con arte la durata della sua vita.
Un sesto della sua vita fu l’infanzia, e trascorso un altro dodicesimo, le sue guance si coprirono di peluria. Dopo un settimo della sua vita prese moglie, e trascorsi cinque anni, ebbe un figlio. L’infelice bambino, dopo aver raggiunto la metà della vita del padre, perì. Per quattro anni, il padre consolò la sua pena con la scienza dei numeri, e poi morì.*
Risolvendo l’equazione:
$$\frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4 = x$$
dove $x$ è l’età di Diofanto, si scopre che il matematico visse 84 anni.
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