TEOREMA DEL VALORE MEDIO, O MEDIA INTEGRALE
Sia f: R –> R
Continua in un certo intervallo I
Considerato un verto intervallo [a , b] appartenente all’intervallo I, esiste certamente un punto c in cui la funzione assume il valore medio.
Dal punto di vista grafico.
L’area sottesa tra la funzione, l’asse delle x e le due rette x=a e x=b è pari all’area del rettangolo che ha
per base il segmento che va dal punto a al punto b e
per altezza il valore della funzione nel punto c.
SPAZIO TEMPO E VELOCITA’
Per capire meglio il teorema della media integrale in modo un po’ più concreto, immaginate un’automobile che parte dal casello di Bergamo per andare fino al casello di Brescia.
Monitoriamo l’andamento del veicolo in un certo tratto per un certo tempo, ad esempio 10 minuti, ovvero 600 secondi.
Intuiamo sin da subito che il suo andamento potrebbe non essere a velocità costante:
Magari l’auto sta viaggiando in secondo corsia con una certa velocità.
Ad un certo punto si trova di fronte ad un camion che si è spostato momentaneamente dalla prima corsia per superarlo un carro rimorchio.
In questa situazione l’auto rallenta inizialmente.
Poi siccome il sorpasso del carro rimorchio diventa una cosa un po’ lunga decide di spostarsi sulla terza corsia per superarlo.
Quando l’auto si trova sulla terza corsia il guidatore è gasato da questo nuovo sprint perché alla radio sente la sua canzone preferita.
L’auto comincia ad accelerare in maniera sempre più veloce.
Ad un certo punto ecco in lontananza che si vede la luce del sistema di tutor che misura la velocità media.
Così il guidatore ritorna sui suoi passi e per allontanare il brutto pensiero di vedersi ritirata la patente comincia a decelerare e ritorna cautamente sulla seconda corsia.
Insomma avrete capito che il veicolo che stiamo seguendo non percorre tutto il tratto preso in esame ad una velocita costante.
Proviamo a rappresentare questa situazione nel grafico sottostante
Come avrete notato in questo grafico è riportato sull’asse delle x il tempo espresso in secondi, mentre sull’asse delle y la velocità espressa i metri al secondo.
Sapendo che l’integrale della velocità rispetto al tempo è lo spazio, possiamo calcolare questo spazio come l’integrale che va da 0 a 600 sulla funzione v(t).
Geometricamente questa è pari all’area sottesa tra la funzione l’asse del tempo e i due tempi di riferimento
Spazio percorso da 0 a t
Spazio totale percorso da 0 600s
Per calcolare la velocità media percorsa dall’automobile dovremo dunque dividere lo spazio totale per il tempo di riferimento.
Ora per applicare il teorema del valore medio possiamo affermare che esiste almeno un istante temporale c appartenente all’intervallo (0, 600) in cui il veicolo è pari alla velocità media.
In altre parole se il nostro guidatore avesse mantenuto in tutti i dieci minuti questa velocità media, avrebbe percorso esattamente lo stesso tempo.
