Il teorema dell’area di un triangolo in trigonometria afferma che possiamo calcolare l’area adi un triangolo qualsiasi moltiplicando semplicemente il semiprodotto tra due lati per il seno dell’angolo compreso tra essi.
Dato un generico triangolo di lati a, b, c e di angoli opposti 𝛼, 𝛽, 𝛾 possiamo determinare l’area di questo triangolo con la formula
$$A=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$$
INDICE
DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DELL’AREA DI UN TRIANGOLO
Consideriamo un generico triangolo di lati a, b, c e di angoli opposti 𝛼, 𝛽, 𝛾.
Per prima cosa tracciamo l’altezza h relativa al lato b, che dunque divide in due parti l’angolo 𝛽.
Poniamo ora l’attenzione sul triangolo rettangolo che ha come ipotenusa il lato a.
Il lato h è dunque il cateto opposto all’angolo 𝛾 compreso tra i lati del triangolo a e b.
Per definizione della trigonometria esso può essere calcolato come l’ipotenusa a per seno dell’angolo opposto 𝛾
$$h=a\sin\gamma$$
Passiamo ora a considerare l’area del triangolo a, b, c.
Come ben sappiamo dai tempi delle scuole elementari l’area può tranquillamente essere calcolata come 1/2*base*altezza.
$$A=\frac{1}{2}bh$$
Dunque se consideriamo la base h come la abbiamo scritta prima avremo che:
$$A=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$$
Ecco dunque che abbiamo ricavato il nostro teorema dell’area:
L’area di un triangolo qualsiasi viene calcolata moltiplicando il semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso
Chiaramente possiamo prendere una coppia di lati qualsiasi dunque andiamo a completare il teorema con tutte le coppie di lati ed angoli compresi
$$A=\frac{1}{2}ab\sin\gamma\quad A=\frac{1}{2}ac\sin\beta\quad A=\frac{1}{2}bc\sin\alpha$$
ESERCIZI CON IL TEOREMA DELL’AREA
Andiamo ora a svolgere qualche esercizio pratico sul teorema dell’area per calcolare l’area di un triangolo qualsiasi
ESERCIZIO 1 – TEOREMA DELL’AREA DI UN TRIANGOLO
Calcola l’area del seguente triangolo di cui conosciamo i lati a e b e l’angolo compreso 𝛾
$$a=12\quad b=15\quad \gamma=45^o$$
SVOLGIMENTO:
Dal momento che conosciamo due lati e l’angolo tra essi compreso calcoliamo subito l’area del triangolo applicando il teorema
$$A=\frac{1}{2}ab\sin\gamma\\ \ \\ A=\frac{1}{2}\cdot15\cdot15\sin45^o=\frac{1}{2}\cdot15\cdot12\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=45\sqrt{2}$$
ESERCIZIO 2 – TEOREMA DELL’AREA
Calcola l’area del seguente triangolo di cui conosciamo il lato a e gli angoli ad esso adiacenti 𝛽 e 𝛾
$$a=12\quad b=15\quad\gamma=45^o$$
Se vogliamo calcolare l’area del triangolo l’idea è che dobbiamo avere a disposizione due lati e l’angolo tra essi compreso.
Per questo motivo tentiamo di calcolare la lunghezza del lato c sfruttando il teorema dei seni.
In primo luogo andiamo dunque a calcolare il valore del terzo angolo 𝛼 mancante.
Questo angolo è supplementare rispetto alla somma degli altri due dunque possiamo calcolarlo nel seguente modo
$$\alpha=180^o-(40^o+60^o)=80^o$$
Ora possiamo esplicitare il teorema dei seni secondo il quale in un qualsiasi trinagolo rimane sempre costante il rapporto tra ogni lato ed il seno dell’angolo opposto
$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}$$
Riscriviamo ora la relazione tra il primo e il terzo membro dell’equazione
$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin\gamma}$
Da tale relazione esplicitiamo il valore incognito del lato c
$$c=a\ \frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}=12\ \frac{\sin60^o}{\sin80^o}=10,553$$
A questo punto conosciamo le lunghezze dei lati a e b e l’angolo tra essi compreso 𝛽.
Dunque possiamo applicare il teorema dell’area ad essi relativo
$$A=\frac{1}{2}ac\sin\beta$$
Inserendo i dati noti ricaviamo l’area cercata
$$A=\frac{1}{2}\cdot12\cdot\ 0,553\sin40^o=40,70$$
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