Il Coefficiente di Correlazione Lineare (o Coefficiente di Correlazione di Pearson, indicato con $r$) è l’indice statistico primario utilizzato per quantificare l’intensità e la direzione di un legame di tipo lineare esistente tra due variabili quantitative $X$ e $Y$. Ci dice quanto bene i punti di un grafico a dispersione si dispongono lungo una linea retta.
Formule del Coefficiente di Correlazione
La formula definisce $r$ come il rapporto tra la Covarianza (la misura di quanto $X$ e $Y$ variano insieme) e il prodotto delle deviazioni standard di $X$ e $Y$, che normalizza il risultato nell’intervallo $[-1, 1]$.
Formula Standard (Con Scarti dalla Media)
La formula concettuale si basa sugli scarti dalla media:
$$\mathbf{r} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{n} (y_i – \bar{y})^2}}$$
Formula Alternativa (Di Calcolo)
Una formula algebricamente equivalente, spesso più comoda per i calcoli manuali, è la seguente:
$$\mathbf{r} = \frac{n \sum_{i=1}^{n} x_i y_i – (\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{i=1}^{n} y_i)}{\sqrt{\left[n \sum_{i=1}^{n} x_i^2 – \left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right)^2\right] \left[n \sum_{i=1}^{n} y_i^2 – \left(\sum_{i=1}^{n} y_i\right)^2\right]}}$$
Proprietà e Interpretazione
Il coefficiente $r$ è sempre compreso tra $-1$ e $1$: $\mathbf{-1 \le r \le 1}$.
| Valore di $r$ | Interpretazione | Direzione del Legame |
|---|---|---|
| $\mathbf{r = 1}$ | Correlazione Perfetta Positiva. Le variabili crescono insieme in modo perfettamente lineare. | Crescente $\nearrow$ |
| $\mathbf{0 < r < 1}$ | Correlazione Positiva Forte/Debole. Le variabili tendono a crescere insieme. | Crescente $\nearrow$ |
| $\mathbf{r = 0}$ | Assenza di Correlazione Lineare. Non c’è relazione lineare. | Assente – |
| $\mathbf{-1 < r < 0}$ | Correlazione Negativa Forte/Debole. Una variabile cresce mentre l’altra diminuisce. | Decrescente $\searrow$ |
| $\mathbf{r = -1}$ | Correlazione Perfetta Negativa. Le variabili si muovono in direzioni opposte in modo perfettamente lineare. | Decrescente $\searrow$ |
Esempio Numerico: Ore di Studio e Voto
Obiettivo: Calcolare $r$ tra Ore di Studio ($X$) e Voto all’Esame ($Y$) per $n=5$ studenti.
| Studente | $X_i$ (Ore) | $Y_i$ (Voto) | $\mathbf{X_i Y_i}$ | $\mathbf{X_i^2}$ | $\mathbf{Y_i^2}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 18 | 36 | 4 | 324 |
| 2 | 4 | 22 | 88 | 16 | 484 |
| 3 | 5 | 25 | 125 | 25 | 625 |
| 4 | 7 | 28 | 196 | 49 | 784 |
| 5 | 10 | 30 | 300 | 100 | 900 |
| Somme | $\mathbf{\sum X = 28}$ | $\mathbf{\sum Y = 123}$ | $\mathbf{\sum XY = 745}$ | $\mathbf{\sum X^2 = 194}$ | $\mathbf{\sum Y^2 = 3117}$ |
Applicazione della Formula Alternativa: ($n=5$)
$$\mathbf{r} = \frac{5 \cdot 745 – (28)(123)}{\sqrt{\left[5 \cdot 194 – (28)^2\right] \left[5 \cdot 3117 – (123)^2\right]}} \approx \mathbf{0,965}$$
Il risultato $\mathbf{r \approx 0,97}$ indica una correlazione positiva molto forte, suggerendo che le ore di studio e il voto all’esame sono quasi perfettamente allineate in questo campione.