L’Analisi della Varianza Multivariata (MANOVA) estende l’ANOVA per analizzare l’effetto di fattori categoriali (VI) su due o più Variabili Dipendenti (VD) continue e correlate simultaneamente. Controlla l’Errore di Tipo I e rileva gli effetti combinati.
1. La Teoria Matriciale della MANOVA
Il principio chiave è la scomposizione della Matrice di Somma dei Quadrati e Prodotti Incrociati (SSCP) Totale ($\mathbf{T}$).
$$\mathbf{T} = \mathbf{B} + \mathbf{W}$$
| Componente | Simbolo | Calcolo Matriciale |
|---|---|---|
| Varianza Totale | $\mathbf{T}$ | $(\mathbf{Y} – \mathbf{J})^T (\mathbf{Y} – \mathbf{J})$ |
| Varianza Tra i Gruppi | $\mathbf{B}$ | $(\mathbf{M} – \mathbf{J})^T (\mathbf{M} – \mathbf{J})$ |
| Varianza Entro i Gruppi | $\mathbf{W}$ | $(\mathbf{Y} – \mathbf{M})^T (\mathbf{Y} – \mathbf{M}) = \mathbf{T} – \mathbf{B}$ |
Dove:
- $\mathbf{Y}$: Matrice Dati ($N \times p$).
- $\mathbf{M}$: Matrice Medie Gruppo ($N \times p$).
- $\mathbf{J}$: Matrice Media Generale ($N \times p$).
Test Omnibus: Lambda di Wilks ($\Lambda$)
$$\Lambda = \frac{|\mathbf{W}|}{|\mathbf{T}|} = \frac{\det(\mathbf{W})}{\det(\mathbf{B} + \mathbf{W})}$$
Se $\Lambda$ è piccolo ($\Lambda \to 0$), si rifiuta l’Ipotesi Nulla ($H_0: \boldsymbol{\mu}_1 = \boldsymbol{\mu}_2 = \dots$).
2. Esempio Concreto: Test Farmacologico 💊
Per illustrare l’applicazione matriciale della MANOVA, consideriamo uno studio in cui un’azienda farmaceutica testa l’efficacia di diversi dosaggi di un farmaco. L’obiettivo è valutare come il trattamento influenzi un pacchetto di risultati correlati, non solo un singolo sintomo.
In questo esperimento, il Fattore (VI) è il Dosaggio del Farmaco ($k=3$ gruppi: Placebo, Basso, Alto). Si misurano due Variabili Dipendenti (VD) continue ($p=2$):
- $Y_1$ (Dolore): Punteggio di dolore residuo (scala $1-10$).
- $Y_2$ (Mobilità): Punteggio di funzionalità articolare (scala $1-10$).
La MANOVA valuta se i vettori medi congiunti $(\bar{Y}{1j}, \bar{Y}{2j})$ dei tre gruppi differiscono significativamente a causa del dosaggio.
Dati di Origine ($N=9$ soggetti)
La Matrice dei Dati di origine ($\mathbf{Y}$) è la base per tutti i successivi calcoli SSCP.
| Osservazione | $Y_1$ (Dolore) | $Y_2$ (Mobilità) | Gruppo | $\bar{Y}_{1j}$ | $\bar{Y}_{2j}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 8 | 3 | G1 (Placebo) | 8,0 | 4,0 |
| 2 | 7 | 4 | |||
| 3 | 9 | 5 | |||
| 4 | 5 | 7 | G2 (Basso) | 5,0 | 7,0 |
| 5 | 6 | 6 | |||
| 6 | 4 | 8 | |||
| 7 | 3 | 9 | G3 (Alto) | 3,0 | 8,0 |
| 8 | 2 | 8 | |||
| 9 | 4 | 7 | |||
| Media Generale ($\boldsymbol{\mu}_{\cdot}$) | 5,33 | 6,33 |
A. Matrici $N \times p$ Esplicite
Matrice dei Dati ($\mathbf{Y}$)
$$\mathbf{Y} = \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 7 & 4 \\ 9 & 5 \\ 5 & 7 \\ 6 & 6 \\ 4 & 8 \\ 3 & 9 \\ 2 & 8 \\ 4 & 7 \end{pmatrix}_{9 \times 2}$$
Matrice delle Medie di Gruppo ($\mathbf{M}$)
$$\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 8 & 4 \\ 8 & 4 \\ 5 & 7 \\ 5 & 7 \\ 5 & 7 \\ 3 & 8 \\ 3 & 8 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}_{9 \times 2}$$
Matrice Media Generale ($\mathbf{J}$)
$$\mathbf{J} = \begin{pmatrix} 5,33 & 6,33 \\ 5,33 & 6,33 \\ 5,33 & 6,33 \\ 5,33 & 6,33 \\ 5,33 & 6,33 \\ 5,33 & 6,33 \\ 5,33 & 6,33 \\ 5,33 & 6,33 \\ 5,33 & 6,33 \end{pmatrix}_{9 \times 2}$$
B. Calcolo delle Matrici SSCP ($2 \times 2$)
Matrice Entro i Gruppi ($\mathbf{W}$)
Rappresenta la variazione residua (Errore).
$$\mathbf{W} = (\mathbf{Y} – \mathbf{M})^T (\mathbf{Y} – \mathbf{M}) = \begin{pmatrix} \mathbf{6,0} & \mathbf{-2,0} \\ \mathbf{-2,0} & \mathbf{6,0} \end{pmatrix}$$
Matrice Tra i Gruppi ($\mathbf{B}$)
Rappresenta la variazione spiegata dal Dosaggio (Effetto).
$$\mathbf{B} = (\mathbf{M} – \mathbf{J})^T (\mathbf{M} – \mathbf{J}) = \begin{pmatrix} \mathbf{38,00} & \mathbf{-31,00} \\ \mathbf{-31,00} & \mathbf{26,00} \end{pmatrix}$$
Matrice Totale ($\mathbf{T}$)
$$\mathbf{T} = \mathbf{B} + \mathbf{W} = \begin{pmatrix} \mathbf{44,00} & \mathbf{-33,00} \\ \mathbf{-33,00} & \mathbf{32,00} \end{pmatrix} = (\mathbf{Y} – \mathbf{J})^T (\mathbf{Y} – \mathbf{J})$$
C. Risultato Finale: Test Omnibus 📊
La MANOVA testa l’Ipotesi Nulla confrontando la variazione residua (Errore) con la variazione totale attraverso la Lambda di Wilks ($\Lambda$).
1. Calcolo dei Determinanti
Per calcolare $\Lambda$, utilizziamo i determinanti delle matrici SSCP:
- $\det(\mathbf{W}) = \mathbf{32,0}$
- $\det(\mathbf{T}) = \mathbf{319,0}$ (Valore assunto per la verifica)
2. Lambda di Wilks ($\Lambda$) e Varianza Spiegata
$$\Lambda = \frac{\det(\mathbf{W})}{\det(\mathbf{T})} = \frac{32,0}{319,0} \approx \mathbf{0,1003}$$
Il valore di $\Lambda$ (che varia tra 0 e 1) rappresenta la proporzione di varianza multivariata non spiegata dal fattore (l’errore):
- Varianza Non Spiegata (Errore): $\Lambda \approx 10,03\%$.
La proporzione di variazione imputabile al Dosaggio del Farmaco (Varianza Spiegata o $\eta^2$ multivariata) è data da $1 – \Lambda$:
$$\text{Varianza Spiegata} = 1 – 0,1003 \approx \mathbf{0,8997}$$
Circa l’89,97% della variazione congiunta nelle VD è spiegata dalle differenze tra i livelli del Dosaggio, indicando un effetto molto forte.
D. Interpretazione
D. Risultato Finale e Interpretazione 📊
Per la verifica statistica del test omnibus (Lambda di Wilks), i parametri dimensionali del nostro studio sono:
- $p$ (Variabili Dipendenti): $\mathbf{2}$ ($Y_1$ Dolore, $Y_2$ Mobilità).
- $k$ (Livelli del Fattore): $\mathbf{3}$ (Placebo, Basso, Alto).
- $N$ (Osservazioni Totali): $\mathbf{9}$.
1. Lambda di Wilks ($\Lambda$)
Il valore di Lambda di Wilks, che misura il rapporto tra la varianza d’errore ($\mathbf{W}$) e la varianza totale ($\mathbf{T}$), è:
$$\Lambda = \frac{\det(\mathbf{W})}{\det(\mathbf{T})} = \frac{32,0}{319,0} \approx \mathbf{0,1003}$$
2. Conversione nella Statistica $F$
Per testare la significatività di $\Lambda$, si usa una conversione esatta nella statistica $F$. I gradi di libertà (g.d.l.) sono determinati dai parametri $p$, $k$ e $N$:
- I g.d.l. ($v_1$ – Numeratore): Corrispondono all’effetto Tra i Gruppi.
$$v_1 = p \cdot (k – 1) = 2(3-1) = \mathbf{4}$$ - II g.d.l. ($v_2$ – Denominatore): Corrispondono all’effetto Entro i Gruppi (errore).
$$v_2 = p \cdot (N – k – 1) = 2(9-3-1) = \mathbf{10}$$
La statistica è $F(4, 10)$. Applichiamo la formula di conversione per $p=2$:
$$F = \frac{1 – \sqrt{\Lambda}}{\sqrt{\Lambda}} \cdot \frac{N – k – 1}{k – 1}$$
$$F \approx \frac{1 – \sqrt{0,1003}}{\sqrt{0,1003}} \cdot \frac{9 – 3 – 1}{3 – 1} \approx 5,39$$
Il valore calcolato è $F(4, 10) \approx \mathbf{5,39}$.
3. Decisione e Conclusione
- $p$-value: Per $F(4, 10) = 5,39$, il p-value è $\approx \mathbf{0,014}$.
Poiché il $p$-value ($\mathbf{0,014}$) è inferiore al livello di significatività standard ($\alpha=0,05$), si rifiuta l’Ipotesi Nulla ($H_0$).
Conclusione: Il Dosaggio del Farmaco ha un effetto congiunto statisticamente significativo sul vettore delle risposte (Dolore e Mobilità). Saranno necessarie l’Analisi Discriminante Canonica e analisi post-hoc per interpretare la natura esatta di questo effetto.