La Distribuzione Ipergeometrica è una distribuzione di probabilità discreta fondamentale. Modella l’estrazione di un campione senza reintegro (o senza rimpiazzo) da una popolazione finita. A differenza della Binomiale, l’estrazione di un elemento altera la probabilità di successo per le estrazioni successive.
INDICE
Definizione e Funzione di Probabilità
La distribuzione calcola la probabilità di ottenere esattamente $k$ successi in un campione di dimensione $n$, data una popolazione finita $N$.
Contesto:
- $N$: Dimensione totale della popolazione.
- $K$: Numero totale di successi presenti nella popolazione.
- $n$: Dimensione del campione estratto.
- $k$: Numero di successi osservati nel campione.
Formula Standard (Due Categorie: Successo / Insuccesso)
La probabilità è il rapporto tra i modi per scegliere i successi e gli insuccessi nel campione e i modi totali per formare il campione.
$$\mathbf{P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}}$$
Media e Varianza
Le metriche della Ipergeometrica includono un fattore di correzione dovuto all’assenza di reintegro.
Media (Valore Atteso)
La media $\mu$ rappresenta il numero atteso di successi nel campione:
$$\mu = E[X] = n \frac{K}{N}$$
Varianza
La varianza $\sigma^2$ utilizza il Fattore di Correzione per Popolazione Finita (FPCF), $\left(\frac{N-n}{N-1}\right)$.
$$\sigma^2 = n \frac{K}{N} \left(1 – \frac{K}{N}\right) \left(\frac{N-n}{N-1}\right)$$
Esempio Standard: Controllo Qualità
Si consideri un lotto di $N = 20$ lampadine, con $K = 5$ difettose. Si estrae un campione di $n = 4$. Vogliamo $P(X = 2)$.
$$P(X = 2) = \frac{\binom{5}{2} \binom{20-5}{4-2}}{\binom{20}{4}} = \frac{\binom{5}{2} \binom{15}{2}}{\binom{20}{4}} \approx 0.2167$$
Estensione: Distribuzione Ipergeometrica Multivariata
Quando la popolazione è divisa in tre o più categorie ($M > 2$), si usa la Distribuzione Ipergeometrica Multivariata. La formula espande il prodotto di coefficienti binomiali al numeratore per includere la selezione da ogni categoria.
Formula Generalizzata
Se la popolazione $N$ è divisa in $M$ gruppi con $K_1, K_2, \ldots, K_M$ elementi, e si cerca di estrarre esattamente $k_1, k_2, \ldots, k_M$ elementi ($\sum k_i = n$), la probabilità è:
$$\mathbf{P(X_1=k_1, \ldots, X_M=k_M) = \frac{\binom{K_1}{k_1} \binom{K_2}{k_2} \cdots \binom{K_M}{k_M}}{\binom{N}{n}}}$$
Esempio Espansivo: Urna con Palline di Tre Colori 🔴🟢🟡
Un’urna contiene $N=30$ palline: $K_1=15$ Rosse, $K_2=10$ Verdi, $K_3=5$ Gialle. Estraiamo $n=6$ palline senza reintegro. Vogliamo la probabilità di estrarre: $k_1=3$ Rosse, $k_2=2$ Verdi, $k_3=1$ Gialla.
$$P(X_1=3, X_2=2, X_3=1) = \frac{\binom{15}{3} \binom{10}{2} \binom{5}{1}}{\binom{30}{6}}$$
$$P(3R, 2V, 1G) = \frac{455 \times 45 \times 5}{593.775} \approx 0.1724$$
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