La Distribuzione Multinomiale è una distribuzione di probabilità discreta. Essa generalizza la Distribuzione Binomiale modellando i risultati di esperimenti in cui ogni prova ha più di due esiti possibili ($M > 2$).
INDICE
Definizione e Condizioni
La Multinomiale calcola la probabilità di ottenere un numero specifico di occorrenze ($k_i$) per ogni categoria, dopo un numero fisso di prove ($n$).
Le condizioni di applicazione sono:
- $n$ prove fisse: Il numero di ripetizioni è fisso.
- $M$ categorie: Ogni prova ha $M$ risultati distinti.
- Probabilità fisse: La probabilità $p_i$ di ciascun risultato è costante ($\sum p_i = 1$).
- Prove indipendenti: Gli esiti non si influenzano tra loro.
La Formula della Distribuzione Multinomiale
La probabilità che in $n$ prove si verifichino esattamente $k_1$ volte l’esito 1, $k_2$ volte l’esito 2, $\ldots$, e $k_M$ volte l’esito $M$ (dove $\sum_{i=1}^{M} k_i = n$) è:
$$\mathbf{P(k_1, k_2, \ldots, k_M) = \frac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_M!} \cdot p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_M^{k_M}}$$
Il termine $\frac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_M!}$ è il Coefficiente Multinomiale, che calcola i modi di ripartire $n$ prove nelle $M$ categorie.
Esempi di Applicazione
Esempio 1: Lancio di un Dado Molteplici Volte 🎲
Si lancia un dado a sei facce ($M=6$) per $n=12$ volte. $p_i = 1/6$ per ogni esito.
Vogliamo $P(k_1=3, k_2=2, k_3=2, k_4=1, k_5=3, k_6=1)$. $\sum k_i = 12$.
$$P(3, 2, 2, 1, 3, 1) = \frac{12!}{3! 2! 2! 1! 3! 1!} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{12}$$
Il coefficiente multinomiale è $3.326.400$.
$$P(\ldots) = 3.326.400 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{12} \approx 0.001528$$
La probabilità di questo specifico esito in 12 lanci è di circa lo $0.15\%$.
Esempio 2: Sondaggio Elettorale con Tre Partiti 🗳️
Probabilità dei partiti: $p_A = 0.50$, $p_B = 0.30$, $p_C = 0.20$. Si intervistano $n=10$ elettori.
Vogliamo $P(k_A=5, k_B=3, k_C=2)$. $\sum k_i = 10$.
$$P(5, 3, 2) = \frac{10!}{5! 3! 2!} \cdot (0.50)^5 (0.30)^3 (0.20)^2$$
- Coefficiente Multinomiale:
$$\frac{10!}{5! 3! 2!} = 2.520$$ - Prodotto delle Probabilità:
$$(0.50)^5 (0.30)^3 (0.20)^2 = 0.00003375$$ - Probabilità Finale:
$$P(5, 3, 2) = 2.520 \cdot 0.00003375 \approx 0.08505$$
La probabilità che il campione abbia esattamente questa ripartizione è circa l’$8.51\%$.
La Relazione con la Distribuzione Binomiale
La Distribuzione Binomiale è un caso particolare della Multinomiale in cui il numero di categorie è $M=2$.
- Multinomiale per M=2: $P(k_1, k_2) = \frac{n!}{k_1! k_2!} p_1^{k_1} p_2^{k_2}$
- Binomiale: $P(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
La formula Binomiale utilizza $\binom{n}{k}$, che è identico a $\frac{n!}{k!(n-k)!}$, dimostrando che la Multinomiale è la teoria generale.
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