La nascita del calcolo delle probabilità è uno dei capitoli più affascinanti della storia della matematica, un’epopea intellettuale che affonda le sue radici in una delle attività umane più antiche e seducenti: il gioco.
Da sempre, l’essere umano è affascinato dall’incertezza e dal rischio, e il desiderio di “domare” il caso e prevedere il futuro, specialmente nell’ambito dei giochi d’azzardo, spinse due delle menti più brillanti del XVII secolo a fondare una disciplina intera.
I grandi protagonisti di questa avventura non sono stati astronomi o fisici, ma due matematici francesi: Blaise Pascal e Pierre de Fermat, la cui intensa corrispondenza epistolare diede vita alla teoria dell’incertezza.
INDICE
- 1 Il Contesto: L’Enigma del Cavaliere de Méré
- 2 Lo Scambio Epistolare: Pascal e Fermat
- 3 1. Il Valore Atteso (L’Aspettativa)
- 4 2. L’Indipendenza e la Ricorsione (Il Metodo di Pascal)
- 4.1 Il Metodo Ricorsivo di Pascal: Passaggio per Passaggio (Approfondimento)
- 4.1.1 Passaggio 1: Definire lo Stato di Riferimento (La Vittoria)
- 4.1.2 Passaggio 2: Applicare la Ricorsione (Un Passo alla Volta)
- 4.1.3 Passaggio 3: Calcolo dello Stato Intermedio ($V(2,1)$)
- 4.1.4 Passaggio 4: Calcolo dello Stato di Parità ($V(1,1)$)
- 4.1.5 Passaggio 5: Calcolo dello Stato Finale ($V(1,2)$)
- 4.2 Conclusione del Metodo Ricorsivo
- 4.1 Il Metodo Ricorsivo di Pascal: Passaggio per Passaggio (Approfondimento)
- 5 3. L’Enumerazione di Tutti i Casi Possibili (Il Metodo di Fermat)
- 6 Confronto tra Risultati Antichi (Intuitivi) e Moderni (Pascal/Fermat)
- 7 Gli Sviluppi Successivi
- 8 SCOPRI IL MONDO DELLE PROBABILITÀ
Il Contesto: L’Enigma del Cavaliere de Méré
Il vero catalizzatore della nascita del calcolo delle probabilità fu un aristocratico francese, avido giocatore e filosofo dilettante: Antoine Gombaudmeglio noto come il Cavaliere de Méré.
Nonostante la sua grande passione per i dadi e il suo intuito acuto, De Méré si imbatté in un problema che la matematica del tempo non riusciva a risolvere in modo soddisfacente, il celebre “Problema dei Punti” (o della divisione della posta).
Il problema era il seguente: due giocatori, A e B, scommettono una somma di denaro e giocano a un gioco che richiede, ad esempio, 5 punti per la vittoria finale. Se il gioco deve essere interrotto quando A ha 4 punti e B ha 3 punti, come si deve dividere equamente la posta?
La soluzione intuitiva (dividete in proporzione ai punti fatti, 4:3) era dimostrabilmente errata perché non teneva conto delle future possibilità di vittoria. De Méré, frustrato dall’incapacità dei metodi tradizionali di fornire una risposta corretta, si rivolse a Blaise Pascal.
Lo Scambio Epistolare: Pascal e Fermat
A partire dal 1654, Pascal e Fermat iniziarono una collaborazione intellettuale a distanza per risolvere il problema, dando il via alla nascita del calcolo delle probabilità. Le lettere che si scambiarono non erano semplici messaggi, ma veri e propri documenti scientifici in cui ciascuno esponeva il suo metodo e metteva alla prova le conclusioni dell’altro. Ciò che rende questo scambio storico è che, partendo da approcci metodologici diversi, i due giunsero sistematicamente alla stessa, corretta, conclusione.
Questa corrispondenza non si limitò a un singolo problema, ma stabilì i tre pilastri concettuali che sostengono l’intera teoria:
1. Il Valore Atteso (L’Aspettativa)
Pascal concentrò il suo sforzo sul concetto di “part des parties” (parte del gioco) o valore atteso. Non contano i punti già ottenuti, ma quante possibilità si hanno di vincere a partire da quel momento.
Problema Generale: Determinare il valore equo di una scommessa interrotta in base alla probabilità futura di vincere.
Citazione Rilevante (Pascal, parafrasata):
“Se, in virtù di un evento futuro, si otterrà una certa somma, questa speranza ha già, per colui che l’ha, un valore ben definito, e questa è la nostra [regola] fondamentale.”
Caso Concreto: Supponiamo che A abbia bisogno di 1 punto per vincere e B ne abbia bisogno di 2 (la posta totale è $S=60€$). Se giocano un’altra partita:
- Se vince A (probabilità $1/2$), A vince l’intera posta ($60€$).
- Se vince B (probabilità $1/2$), il gioco torna alla parità (entrambi hanno bisogno di 1 punto, $30€$ ciascuno).
- Il valore atteso per A è: $(1/2×60€)+(1/2×30€)=30€+15€=45€$.
- La posta andrebbe divisa $45€$ ad A e $15€$ a B.
2. L’Indipendenza e la Ricorsione (Il Metodo di Pascal)
Per risolvere problemi più complessi, Pascal utilizzò il principio della ricorsione, applicando ripetutamente il calcolo del valore atteso alla prossima mossa. Questo metodo implicava che ogni mossa era indipendente dalle precedenti (come in un lancio di moneta), e che i risultati si potevano costruire in modo incrementale.
Problema Generale: Calcolare l’aspettativa attraverso una sequenza di possibili esiti futuri.
Citazione Rilevante (Pascal, sulla necessità del calcolo del rischio futuro):
“In base al numero di partite che manca a ciascuno, si deve conoscere con esattezza in quante partite il caso finirà necessariamente. Poi, per mezzo delle combinazioni, si deve vedere quante combinazioni portano alla vittoria di uno e quante a quella dell’altro.” (Rielaborato dal testo della corrispondenza)
Tale metodo si basa sulla formula del valore atteso: $V(a,b)=0.5×V(a−1,b)+0.5×V(a,b−1)$.
Il Metodo Ricorsivo di Pascal: Passaggio per Passaggio (Approfondimento)
Pascal non si concentra sull’enumerare tutti i percorsi futuri (come fa Fermat), ma si concentra sul valore atteso della prossima mossa, lavorando all’indietro o in avanti (ricorsione).
Esempio Concreto: Due giocatori, A e B, giocano per una posta totale di 60€. Vince chi arriva per primo a 5 punti. La partita viene interrotta sul punteggio di:
- A ha 4 punti. (Gli manca 1 punto per vincere).
- B ha 3 punti. (Gli mancano 2 punti per vincere).
Indichiamo con V(a,b) il valore equo della posta per il Giocatore A, dove a e b sono i punti che mancano rispettivamente ad A e a B per vincere. Dobbiamo calcolare V(1,2).
Passaggio 1: Definire lo Stato di Riferimento (La Vittoria)
La condizione base (base case) della ricorsione è nota: se un giocatore raggiunge 0 punti mancanti, vince la posta completa.
- $V(0,b)=60€$ (A ha vinto)
- $V(a,0)=0€$ (B ha vinto, ad A non spetta nulla)
Passaggio 2: Applicare la Ricorsione (Un Passo alla Volta)
Pascal ragionò sul valore atteso di una singola, successiva partita. Poiché ogni partita ha il 50% di probabilità di essere vinta da A e il 50% da B, il valore equo attuale è la media aritmetica dei valori equamente divisi per i due stati che potrebbero verificarsi dopo il prossimo lancio.
La formula generale del valore atteso (o aspettativa) è:
$$V(a,b)=0.5×V(\text{se A vince})+0.5×V(\text{se B vince})$$
Sostituendo gli stati:
$$V(a,b)=0.5×V(a−1,b)+0.5×V(a,b−1)$$
Passaggio 3: Calcolo dello Stato Intermedio ($V(2,1)$)
Prima di calcolare $V(1,2)$, è utile calcolare un altro stato: lo stato in cui B è a un solo passo dalla vittoria (b=1). Calcoliamo $V(2,1)$:
- A vince la prossima partita ($P=0.5$): Si va allo stato $V(2−1,1)=V(1,1)$.
- B vince la prossima partita ($P=0.5$): Si va allo stato $V(2,1−1)=V(2,0)$.
$$V(2,1)=0.5×V(1,1)+0.5×V(2,0)$$
Dallo Stato di Riferimento (Passaggio 1), sappiamo che $V(2,0)=0€$.
$$V(2,1)=0.5×V(1,1)+0.5×0€$$
Passaggio 4: Calcolo dello Stato di Parità ($V(1,1)$)
Quando A e B hanno bisogno dello stesso numero di punti (parità), la divisione è equa.
$$V(1,1)=0.5×V(0,1)+0.5×V(1,0)$$
Dallo Stato di Riferimento (Passaggio 1), sappiamo che $V(0,1)=60€$ e $V(1,0)=0€$.
$$V(1,1)=0.5×60€+0.5×0€=30€$$
Passaggio 5: Calcolo dello Stato Finale ($V(1,2)$)
Ora abbiamo tutti gli elementi per calcolare il valore del punto di interruzione: $V(1,2)$.
- A vince la prossima partita ($P=0.5$): Si va allo stato $V(1−1,2)=V(0,2)$.
- B vince la prossima partita ($P=0.5$): Si va allo stato $V(1,2−1)=V(1,1)$.
$$V(1,2)=0.5×V(0,2)+0.5×V(1,1)$$
- $V(0,2)$ è lo Stato di Riferimento $⟹V(0,2)=60€$.
- V(1,1) è lo stato di parità $⟹V(1,1)=30€$.
$$V(1,2)=0.5×60€+0.5×30€\\ V(1,2)=30€+15€=45€$$
Conclusione del Metodo Ricorsivo
La divisione equa della posta da 60€ è:
- Giocatore A: 45€ (Corrispondente a $V(1,2)$)
- Giocatore B: 15€ (Il resto, $60€−45€$)
Pascal, utilizzando questo metodo basato sul concetto di “aspettativa” e sul calcolo ricorsivo (da cui il nome indipendenza e ricorsione), ottenne la stessa conclusione che si ottiene applicando il metodo combinatorio di Fermat (che per questo scenario risulta in un rapporto di 3:1).
3. L’Enumerazione di Tutti i Casi Possibili (Il Metodo di Fermat)
Mentre Pascal si concentrava sull’aspettativa e la ricorsione, Pierre de Fermat approcciò il problema della divisione della posta concentrandosi sul numero totale di esiti possibili e su quanti di questi esiti avrebbero portato alla vittoria di ciascun giocatore. Questo metodo è alla base della definizione classica di probabilità:
$$\text{Probabilità} = \frac{\text{Numero di casi favorevoli}}{\text{Numero totale di casi possibili}}$$
Il metodo di Fermat Passaggio per Passaggio (approfondimento)
Fermat comprese che l’errore nei tentativi precedenti era che si guardava al passato (i punti già segnati). La soluzione corretta, invece, doveva guardare al futuro, definendo un punto in cui la vittoria sarebbe stata matematicamente certa.
Passaggio 1: Determinare il Numero Massimo di Partite Necessarie ($N$)
Fermat stabilì che per garantire la vittoria di uno dei due giocatori, era sufficiente immaginare di giocare un numero massimo di partite pari alla somma dei punti che mancano ad entrambi, meno uno.
- Siano $a$ i punti mancanti al Giocatore A.
- Siano $b$ i punti mancanti al Giocatore B.
- Il numero massimo di partite ($N$) necessarie è:
$$N = a + b – 1$$
- Esempio Concreto: A (4 punti, manca 1) e B (3 punti, mancano 2)
- Punti mancanti ad A ($a$): $1$
- Punti mancanti a B ($b$): $2$
- Il numero massimo di partite necessarie è:
$$N = 1 + 2 – 1 = 2 \text{ partite}$$
Passaggio 2: Enumerare Tutti gli Esiti Equiprobabili ($2^N$)
Poiché ogni partita è indipendente e ha due esiti equiprobabili (A vince o B vince), il numero totale di sequenze di risultati possibili su $N$ partite è:
$$\text{Casi Totali} = 2^N$$
Nel nostro esempio ($N=2$): i casi totali sono $2^2 = 4$ sequenze di risultati, tutte con pari probabilità di verificarsi.
Passaggio 3: Identificare i Casi Favorevoli
Si elenca ogni possibile sequenza di $N$ partite e si determina chi vincerebbe il gioco. (A = vittoria di A; B = vittoria di B).
| Sequenza (2 partite) | Vittorie di A | Vittorie di B | Vincitore del Gioco |
|---|---|---|---|
| AA | 2 | 0 | A |
| AB | 1 | 1 | A |
| BA | 1 | 1 | A |
| BB | 0 | 2 | B |
- Casi favorevoli ad A: $3$
- Casi favorevoli a B: $1$
- Totale dei casi: $4$
Passaggio 4: Calcolare la Probabilità e Dividere la Posta
La divisione della posta è direttamente proporzionale al numero di casi favorevoli.
$$\text{Probabilità di A} = \frac{3}{4} \quad \text{Probabilità di B} = \frac{1}{4}$$
La posta deve essere divisa nel rapporto $3:1$.
Questo è lo stesso risultato trovato da Pascal!
Controesempio più Complesso (A mancano 2, B mancano 3)
Nel caso in cui A manca $a=2$ punti e B manca $b=3$ punti:
- $N = 2 + 3 – 1 = 4$ partite necessarie.
- $\text{Casi Totali}: 2^4 = 16$ sequenze possibili.
Per vincere, A ha bisogno di almeno 2 vittorie su 4 partite. B ha bisogno di almeno 3 vittorie su 4 partite. Utilizzando il coefficiente binomiale $\binom{n}{k}$:
- A vince (2, 3 o 4 vittorie): $\binom{4}{2} + \binom{4}{3} + \binom{4}{4} = 6 + 4 + 1 = 11 \text{ casi}.$
- B vince (0 o 1 vittoria di A): $\binom{4}{0} + \binom{4}{1} = 1 + 4 = 5 \text{ casi}.$
La divisione della posta sarebbe nel rapporto $11:5$, che è $\frac{11}{16}$ per A e $\frac{5}{16}$ per B.
Confronto tra Risultati Antichi (Intuitivi) e Moderni (Pascal/Fermat)
L’analisi di Pascal e Fermat ha dimostrato che la divisione della posta deve basarsi sui punti mancanti e sulla probabilità futura, non su quelli già realizzati. Il “risultato intuitivo” storico che il Cavaliere di Méré avrebbe potuto usare si basava sul rapporto tra i punti fatti (PA:PB), un approccio errato.
La tabella seguente mostra come la posta di 60€ viene divisa secondo i due approcci:
| Caso n° | Punti Totali per vincere | Punti di A / B (Vinti) | Punti mancanti (a / b) | Divisione Intuitiva (A:B) | Divisione Pascal/Fermat (A:B) | Punti Totali (A / B) (Risultati Moderni) |
| 1 | 5 | 4 / 3 | 1 / 2 | 34.29€ / 25.71€ (4:3) | 45.00€ / 15.00€ (3:1) | A: 3/4, B: 1/4 |
| 2 | 5 | 3 / 2 | 2 / 3 | 36.00€ / 24.00€ (3:2) | 42.19€ / 17.81€ (11:5) | A: 11/16, B: 5/16 |
| 3 | 5 | 2 / 4 | 3 / 1 | 20.00€ / 40.00€ (2:4) | 15.00€ / 45.00€ (1:3) | A: 1/4, B: 3/4 |
| 4 | 8 | 2 / 3 | 6 / 5 | 24.00€ / 36.00€ (2:3) | 30.82€ / 29.18€ (101:99) | A: 101/256, B: 155/256 |
| 5 | 8 | 5 / 5 | 3 / 3 | 30.00€ / 30.00€ (5:5) | 30.00€ / 30.00€ (1:1) | A: 1/2, B: 1/2 |
| 6 | 8 | 7 / 3 | 1 / 5 | 42.00€ / 18.00€ (7:3) | 59.06€ / 0.94€ (31:1) | A: 31/32, B: 1/32 |
| 7 | 10 | 9 / 8 | 1 / 2 | 31.58€ / 28.42€ (9:8) | 45.00€ / 15.00€ (3:1) | A: 3/4, B: 1/4 |
| 8 | 10 | 5 / 5 | 5 / 5 | 30.00€ / 30.00€ (5:5) | 30.00€ / 30.00€ (1:1) | A: 1/2, B: 1/2 |
| 9 | 10 | 9 / 0 | 1 / 10 | 60.00€ / 0.00€ (9:0) | 59.94€ / 0.06€ (1023:1) | A: 1023/1024, B: 1/1024 |
| 10 | 10 | 0 / 9 | 10 / 1 | 0.00€ / 60.00€ (0:9) | 0.06€ / 59.94€ (1:1023) | A: 1/1024, B: 1023/1024 |
N.B.: La Divisione Intuitiva (storicamente fallace) è calcolata come: $\text{Posta} \times \frac{\text{Punti vinti}}{\text{Punti totali vinti}}$
I risultati moderni, basati sui punti mancanti, dimostrano che solo il futuro conta.
Gli Sviluppi Successivi
La nascita del calcolo delle probabilità con Pascal e Fermat fu solo l’inizio. La disciplina si staccò rapidamente dai giochi per diventare uno strumento scientifico universale grazie ad altri contributi:
- Christiaan Huygens (1657): L’olandese fu il primo a dare una forma sistematica e a pubblicare un trattato sull’argomento, De Ratiociniis in Ludo Aleae, diffondendo le idee di Pascal e Fermat in Europa.
- Jakob Bernoulli (1713): Nella sua opera postuma Ars Conjectandi, Bernoulli enunciò la Legge dei Grandi Numeri, dimostrando che la probabilità teorica è strettamente collegata alla frequenza statistica su un gran numero di prove.
- Pierre-Simon Laplace (XVIII e XIX secolo): Laplace completò la formalizzazione della teoria, stabilendo la Definizione Classica e dimostrando il Teorema del Limite Centrale, consolidando il ruolo della probabilità come fondamento della statistica e di tutte le scienze empiriche.
Da un semplice quesito sui dadi, la probabilità si è trasformata nella scienza dell’incertezza, con applicazioni che vanno dalla fisica quantistica alla finanza moderna.
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