L’Indice di Gini ($R$), o Rapporto di Concentrazione di Gini, è una misura statistica fondamentale utilizzata per quantificare il grado di disuguaglianza o concentrazione nella distribuzione di un carattere trasferibile (come la Spesa per vacanze) tra le unità statistiche.
L’indice si basa sul confronto tra la quota cumulativa di unità statistiche ($F_i$) e la quota cumulativa dell’ammontare totale del carattere posseduta da tali unità ($Q_i$). Graficamente, questo confronto è rappresentato dalla Curva di Lorenz.
La Teoria dell’Indice di Gini per Dati in Classi
Il valore di $R$ è sempre compreso tra 0 e 1:
- $\mathbf{R = 0}$: Indica Perfetta Equidistribuzione (assenza di disuguaglianza).
- $\mathbf{R = 1}$: Indica Massima Concentrazione (massima disuguaglianza).
Quando i dati sono raggruppati in $K$ classi, l’Indice di Gini viene calcolato tramite una formula che approssima l’area tra la Curva di Lorenz e la retta di perfetta uguaglianza (la retta $y=x$).
Formula di Calcolo
La formula per l’Indice di Gini corretto è:
$$\mathbf{R = R^* \cdot \frac{N}{N-1}}$$
Dove $R^*$ è l’indice non corretto e $\frac{N}{N-1}$ è il fattore di correzione per campioni finiti ($N$ = numero totale di unità).
L’indice non corretto ($R^*$) si calcola come: $$\mathbf{R^* = 1 – \sum_{i=1}^{K} (Q_i + Q_{i-1}) \cdot f_i}$$
Dove:
- $\mathbf{f_i}$ è la frequenza relativa di unità nella classe $i$ ($f_i = n_i / N$).
- $\mathbf{Q_i}$ è la frequenza relativa cumulata degli ammontari ($Q_i = T_i / T_{TOT}$), con $Q_0 = 0$.
Applicazione : Spesa per Vacanze
L’Esercizio 1 fornisce la distribuzione di frequenze e i totali di spesa per $N=100$ famiglie italiane.
La Spesa Totale Cumulativa ($T_{TOT}$) è pari a $21 + 93 + 120 + 120 = \mathbf{354}$ migliaia di euro.
Passo 1: Calcolo delle Frequenze Cumulate ($F_i$) e Relative agli Ammontari ($Q_i$)
Questa tabella calcola la quota di unità ($F_i$) e la quota di spesa ($Q_i$) cumulate per l’analisi di Gini.
| Classi di spesa | $n_i$ (Freq. Assoluta) | $t_i$ (Totale Spesa) | $N_i$ (Cum. Unità) | $\mathbf{F_i = \frac{N_i}{100}}$ | $T_i$ (Cum. Spesa) | $\mathbf{Q_i = \frac{T_i}{354}}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0-1 | 30 | 21 | 30 | 0.30 | 21 | $0.0593$ |
| 1-4 | 30 | 93 | 60 | 0.60 | 114 | $0.3220$ |
| 4-7 | 25 | 120 | 85 | 0.85 | 234 | $0.6610$ |
| 7-10 | 15 | 120 | 100 | 1.00 | 354 | $1.0000$ |
Grazie alle frequenze cumulate $F_i$ e alle quote cumulate $Q_i$ possiamo rappresentare la Curva di Lorenz.
Passo 2: Calcolo della Somma Ponderata $\sum (Q_i + Q_{i-1}) \cdot f_i$
Si calcola il termine necessario per $R^*$. Si noti che la frequenza relativa $f_i$ è $n_i/100$, e si assume $Q_0 = 0$.
| $i$ | $f_i = n_i/N$ | $\mathbf{Q_i}$ | $Q_{i-1}$ | $\mathbf{Q_i + Q_{i-1}}$ | $\mathbf{(Q_i + Q_{i-1}) \cdot f_i}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.30 | 0.0593 | 0.0000 | 0.0593 | $0.30 \cdot 0.0593 = 0.0178$ |
| 2 | 0.30 | 0.3220 | 0.0593 | 0.3813 | $0.30 \cdot 0.3813 = 0.1144$ |
| 3 | 0.25 | 0.6610 | 0.3220 | 0.9830 | $0.25 \cdot 0.9830 = 0.2458$ |
| 4 | 0.15 | 1.0000 | 0.6610 | 1.6610 | $0.15 \cdot 1.6610 = 0.2492$ |
| Somma | $\mathbf{0.6272}$ |
$$\sum_{i=1}^{4} (Q_i + Q_{i-1}) \cdot f_i = 0.6272$$
Passo 3: Calcolo dell’Indice di Gini ($R$)
- Indice non corretto ($R^*$):
$$R^* = 1 – 0.6272 = \mathbf{0.3728}$$ - Fattore di Correzione:
$$\frac{N}{N-1} = \frac{100}{99} \approx 1.0101$$ - Indice di Gini Corretto ($R$):
$$R = R^* \cdot \frac{N}{N-1} = 0.3728 \cdot 1.0101 \approx \mathbf{0.3766}$$
Commento e Conclusione
L’Indice di Gini calcolato per la distribuzione della Spesa per vacanze è $R \approx 0.3766$.
Poiché l’indice è significativamente maggiore di 0 ma si attesta su un valore intermedio, la distribuzione della spesa presenta una moderata-alta concentrazione. In termini pratici, l’Indice di Gini conferma che una parte minoritaria della popolazione di famiglie detiene una quota sproporzionata della Spesa totale per vacanze. Ad esempio, il $60\%$ delle famiglie detiene solo il $32.2\%$ della spesa complessiva.