In questo articolo vediamo come si calcola analiticamente il punto di intersezione tra due rette nel sistema cartesiano.
INDICE
PUNTO DI INTERSEZIONE TRA DUE RETTE
Per calcolare il punto di intersezione tra due rette dobbiamo mettere a sistema le due rette e risolvere il sistema lineare.
Supponiamo a d esempio di avere l’equazione di due rette scritte nella forma implicita:
$$ r:\ ax+by+c=0 \quad s:\ a’x+b’y+c’=0 $$
Quello che dobbiamo fare è costruire un sistema lineare con le equazioni delle due rette:
$$ r \cap s : \quad \begin{cases} ax+by+c=0 \\ a’x+b’y+c’=0 \end{cases} $$
Per risolvere questo sistema esistono cinque modi principali:
- Sostituzione
- Confronto
- Riduzione
- Determinante
- Grafico
ESERCIZIO – PUNTO DI INTERSEZIONE TRA DUE RETTE
Consideriamo il seguente esempio.
Calcola il punto di intersezione tra le rette r e s:
$$ r:\ 2x-y+3=0 \quad s:\ x+y-6=0 $$
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA
Per avere una idea più chiara di quello che stiamo facendo cominciamo con il rappresentare graficamente la situazione.
Per farlo calcoliamo le equazioni nella forma esplicita delle due rette.
Partiamo dalla prima retta r di equazione:
$$ r:\ 2x-y+3 = 0 $$
Per ottenere la forma esplicita basta spostare la y sul lato destro e rileggere l’equazione da destra verso sinistra e otteniamo:
$$ r:\ y=2x+3 $$
Si tratta di una retta con intercetta all’origine pari a +3, dunque passa per il punto (0,3)
e un coefficiente angolare pari a 2, dunque ogni unità di spostamento verso destra si alza di 2 unità.
Consideriamo ora la seconda retta nella sua forma implicita:
$$ s:\ x+y-6=0 $$
Per esplicitarla lasciamo semplicemente la y a sinistra e spostiamo il resto e destra con il cambio di segno:
$$ s:\ y= -x+6 $$
Si tratta di una retta con intercetta all’origine pari a +6, dunque passa per il punto (0,3)
e un coefficiente angolare pari a –1, dunque ogni unità di spostamento verso destra scende di 1 unità.
Se abbiamo rappresentato bene il grafico dovremmo già renderci conto che il punto di intersezione è (1,5).
SISTEMA LINEARE – SOSTITUZIONE
Siccome però non tutti i problemi risultano così immediati meglio essere certi trovando un modo matematico per trovare il punto di intersezione.
In questo caso mettiamo dunque a sistema le due equazioni
$$ P= r \cap s: \quad \begin{cases} 2x-y+3 = 0 \\ x+y-6= 0 \end{cases} $$
Applichiamo ora il metodo della sostituzione.
Dalla prima equazione ricaviamo la forma esplicita della retta:
$$ P= r \cap s: \quad \begin{cases} 2x-y+3 = 0 \\ x+y-6= 0 \end{cases} \begin{array}{l} \to y= 2x+3 \\ \ \end{array}$$
Ora sostituiamo tale valore di y nella seconda equazione che diventa
$$ 2x-y+3=0 \overset{y=2x+3}{\longrightarrow} x+(2x+3)-6=0 $$
Ora non dobbiamo fare altro che risolvere una banale equazione di primo grado
$$ x+2x+3-6=0 \to 3x-3=0 \to x-1=0 \to x=1 $$
A questo punto il sistema diventa:
$$ \begin{cases} y= 2x+3 \\ x=1 \end{cases} $$
Sostituiamo dunque il valore della x nella prima equazione per ottenere la y del punto:
$$ \begin{cases} y= 2x+3 \\ x=1 \end{cases} \begin{array} \to y=2 \cdot 1 +3 = 5 \\ \ \end{array}$$
Ed ecco la nostra soluzione:
$$ \begin{cases} x=1 \\ y=5 \end{cases} \to P(1,5) $$
Siamo finiti nl punto di intersezione delle due rette P(1,5)
SISTEMA LINEARE – CONFRONTO
Per risolvere il sistema e dunque trovare il punto di intersezione delle rette possiamo anche applicare il metodo del confronto.
Ripartiamo dunque dal sistema iniziale:
$$ P= r \cap s: \quad \begin{cases} 2x-y+3 = 0 \\ x+y-6= 0 \end{cases} $$
Ricaviamo ora la y da entrambe le equazioni (ovvero la forma esplicita della retta)
$$ P= r \cap s: \quad \begin{cases} 2x-y+3 = 0 \\ x+y-6= 0 \end{cases} \to \begin{cases} y=2x+3 \\ y=-x+6 \end{cases} $$
Andiamo ora ad eguagliare i due valori della y ricavati in funzione della x e otteniamo una equazione di primo grado in x:
$$ 2x+3= -x+6 $$
Per risolverla spostiamo le x a sinistra e i numeri a destra
$$ 2x+3= -x+6 \to 3x=3 $$
Poi dividiamo tutte per 3 e otteniamo la x.
$$ 2x+3= -x+6 \to 3x=3 \to x= 1 $$
A questo punto possiamo decidere come prima di sostituire il valore della x in una delle due equazioni ottenendo sempre y=5
$$ y=2x+3 \overset{x=1}{\longrightarrow} \begin{array}{l} y= 2 \cdot 1 +3 = 5 \\ y= -1+6=5 \end{array} \to P(1,5) $$
Oppure possiamo continuare ad usare il metodo del confronto anche per ricavare il valore della y.
In questo caso dal sistema iniziale ricaviamo il valore di x esplicitandolo rispetto alla y, ottenendo:
$$ P= r \cap s: \quad \begin{cases} 2x-y+3 = 0 \\ x+y-6= 0 \end{cases} \to \begin{cases} y= \frac{y-3}{2}\\ x= -y+6 \end{cases} $$
Eguagliando (dunque confrontando) i due valori della x ricavati in funzione della y:
$$ \frac{y-3}{2} = -y+6 $$
Moltiplichiamo ambo i membri per il denominatore comune 2
$$ y-3= 2(-y+6) $$
Dunque svolgiamo i calcoli per ricavare la y
$$ y-3= -2y+12 \to 3y=15 \to y=5 \to P(1,5) $$
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SISTEMA LINEARE – RIDUZIONE
Un altro simpatico modo per risolvere il sistema lineare e dunque trovare il punto di intersezione delle rette è il metodo della riduzione.
Questo sistema si basa sul fatto che possiamo creare una nuova equazione mediante una combinazione lineare tra le equazioni presenti.
Supponiamo infatti di trovarci di fronte al seguente sistema:
$$ \begin{cases} A= B \\ C= D \end{cases} $$
Possiamo creare una uova equazione sommando o sottraendo i membri dalla stessa parte rispetto al simbolo di uguale:
$$ \begin{cases} A= B \\ C= D \end{cases} \to A \pm C = B \pm D$$
Per vederlo ripartiamo dal sistema iniziale:
$$ P= r \cap s: \quad \begin{cases} 2x-y+3 = 0 \\ x+y-6= 0 \end{cases} $$
Partiamo dal volere ridurre la variabile x e consideriamo i coefficienti della x di entrambe la equazioni, ovvero 2 e 1.
Il minimo comune multiplo tra 2 e 1 è proprio 2.
Dunque cerchiamo ora di avere il 2 come coefficiente della x in entrambe le equazioni e moltiplichiamo perciò solo la seconda equazione per 2.
$$ P= r \cap s: \quad \begin{cases} 2x-y+3 = 0 \\ \color{red}{2} (x+y-6= 0) \end{cases} \to \begin{cases} 2x-y+3 = 0 \\ 2x+2y-12= 0 \end{cases} $$
Ora sottraiamo la prima equazione dalla seconda:
$$ \text{EQ}_2 – \text{EQ}_1 : \quad 0x+3y-15=0 $$
Come si può notare da questa operazione sparisce la x e ci rimane una equazione in y di primo grado facilmente risolvibile:
$$ y-5= 0 \to y= 5 $$
A questo punto possiamo sostituire la y in una delle due equazioni per ricavare la x del sistema iniziale.
Proviamo a farlo in entrambe:
$$ P= r \cap s: \quad \begin{cases} 2x-y+3 = 0 \\ x+y-6= 0 \end{cases} \overset{y=5}{\longrightarrow} \begin{cases} 2x-5+3 = 0 \\ x+5-6= 0 \end{cases} \to \begin{cases} 2x = 2 \\ x=1 \end{cases} \to \begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases} \to P(1,5) $$
Ed ecco che siamo finiti ancora una volta nel punto di intersezione P(1,5)
Oppure possiamo optare per continuare il metodo della riduzione applicato alla y e per farlo osserviamo che nel sistema di partenza:
$$ P= r \cap s: \quad \begin{cases} 2x-y+3 = 0 \\ x+y-6= 0 \end{cases} $$
il coefficiente in valore assoluto della y risulta uguale in entrambi a 1 (infatti cambia solamente il segno)
Dunque in questo caso non dobbiamo moltiplicare (se non per 1) nessuna delle due equazioni e sommiamo membro a membro ricavando:
$$ \text{EQ}_1 – \text{EQ}_2 : \quad 3x+0y-3=0 $$
che è una equazione in x che risolviamo facilmente:
$$ 3x-3=0 \to x-1=0 \to x=1 $$
Il punto di intersezione delle rette è dunque P(1,5)
SISTEMA LINEARE – DETERMINANTI
Il metodo risolutivo che preferisco si basa sull’utilizzo dei determinanti.
In questo caso per trovare le coordinate del punto di intersezione basta dividere il determinante associato ad ogni incognita per il determinante di sistema.
Dunque la soluzione è:
$$ \begin{cases} x= \frac{\Delta_x}{\Delta} \\ y= \frac{\Delta_y}{\Delta} \end{cases} $$
Vediamo di risolvere il sistema lineare insieme partendo dal sistema iniziale:
$$ \begin{cases} 2x-y+3 = 0 \\ x+y-6= 0 \end{cases} $$
Cominciamo con il portare i termini noti sulla destra cambiando di segno.
$$ \begin{cases} 2x-y=-3 \\ x+y=6 \end{cases} $$
La cosa importante è avere tutto ben ordinato: prima le x, poi le y uguale ai numeri.
A questo punto calcoliamo il determinante di sistema dalla matrice in cui abbiamo i coefficienti delle due incognite ordinati:
$$ \Delta = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 -(-1) \cdot 1 = 2+1= 3 $$
Successivamente calcoliamo i determinanti delle due incognite sostituendo di volta in colta le colonne delle y e delle x con il vettore dei termini noti:
$$ \begin{array}{l} \Delta_x = \left| \begin{array}{c} \color{blue}{-3} & -1 \\ \color{blue}{6} & 1 \end{array} \right| &=& -3 \cdot 1 -(-1) \cdot 6 = -3+6 &=& 3 \\ \Delta_y = \left| \begin{array}{c} 2 & \color{blue}{-3} \\ 1 & \color{blue}{6} \end{array} \right| &=& 2 \cdot 6 -(-3) \cdot 1 = 12+3 &=& 15 \end{array} $$
Infine non ci resta che calcolare le incognite dividendo i determinanti di ogni incognita per il determinante di sistema.
La soluzione finale è dunque la seguente, che ci porta nel punto di intersezione P di coordinate P(1,5)
$$ \Delta= 3 \quad \Delta_x= 3 \quad \Delta_y= 15 \\ \begin{cases} x= \frac{\Delta_x}{\Delta}= \frac{3}{3} = 1 \\ y= \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{15}{3} = 5\end{cases} \to P(1,5) $$
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