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coefficiente angolare della retta

Il coefficiente angolare di una retta esprime la sua pendenza e viene indicato come il rapporto tra la variazione che subiscono le ordinate (misurata sull’asse delle y ad opera di una variazione delle ascisse (misurata sull’asse delle x).

Di solito lo indichiamo con la lettera m, mentre le variazioni son indicato con la lettera greca ∆ (delta).

Dunque in maniera sintetica possiamo scrivere che:

Il modo migliore per parlare del coefficiente angolare è analizzare la retta passante per il centro, ovvero la retta di equazione:

coefficiente angolare della retta

Scopri il corso di geometria cartesiana.

RETTE ORIZZONTALI E BISETTRICI

Cominciamo ad analizzare tre rette molto particolari che sono le bisettrici del sistema cartesiano.

In particolare troviamo la retta:

 che è la bisettrice del primo e del terzo quadrante, e la retta:

 che è la bisettrice del secondo e del quarto quadrante.

Ed infine abbiamo l’asse delle x:

La prima delle due bisettrici:

 è una retta il cui coefficiente angolare vale +1 ed è inclinata a 45 gradi rispetto all’asse orizzontale (ma anche rispetto a quello verticale).

Il fatto che il coefficiente angolare vale +1 significa che ogni unità che ci spostiamo a destra ci alziamo di una unità.

Per una persona abituata alle salite in montagna si potrebbe dire che vi è una pendenza del 100%.

Ovvero per ogni 100 metri che ci spostiamo camminando verso destra saliamo di quota di 100 metri.

La seconda bisettrice è:

 è una retta il cui coefficiente angolare vale –1 ed è inclinata a meno 45 gradi rispetto all’asse orizzontale (ma anche rispetto a quello verticale).

Il fatto che il coefficiente angolare vale –1 significa che ogni unità che ci spostiamo a destra ci abbassiamo di una unità.

Per una persona abituata alle salite in montagna si potrebbe dire che vi è una pendenza del 100% (in discesa)

Ovvero per ogni 100 metri che ci spostiamo camminando verso destra scendiamo di quota di 100 metri.

La terza retta è l’asse delle x, di equazione:

 è una retta il cui coefficiente angolare vale 0 ed è inclinata a meno 0 gradi rispetto all’asse orizzontale (in pratica coincide con l’asse orizzontale)

Il fatto che il coefficiente angolare vale 0 significa che ogni unità che ci spostiamo a destra non ci alziamo e non ci abbassiamo ma restiamo sempre alla stessa quota.

Qui non ci troviamo su una montagna ma stiamo viaggiamo in autostrada lungo una pianura perfettamente livellata.

coefficiente angolare della retta

RETTE CON COEFFICIENTE MAGGIORE DI 1

Analizziamo ora le retta con una pendenza maggiore di 1.

In questo caso possiamo prendere in esame le rette:

Partiamo dalla prima di queste:

In questo caso il coefficiente angolare della retta vale +2, il che significa che ogni unità che ci spostiamo verso destra lungo l’asse delle x stiamo salendo di 2 unità.

Siamo di fronte dunque ad una pendenza del 200%, ovvero ogni 100 metri che ci spostiamo verso destra ci alziamo di 200 metri.

Ruotando ancora verso l’alto arriviamo ad una pendenza maggiore, pari a 3 e finiamo nella retta:

In questo caso la pendenza diventa molto più elevata, ben il 300%.

Il nostro amico della montagna dovrà cominciare a munirsi di corda, moschettone e picchetto.

La cosa si fa sempre più evidente a mano a mano ruotiamo verso le rette:

Ci rendiamo subito conto che non è possibile stabile un limite dunque il coefficiente potrebbe arrivare fino all’infinito!

In questo caso la fantomatica retta (che non esiste nei numeri reali):

 coinciderebbe con l’asse delle y la cui equazione è:

coefficiente angolare della retta

Gli angoli formati da tali rette rispetto alla retta orizzontale e ruotando in senso antiorario sono dunque compresi tra 45 e 90 gradi.

coefficiente angolare della retta

Scopri il corso di geometria cartesiana.

COEFFICIENTI COMPRESI TRA 0 E 1

Analizziamo ora il coefficiente angolare delle rette che sono compresi tra 0 e 1.

Consideriamo dunque le rette con equazione:

Prendiamo in considerazione la prima di queste rette:

In questo caso dobbiamo pensare che ogni unità che ci spostiamo verso destra ci alziamo solta di mezza (1/2) unità, ovvero 0,5 unità.

La pendenza della retta risulta essere “solo” del 50%, ovvero ogni 100 metri che scorriamo verso destra ci alziamo di 50 metri.

Se prendiamo il caso della retta:

 il coefficiente angolare risulta pari ad un terzo, cioè ogni unità che ci muoviamo a destra ci alziamo di una terza parte dell’unità stessa.

La pendenza risulta dunque pari al 33,3 % ( con il 3 periodico).

La pendenza continua a diminuire drasticamente a mano a mano ci avviciniamo al coefficiente angolare zero!

Con le rette:

La pendenza e dunque la difficoltà a salire diminuisce sempre di più.

coefficiente angolare della retta

In questo caso gli angoli risultano compresi tra i 45 gradi e gli zero gradi.

Il caso estremo, ovvero quello della pendenza nulla:

 coincide con l’asse delle x la cui equazione è chiaramente:

coefficiente angolare della retta

Scopri il corso di geometria cartesiana.

COEFFICIENTI NEGATIVI: TRA 0 E –1

Possiamo fare un ragionamento analogo quando consideriamo il coefficiente angolare di rette che è compreso tra lo zero e il -1.

In questo caso le rette che prendiamo in considerazione sono:

Se analizziamo il caso della retta con pendenza –1/2, ovvero la retta:

Ci accorgiamo che ogni spostamento di una unità verso destra determina una discesa di mezza unità verso il basso.

La pendenza registrata è dunque del –50%

coefficiente angolare della retta

In questo caso gli angoli sono compresi tra 0 gradi e –45 gradi.

coefficiente angolare della retta

COEFFICIENTI NEGATIVI: TRA 0 E –1 ROTAZIONE ANGOLO

Infine abbiamo il caso delle rette il cui coefficiente angolare è compre tra il –1 e il –∞.

Ci riferiamo in questo caso alle rette di equazione:

In questo caso il ragionamento è identica al primo che abbiamo fatto all’inizio dell’articolo.

Per fare un esempio sulla retta di equazione:

 Per ogni unità di spostamento positivo lungo le ascisse (verso destra) registriamo un corrispondente decremento (verso il basso) delle ordinate di 3 unità.

La pendenza registrata e del –300%.

coefficiente angolare della retta

Scopri il corso di geometria cartesiana.

Gli angoli in questo caso sono compresi tra –45 e –90 gradi.

Il caso estremo sarebbe la retta con coefficiente angolare meno infinito.

 che coincide con la l’asse delle y la cui equazione è sempre:

coefficiente angolare della retta

RETTA VERTICALE – COEFFICIENTE INFINITO (PIU E MENO)

Il caso più paradossale che abbiamo analizzato è proprio l’asse delle y.

In questo caso questa retta verticale di equazione 

 coincide allo stesso tempo con le rette dal coefficiente angolare +∞ e –∞

coefficiente angolare della retta

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