INDICE
CURVE DEDOTTE DALLA CIRCONFERENZA
Le curve dedotte dalla circonferenza sono delle curve nel sistema cartesiano il cui grafico può essere ricavato mediante la rappresentazione di più circonferenza in diverse zone del sistema cartesiano.
Generalmente si può utilizzare l’orazione di valore assoluto in posizioni tattiche.
In questo articolo vediamo ad esempio come rappresentare le seguenti tre curve:
$$ \begin{array}{l} \alpha : & x^2+y^2-2|x| -2y=0 \\ \beta : & x^2+y^2+|y+1| =0 \\ \gamma : & x^2+y^2-2|x+y| =0 \end{array} $$
ESERCIZIO UNO – CURVE DEDOTTE DALLA CIRCONFERENZA
Rappresenta la seguente curva dedotta da una circonferenza:
$$ \alpha : x^2+y^2-2|x| -2y=0 $$
La cosa che rende diversa questa equazione da quella della classica circonferenza è certamente la presenza del modulo (o valore assoluto).
Noi sappiamo che il modulo di una quantità è pari alla quantità stessa se questa è positiva.
Mentre è pari all’opposto della quantità se questa è negativa.
Nel nostro caso dunque possiamo affermare che:
$$ |x| = \begin{cases} -x &\text{se}& x<0 \\ x &\text{se}& x \ge 0 \end{cases} $$
Andiamo dunque a riscrivere l’equazione della curva di partenza, separato le due zone:
$$ \alpha: \quad \begin{cases} x^2+y^2+2x -2y=0 &\text{se}& x<0 \\ x^2+y^2-2x -2y=0 &\text{se}& x \ge 0 \end{cases} $$
Scrivere la curva:
$$ \alpha : x^2+y^2-2|x| -2y=0 $$
Equivale dunque a scrivere:
$$ \alpha: \quad \begin{cases} x^2+y^2+2x -2y=0 &\text{se}& x<0 \\ x^2+y^2-2x -2y=0 &\text{se}& x \ge 0 \end{cases} $$
Questo significa che siamo di fronte a due circonferenze che si manifestano in diverse parti del piano.
Ad esempio quando le x sono negative troviamo la prima circonferenza:
$$ \alpha_1: x^2+y^2+2x -2y=0 $$
con centro e raggio che sono rispettivamente pari a:
$$ O_1 (-1,1) \quad R_1= \sqrt{2} $$
Nella seconda zona, ovvero quella con le x positive troviamo invece la seconda circonferenza di equazione:
$$ \alpha_2: x^2+y^2-2x -2y=0 $$
con centro e raggio pari rispettivamente a:
$$ O_2 (1,1) \quad R_2= \sqrt{2} $$
Andiamo a rappresentarle graficamente ricordandoci di prenderle nelle rispettive zone di competenza.
Il risultato è molto simile ad una cellula che si sta duplicando.
ESERCIZIO DUE – CURVE DEDOTTE DALLA CIRCONFERENZA
Rappresenta la seguente curva dedotta da una circonferenza:
$$ \beta : x^2+y^2+|y+1| =0 $$
Anche qui partiamo dallo studio del modulo
$$ |y+1| $$
Studiamo dunque l’argomento positivo.
$$ a\ge 0 : \quad y+1 \ge 0 \to y\ge 0 $$
La nostra zona di positività per l’argomento risulta dunque per le ordinate che sono maggiori di –1.
Dunque riscriviamo il modulo in questo modo:
$$ |y+1| = \begin{cases} -y-1 &\text{se}& y<-1 \\ y+1 &\text{se}& y \ge -1 \end{cases} $$$$
Possiamo quindi riscrivere l’equazione di partenza separata nelle stesse due zone togliendo il modulo e cambiando il segno quando l’argomento risulta negativo:
$$ \beta: \quad \begin{cases} x^2+y^2 \color{blue}{-y-1}-9=0 &\text{se}& y<-1 \\ x^2+y^2 \color{blue}{+y+1}-9=0 &\text{se}& y \ge -1 \end{cases} $$
Svolgendo i conti possiamo meglio scrivere:
$$ \beta: \quad \begin{cases} x^2+y^2 -y-10=0 &\text{se}& y<-1 \\ x^2+y^2 +y-8=0 &\text{se}& y \ge -1 \end{cases} $$
Ora analizziamo le due circonferenze:
Nella zona delle y che sono minori di –1 abbiamo la prima circonferenza:
$$ \beta_1: \quad x^2+y^2-y-10=0 $$
il cui centro e raggio valgono rispettivamente:
$$ O_1 \left( 0, \frac{1}{2} \right) \quad R_1= \sqrt{2} $$
Mentre nella seconda zona con le y maggiori di –1 , abbiamo la seconda circonferenza:
$$ \beta_2: \quad x^2+y^2+y-8=0 $$
Di centro e raggio pari a:
$$ O_2 \left( 0, – \frac{1}{2} \right) \quad R_2= \sqrt{2} $$
Andiamo ora a rappresentarle insieme alla curva dedotta dalla circonferenza finale dove prendiamo i pezzi corrispondenti delle circonferenze.
ESERCIZIO TRE
Rappresenta la seguente curva dedotta da una circonferenza:
$$ \gamma : x^2+y^2-2|x+y| =0 $$
Partiamo con lo studio del segno dell’argomento del modulo:
$$ |y+x| \to y+x \ge 0 \to y\ge -x $$
Ricordiamo che dal punto di vista grafico la retta di equazione:
$$ y = -x $$
è la bisettrice del terzo e del quarto quadrante e la positività dell’argomento cade al di sopra di tale retta.
Dunque riscriviamo il modulo nelle due zone, negativa e positiva:
$$ |y+x| = \begin{cases} -y-x &\text{se}& y<-x \\ y+x &\text{se}& y \ge -x \end{cases} $$
L’equazione della curva può essere scritta
$$ \gamma: \quad \begin{cases} x^2+y^2+2x+2y-2=0 &\text{se}& y<-x \\ x^2+y^2-2x+2y-2=0 &\text{se}& y \ge -x \end{cases} $$
La prima circonferenza che troviamo al di sotto della bisettrice è:
$$ \gamma_1: \quad x^2+y^2+2x+2y-2=0 $$
di centro e raggio:
$$ O_1: (-1,-1) \quad R_1=2 $$
Mentre al di sopra della bisettrice troviamo la seconda circonferenza:
$$ \gamma_1: \quad x^2+y^2-2x-2y-2=0 $$
di centro e raggio:
$$ O_2: (1,1) \quad R_2=2 $$
Rappresentiamo quindi la curva dedotta dalla circonferenza.
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