In questo articolo vediamo come determinare analiticamente e come rappresentare un’iperbole traslata rispetto alla sua forma canonica
INDICE
LA TRASLAZIONE DELL’IPERBOLE
L’equazione dell‘iperbole traslata è:
$$ \large{\gamma’ : \quad \frac{(x-x_0)^2}{a^2} – \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = \pm 1} $$
a seconda che i fuochi si trovino sull’asse x (=+1) oppure sull’asse y (=–1)
Essa di ottiene dall’equazione dell’iperbole nella forma canonica o esplicita con centro nell’origine:
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = \pm 1 $$
Il cui nuovo centro viene spostato nel punto generico O’ di coordinate:
$$ O’: (x_0, y_0) $$
Possiamo anche dire che trasliamo questa iperbole di un vettore v le cui componenti sono pari alle coordinate del nuovo centro O’
$$ \gamma’ : \quad \frac{(x-x_0)^2}{a^2} – \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = \pm 1 $$
LA TRASLAZIONE DELL’IPERBOLE – ESEMPIO
Trasla l’iperbole con centro nell’origine di vertice reale V1(√5,3) e vertice immaginario V2(0,√2) di un vettore v(3,5) e successivamente di un vettore u(-2,3).
SVOLGIMENTO
Per prima cosa dobbiamo determinare l’equazione canonica dell’iperbole
Sappiamo che un vertice reale si trova sull’asse x, dunque anche i fuochi si trovano sull’asse delle x.
L’equazione canonica dell’iperbole che vogliamo trovare è del tipo:
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = \pm 1 $$
Dal vertice reale andiamo a calcolare i valori del parametro reale a:
$$ V_1 ( \sqrt{5} , 0) \to a= \sqrt{5} \to a^2 = 5 $$
Mentre dal vertice immaginario che si trova sull’asse y calcoliamo il valore del parametro b:
$$ V_2 (0, \sqrt{2}) \to b= \sqrt{2} \to b^2= 2 $$
L’equazione canonica della nostra conica è
$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{5} – \frac{y^2}{2} = 1 $$
I suoi asintoti sono le rette:
$$ y= \pm \sqrt{\frac{2}{5}}x $$
IPERBOLE TRASLATA DEL VETTORE v=(3 , 5)
Cominciamo con il determinare l’equazione dell’iperbole in seguito ad una traslazione del vettore v:
$$ v= (3,5) $$
Applicando la formula generale :
$$ \gamma’ : \quad \frac{(x-x_0)^2}{a^2} – \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = \pm 1 $$
Ricaviamo che l’equazione della nuova curva è:
$$ \gamma’ : \quad \frac{(x-3)^2}{5} – \frac{(y-5)^2}{2} = 1 $$
IPERBOLE TRASLATA DEL VETTORE u=(–2 , 3)
Troviamo ora l’iperbole traslata del vettore u:
$$ u= (2,3) $$
Anche in questo caso applichiamo la formula generale per la traslazione dell’iperbole
$$ \gamma’ : \quad \frac{(x-x_0)^2}{a^2} – \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = \pm 1 $$
Ricaviamo che l’equazione della nuova conica traslata è
$$ \gamma” : \quad \frac{(x+2)^2}{5} – \frac{(y-3)^2}{2} = 1 $$
SVILUPPO DELLE EQUAZIONI NELLA FORMA IMPLICITA
Determiniamo ora le equazioni implicite delle due iperboli nella forma generica:
$$ ax^2+by^2+cx+dy+e=0 \quad \text{con }\ a \cdot b <0 $$
FORMA IMPLICITA DELL’IPERBOLE TRASLATA DI v=(3 , 5)
Partiamo dalla prima iperbole
$$ \gamma’ : \quad \frac{(x-3)^2}{5} – \frac{(y-5)^2}{2} = 1 $$
Moltiplichiamo tutto per il denominatore comune
$$ 2(x-3)^2-5(y-5)^2= 10 $$
Sviluppiamo i due quadrati di binomio
$$ 2(x^2-6x+9)-5(y^2-10y+25)=10 $$
Spostiamo tutto a sinistra
$$ 2x^2-12x+18-5y^2+50y-125-10=0 $$
Riassembliamo meglio il polinomio
$$ 2x^2-5y-12x+50y+(18-125-10)=0 \\ \ \\ 2x^2-5y-12x+50y+117=0 $$
FORMA IMPLICITA DELL′IPERBOLE TRASLATA DI u=(–2 , 3)
Seguiamo la stessa procedura di calcolo vista in precedenza
$$ \begin{array}{l} \gamma” : & \quad \frac{(x+2)^2}{5} – \frac{(y-3)^2}{2} = 1 \\ \ \\ & 2(x+2)^2-5(y-3)^2= 10 \\ & 2(x^2+4x+4)-5(y^2-6y+9)= 10 \\ & 2x^2+8x+8-5y^2+30y-45-10=0 \\ & 2x^2-5y^2+8x-30y+(8-45-10)=0 \\ & 2x^2-5y^2+8x+30y-47=0 \end{array} $$
HAI QUALCHE DOMANDA ?
Se hai qualche domanda scrivi nei commenti.
SCOPRI IL CORSO DI GEOMETRIA CARTESIANA
Apprendi le cose più importanti della geometria cartesiana (o geometria analitica)
Un percorso increbile che parte dal piano cartesiano e le rette, e prosegue nell’avvincente mondo delle parabole, le ellissi e le iperboli.
L’ARTICOLO TI è PIACIUTO ?
Se questo contenuto ti è piaciuto e vorresti che anche altri utenti possano goderne di questo ed altri ancora sostieni il progetto offrendomi un semplice caffè virtuale
Questo semplice gesto per me significa moltissimo e può essere un forte impulso per lo sviluppo di tutto il progetto di divulgazione matematica
Visita il canale YouTube!