RETTA TANGENTE ALL’IPERBOLE

In questo articolo vediamo come si calcola l’equazione della retta tangente ad una iperbole.

La retta tangente all’iperbole è una retta che incontra l’iperbole in un solo punto.

Questa retta può essere definita da un punto esterno o appartenente all’iperbole.

In particolare per un punto esterno all’iperbole possiamo tracciare due rette tangenti.

Per zona esterna all’iperbole intendiamo quella compresa tra i due rami che si espandono all’infinito.

Se preferite una definizione più tecnica è la parte di piano concava rispetto alla curva iperbolica.

Se invece ci troviamo su un punto appartenente alla conica esiste una sola retta tangente.

Mentre non è possibile tracciare la tangente si ci troviamo nella parte interna dell’iperbole.

RETTA TANGENTE ALL’IPERBOLE CONDOTTA DA UN PUNTO ESTERNO

Analizziamo meglio la situazione all’interno del sistema cartesiano.

Se abbiamo l’equazione di un’iperbole:

$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = \pm 1 $$

(nei passa passaggi che seguo vedremo il caso del +1)

 e consideriamo un punto P esterno ad essa:

$$ P(x_0, y_0) $$

Come facciamo a determinare l’equazione della retta tangente all’iperbole, o meglio delle due rette tangenti?

La procedura è molto semplice e vale in generale per tutte le coniche.

Per prima cosa consideriamo il fascio proprio di rette passanti per il punto P:

$$ y-y_0 = m(x-x_0) $$

 che riscriviamo meglio in questo modo:

$$ y= mx-mx_0+y_0 $$

Mettiamo ora a sistema 

$$ \begin{cases} \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \\ y= mx-mx_0+y_0 \end{cases} $$

Sostituendo il valore della y ricavata nel fascio nell’equazione dell’ellisse perveniamo ad una equazione di secondo grado in x con parametro m, del tipo:

$$ a(m)x^2 +b(m)x +c(m)= 0 $$

CONDIZIONE DI TANGENZA

Non ci resta ora che applicare la condizione di tangenza tra la retta e l’ellisse imponendo che il delta di questa equazione risulti pari a zero.

$$ \Delta(m)= 0 $$

Perveniamo in questo modo ad una equazione di secondo in m grado del tipo:

$$ a’m^2+b’m+c’= 0 $$

Questa equazione avrà certamente un delta maggiore di zero in quanto il punto è stato preso esternamente.

Dunque possiamo calcolare i due valori di m che rendono il fascio tangente all’ellisse.

Calcoliamo questo valori sfruttando la formula risolutiva o con altri metodi di scomposizione:

$$ m_{1,2} = \frac{-b’ \pm \sqrt{\Delta’}}{2a’} $$

A questo punto per trovare le due rette tangenti sostituiamo tali valori trovati all’interno dell’equazione del fascio:

$$ y= mx-mx_0+y_0 \\ \begin{array}{l} m=m_1 &\to& t_1:\ y= m_1x-m_1x_0+y_0 \\ m=m_1 &\to& t_1:\ y= m_2x-m_2x_0+y_0 \end{array} $$

ESEMPIO DI RETTA TANGENTE ALL’IPERBOLE CONDOTTA DA UN PUNTO ESTERNO

Svolgiamo ora un esecri per determinare l’equazione della retta tangente ad un’iperbole condotta di un punto esterno.

Determina l’equazione della retta tangente all’iperbole 𝛾 condotte dal punto P

$$ \gamma:\ 4x^2-9y^2= 36 \quad P \left( 0, – \frac{3}{2} \right) $$

DATI INIZIALI

L’equazione della nostra iperbole è:

$$ \gamma:\quad 4x^2-9y^2= 36 $$

Che possiamo scrivere facilmente nella forma esplicita così: 

$$ \gamma:\quad \frac{x^2}{9} – \frac{y^2}{4} = 1 $$

Dai valori del quadrato di a e del quadrato di b ricaviamo immediatamente i due vertici orizzontale e verticale a e b:

$$ \begin{array}{l} a^2= 9 &\to& a= 3 \\ b^2= 4 &\to& b=2 \end{array} $$

Gli asintoti dell’iperbole sono dunque:

$$ y = \pm \frac{b}{a} x \to y= \frac{2}{3}x $$

FASCIO DI RETTE PASSANTE PER P

Dall’altro lato abbiamo che le coordinate del punto P sono:

$$ P \left( 0, – \frac{3}{2} \right) $$

Determiniamo ora il fascio di rette passante per il punto P con la formula generale:

$$ P(x_0, y_0) \to y-y_0 = m(x-x_0) $$

 che nel nostro caso risulta:

$$ P \left( 0, – \frac{3}{2} \right) \to y+\frac{3}{2} = mx $$

Scriviamo ora meglio il fascio esplicitando il valore della y

$$ y= mx- \frac{3}{2} $$

SISTEMA IPERBOLE – FASCIO 

Per trovare la retta (o meglio le rette) tangenti all’iperbole mettiamo a sistema il fascio di rette con l’iperbole tenendo la prima equazione per comodità di calcolo

$$ \begin{array} 4x^2-9y^2= 36 \\ y= mx- \frac{3}{2} \end{array} $$

Sostituendo la y del fascio nell’equazione dell’ellisse perveniamo ad una equazione di secondo grado in x con parametro m

$$ \begin{array}{l} 4x^2-9 \left( mx- \frac{3}{2} \right) = 36 \\ 4x^2 -9 \left( m^2x^2 -3mx+ \frac{9}{4} \right) -36 =0 \\ 4x^2 – m^2x^2 +27 mx- \frac{81}{4} -36 = 0 \\ (4-9m^2)x^2+27mx – \frac{81}{4}-36 = 0 \\ (4-9m^2)x^2+27mx – \frac{225}{4}= 0 \\ (9m^2-4)x^2-27mx + \frac{225}{4} = 0 \end{array} $$

CONDIZIONE DI TANGENZA – DELTA UGUALE A ZERO

Imponiamo dunque la condizione di tangenza tra la retta e l’ellisse, ovvero che il delta (in funzione di m) risulti uguale a zero.

$$ \Delta(m)= 0 \to (27m)^2-4 (9m^2-4) \cdot \frac{225}{4} =0

Sviluppando l’equazione annulliamo i termini in m di grado 3 e 4 e perveniamo ad una equazione di secondo grado con incognita m:

$$ \begin{array}{l} 729m^2-225(9m^2-4)= 0 \\ 81m^2-25(9m^2-4)= 0 \\ 81m^2-225m^2+100 = 0 \\ 144m^2= 100 \end{array} $$

Il delta o discriminante di questa equazione è certamente positivo dal momento che l’equazione produce due soluzioni

$$ m^2= \frac{100}{144} \to m= \pm \frac{10}{12}= \pm \frac{5}{6} $$

Tali soluzioni sono i coefficienti angolari delle due rette tangenti all’ellisse condotte dal punto P.

RETTE TANGENTI ALL’IPERBOLE

Per determinare le equazioni delle due rette tangenti all’iperbole non ci resta che sostituire tali coefficienti angolari all’interno dell’equazione del fascio di rette passanti per P

$$ P \left(0, – \frac{3}{2} \right) \to mx-\frac{3}{2} \\ \begin{array}{l} m_1= \frac{5}{6} &\to& t_1:\ y= \frac{5}{6}x-\frac{3}{2} \\ m_2= – \frac{5}{6} &\to& t_2:\ y=- \frac{5}{6}x-\frac{3}{2} \end{array} $$

PUNTI DI TANGENZA RETTA – IPERBOLE

Per determinare i punti di tangenza delle rette con l’iperbole mettiamo a sistema l’equazione delle due rette con l’iperbole

$$ \begin{cases} 4x^2-9y^2= 36 \\ y= \frac{5}{6}x-\frac{3}{2} \end{cases} \cup \begin{cases} 4x^2-9y^2= 36 \\ y=- \frac{5}{6}x-\frac{3}{2} \end{cases} $$

Dallo sviluppo dei sistemi ne verranno due equazioni di secondo grado con delta nullo che ci condurranno i punti di tangenza:

$$ A \left( 5, \frac{8}{3} \right) \cup B \left( -5, \frac{8}{3} \right) $$

Riportiamo sotto i calcoli del primo sistema che conduce al punto A:

e del secondo sistema che porta al punto B:

Mostriamo sotto una figura di riepilogo di tutti i calcoli svolti

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RETTA TANGENTE IN UN PUNTO DELL’IPERBOLE

L’altro caso di retta tangente all’iperbole che vediamo è quella condotta da un punto appartenente all’iperbole stessa.

Per tale punto possiamo condurre una sola retta tangente alla conica.

Cominciamo con il considerare la solita iperbole ad esempio con i fuochi sull’asse x di equazione

$$ \gamma: \quad \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

Prendiamo un punto P che si trova sulla curva:

$$ P(x_0, y_0) $$

MODO “CLASSICO”

Un primo modo per determinare l’equazione della retta tangente possiamo agire esattamente come se il punto fosse esterno.

Quindi mettendo a sistema l’equazione del fascio passante per il punto con l’iperbole e imporre la condizione di tangenza

$$ \begin{cases} \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \\ y= mx-mx_0+y_0 \end{cases} $$

LA FORMULA DI SDOPPIAMENTO

Oppure esiste un secondo modo più semplice che si chiama la formula di sdoppiamento.

Applicando questo metodo veloce l’equazione dell’unica retta tangente all’iperbole si ottiene così:

$$ t: \quad \frac{x_0x}{a^2} – \frac{y_0y}{b^2} = 1 $$

RETTA TANGENTE IN UN PUNTO DELL’IPERBOLE – ESEMPIO CON LA FORMULA DI SDOPPIAMENTO

Determina l’equazione della rette tangenti all’iperbole 𝛾 nel punto P indicato

$$ \gamma:\ 8x^2-9y^2= 36 \quad P(-3,-2) $$

SVOLGIMENTO

L’equazione dell’iperbole di partenza è:

$$ \gamma:\quad 8x^2-9y^2= 36 $$

Il punto P che appartiene ad essa è:

$$ P(-3,-2) \to 8 \cdot(-3)^2 -3 \cdot (-2)^2= 36 $$

Se vogliamo verificare l’effettiva appartenenza del punto all’iperbole sostituiamo le coordinate del punto nell’equazione dell’iperbole ottenendo un’identità

FORMULA DI SDOPPIAMENTO

Per determinare l’equazione della retta tangente applichiamo dunque la formula di sdoppiamento:

$$ t: \quad \frac{x_0x}{a^2} – \frac{y_0y}{b^2} = 1 \\ \ \\ \begin{array}{l} 8(-3)x-9(-2)y-36=0 \\ -24x+18y+36=0 \\ 4x-3y+6=0 \\ y = \frac{4}{3}x+2 \end{array} $$

VERIFICA  PUNTO DI INTESEZIONE

Se vogliamo verificare che il punto di tangenza sia effettivamente corretto mettiamo a sistema l’equazione dell’iperbole con la retta.

$$ \begin{cases} 8x^2-9y^2= 36 \\ 3y=4x+6 \end{cases} $$

Dalla risoluzione del sistema ne deriverà un’equazione di secondo grado in x con delta nullo.

La soluzione del sistema sarà proprio il nostro punto P di partenza.

$$ \begin{array}{l} 8x^2-(4x+6)^2= 36 \\ 8x^2-(16x^2+48x+36)-36= 0 \\ 8x^2-16x^2-48x-36-36=0 \\ -8x^2-48x-72=0 \\ x^2+6x+9=0 \end{array} $$

Dall’equazione di secondo grado risulta un delta uguale a zero e si riconosce quindi lo sviluppo di un quadrato di binomio:

$$ (x+3)^2= 0 \to x=-3$$

Determiniamo ora la y del punto di tangenza e le sue coordinate:

$$ x= -3 \overset{y= \frac{3}{2}+2}{\longrightarrow} y= \frac{3}{2} (-3)+2= -2 \to P(-3,-2) $$

Rappresentiamo graficamente la situazione.

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