REGOLE DI INTEGRAZIONE ELEMENTARI

Le regole di integrazione sono regole che permettono di calcolare un integrale indefinitoa partire da una data funzione.

FUNZIONE PRIMITIVA, INTEGRALE INDEFINITO E REGOLE DI INTEGRAZIONE

Ricordiamo che un integrale indefinito è l’insieme di tutte le funzioni primitive di una data funzione.

Una funzione primitiva è a sua volta una funzione F(x) la cui funzione derivata 

Sia f(x) una funzione ad una variabile reale

$$f:\ \mathbb{R}\to \mathbb{R}:\quad y=f(x)$$

F(x) è una sua funzione primitiva se e solo se la sua derivata prima coincide con la funzione originaria

$$F(x)|\ F'(x)=f(x)$$

Le funzioni primitive di una data funzione sono infinite e differiscono solamente di una costante c (detta anche costante integrativa) 

$$\int f(x)\ dx= F(x)+c\quad \text{è l’integrale indefinito}$$

La derivata prima dell’integrale indefinito coincide sempre con la funzione di partenza f(x) 

$$\left(F(x)+c\right)’= f(x)$$

Questo fantastico risultato è garantito dal teorema fondamentale del calcolo integrale.

Le regole di integrazione sono regole che permettono di trovare l’integrale indefinito a partire da una certa funzione.

In particolare oggi vediamo quali sono le regole di derivazione valide per funzioni elementari.

REGOLE DI INTEGRAZIONE PER FUNZIONI ELEMENTARI 

Sotto riportiamo le regole di integrazione per le più famose funzioni conosciute suddividendole in:

• Zero
• Costante
• Potenza ad esponente reale (eccetto –1)
• Iperbole 
• Esponenziale
• Goniometriche 

Dopo aver enunciato la regola metteremo la motivazione che ci dice “questa regola implica che la derivata della primitiva coincide con la funzione di partenza”

$$\int f(x)\ dx= F(x)+c \leftrightarrow \left(F(x)+c\right)’=f(x)$$

Possiamo quindi vedere nelle regole di integrazione una sorta di processo inverso alle regole di derivazione.

Se dunque avete ancora poca confidenza con queste vi consiglio vivamente di tornare su questa questione.

REGOLE GENERALI DEGLI INTEGRALI

Le regole di integrazione conservano alcune delle regole generali valide per i processi di derivazione.

In particolare questo vale per le operazioni di:

• Somma e differenza di funzioni
• Moltiplicazione costante per funzione

Per la prima diciamo che l’integrale di una somma (differenza) di funzioni è pari alla somma (differenza) degli integrali delle funzioni

$$ \int\left(f(x)+g(x)-k(x)\right)\ dx = \int f(x)\ dx+\int g(x)\ dx-\int k(x)\ dx$$

Quanto alla seconda l’integrale di una costante per una funzione è la costante per l’integrale della funzione

$$ \int k\cdot f(x)\ dx = k\int f(x)\ dx$$

Attenzione che le analogie con le regole di derivazione finiscono qui!

Infatti non riconosciamo generali per:

• Prodotti di funzioni
• Divisioni di funzioni
• Potenze di funzioni 
• Esponenziali di funzioni
• Logaritmo di funzione
• Altre forme goniometriche

APPLICAZIONE DI REGOLE DI INTEGRAZIONE ELEMENTARI

Vediamo ora qualche applicazione delle regole di integrazione elementari.

ESEMPIO 1 – REGOLE DI INTEGRAZIONE

$$\int\left(1+x+2x^2+\frac{1}{4}x^3+\frac{2}{3}x^2+101x^100\right)\ dx$$

Cominciamo a separare le somme di integrali e a portare fuori la costante

$$\int1\ dx+\int x\ dx+2\int x^2\ dx+\frac{1}{4}\int x^3\ dx+\frac{2}{3}x^4\ dx+101\int x^{100}\ dx$$

Trattandosi di potenze applichiamo la regola generale per l’integrale di potenza che è:

$$\int x^\alpha\ dx= \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c$$

Dunque abbiamo

$$ x+\frac{x^{1+1}}{1+1}+ 2\frac{x^{2+1}}{2+1}+\frac{1}{4}\frac{x^{3+1}}{3+1}+\frac{2}{3}\frac{x^{4+1}}{4+1}+101\frac{x^{100+1}}{100+1}+c \\ x+\frac{x^2}{2}+\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{4}\frac{x^4}{4}+\frac{2}{3}\frac{x^5}{5}+101\frac{x^{101}}{101}+c$$

Infine riscriviamo meglio il tuto

$$ x+\frac{1}{2}x^2+\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{16}x^4+\frac{2}{15}x^5+x^{100}+c$$

ESEMPIO 2

$$\int\left(\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}+\frac{1}{3x^4}+\frac{2}{x^5}\right)\ dx$$

Separiamo le somme di integrali e a portare fuori la costante

$$\int\frac{}{x}\ dx-2\int\frac{1}{x^3}\ dx+\frac{1}{3}\int\frac{1}{x^4}\ dx+2\int\frac{1}{x^5}\ dx$$

Riscriviamo meglio le frazioni con esponente negativo

$$\int x^{-2}\ dx-2\int x^{-3}\ dx+\frac{1}{3}\int x^{-4}\ dx+2\int x^{-5}\ dx$$

Trattandosi di potenze applichiamo la regola di integrazione per la potenza che è:

$$\int x^\alpha\ dx= \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c$$

Dunque abbiamo

$$ x+\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+ 2\frac{x^{-3+1}}{-3+1}+\frac{1}{3}\frac{x^{-4+1}}{-4+1}+2\frac{x^{-5+1}}{-5+1}+c \\ x+\frac{x^{-1}}{-1}-2\frac{x^{-2}}{-2}+\frac{1}{3}\frac{x^{-3}}{-3}+2\frac{x^{-4}}{-4}+c$$

Infine riscriviamo meglio il tuto

$$ -\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{9x^3}-\frac{1}{2x^4}+c$$

ESEMPIO 3

$$\int\left(\sqrt{x}+2\sqrt[3]{x}+\frac{2}{3}\sqrt[4]{x}-\frac{1}{4\sqrt[5]{x}}\right)\ dx$$

Separiamo le somme di integrali e a portare fuori la costante

$$\int\sqrt{x}\ dx+2\int\sqrt[3]{x}\ dx+\frac{2}{3}\int\sqrt[4]{x}\ dx-\frac{1}{4}\int\frac{1}{\sqrt[5]{x}}\ dx$$

Riscriviamo meglio le radici con esponente frazionario

$$\int x^{\frac{1}{2}}\ dx+2\int x^{\frac{1}{3}}\ dx+\frac{2}{3}\int x^{\frac{1}{4}}\ dx-\frac{1}{4}\int x^{-\frac{1}{5}}\ dx$$

Trattandosi di potenze applichiamo la regola generale per l’integrale di potenza che è:

$$\int x^\alpha\ dx= \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c$$

Dunque abbiamo

$$\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+2\frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1}+\frac{2}{3}\frac{x^{\frac{1}{4}+1}}{\frac{1}{4}+1}-\frac{1}{4}\frac{x^{-\frac{1}{5}+1}}{-\frac{1}{5}+1}+c = \\ \frac{x^\frac{}{}}{\frac{}{}}+2\frac{x^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}+\frac{2}{3}\frac{x^\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}}-\frac{1}{4}\frac{x^\frac{4}{5}}{\frac{4}{5}}+c$$

Ribaltiamo le frazione e reinseriamo i radicali

$$ \frac{2}{3}\sqrt[]{x^3}+2\cdot \frac{3}{4}\sqrt[3]{x^4}+\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\sqrt[4]{x^5}-\frac{1}{4}\cdot \frac{5}{4}\sqrt[5]{x^4}+c$$

Facciamo gli ultimi calcoli applicando anche la regola del portare fuori dei radicali

$$ \frac{2}{3}x\sqrt[]{x}+ \frac{3}{2}x\sqrt[3]{x}+ \frac{8}{15}x\sqrt[4]{x}+ \frac{5}{16}x\sqrt[5]{x^4}+ c$$

SCOPRI I LIMITI, LE DERIVATE E GLI INTEGRALI

Comincia il tuo percorso in una delle più avvincenti storie della matematica del XVII e del XVIII secolo.

Un viaggio incredibile che ti porterà a scoprire ed apprendere i segreti dei limiti, delle derivate e degli integrali

ESEMPIO 4

$$\int\left(\frac{x^3-x}{x}+ \frac{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}{\sqrt[4]{x}}\right)\ dx$$

Cominciamo a separare le due frazioni della somma

$$\int\frac{x^3-x}{x}\ dx+ \int\frac{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}{\sqrt[4]{x}}\ dx$$

Ricordiamo che per le proprietà delle frazioni possiamo smembrare i numeratori mantenendo lo stesso denominatore

$$ \frac{x^3-x}{x}= \frac{x^3}{x}-\frac{x}{x}=x^2-1$$

Nella seconda frazione scriviamo i radicali come potenze

$$\frac{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}{\sqrt[4]{x}}= \frac{x^\frac{1}{2}}{x^\frac{1}{4}}-\frac{x^\frac{1}{3}}{x^\frac{1}{4}}= x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}-x^{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}= x^\frac{1}{4}-x^\frac{1}{12}$$

A questo punto possiamo spezzare l’integrale di partenza in quattro addendi

$$\int x^2\ dx-\int 1\ dx+\int x^\frac{1}{4}\ dx-\int x^\frac{1}{12}\ dx$$

Trattandosi di potenze applichiamo la regola generale per l’integrale di potenza che è:

$$\int x^\alpha\ dx= \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c$$

Dunque abbiamo

$$ \frac{x^{2+1}}{2+1}-x+\frac{x^{\frac{1}{4}+1}}{\frac{1}{4}+1}-\frac{x^{\frac{1}{12}+1}}{\frac{1}{12}+1}+c= \frac{x^3}{3}-x+\frac{x^\frac{5}{4}}{\frac{5}{4}}+\frac{x^\frac{13}{12}}{\frac{13}{12}}+c$$

Ribaltiamo le frazione e reinseriamo i radicali

$$ \frac{1}{3}x^{3}-x+\frac{4}{x^5}\sqrt[4]{5}-\frac{12}{x^{13}}\sqrt[12]{13}+c$$

Facciamo gli ultimi calcoli applicando anche la regola del portare fuori dei radicali

$$ \frac{1}{3}x^{3}-x+\frac{4}{5}x\sqrt[4]{x}-\frac{12}{13}x\sqrt[12]{x}+c$$

ESEMPIO 5

$$ \int\left( \frac{1}{x}+e^x+5^x-3\cdot2^x+\pi^x\right)\ dx$$

Separiamo le somme di integrali e a portare fuori la costante

$$\int\frac{1}{x}\ dx+\int e^x\ dx+\int 5^x\ dx-3\int 2^x\ dx+\int\pi^x\ dx$$

Applichiamo le seguenti regole di integrazione per gli integrali elementari per funzioni logaritmiche ed esponenziali

$$\int\frac{1}{x}=\log x|+c\quad \in e^x=e^x+c\quad \int a^x= \frac{a^x}{\log a}+c$$

Dunque abbiamo

$$ \log|x|+e^x+\frac{5^x}{\log5}-\frac{3}{\log2}2^x+\frac{\pi^x}{\log\pi}+c$$

ESEMPIO 6

$$\int\left(sin x+2\cos x-\frac{1}{1+x^2}+\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\right)\ dx$$

Separiamo le somme di integrali e a portare fuori la costante

$$\int\ dx+2\int\cos x\ dx-\int\frac{1}{1+x^2}\ dx+3\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ dx$$

Applichiamo le seguenti regole di integrazione elementari per funzioni goniometriche

$$\begin{array}{l} \int\sin x\ dx= -\cos x+c&\int\cos x\ dx= \sin x+c\\ \int\frac{1}{1+x^2}\ dx=\tan^{-1}x+c&\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ dx= \sin^{-1}x+c \end{array}$$

Dunque abbiamo che il nostro integrale diventa

$$-\cos x+2\sin x-\tan^{-1}x+3\sin^{-1}x+c$$

ESEMPIO 7

$$\int(3\sinh x-2\cosh x)\ dx$$

Separiamo le somme di integrali e a portare fuori la costante

$$3\int\sinh x\ dx-2\int\cosh x\ dx$$

Applichiamo le regole di integrazione elementari per funzione seno e coseno iperbolico 

$$\int\sinh x\ dx= \cosh x+x\quad \int\cosh x\ dx=\sinh x+c$$

Dunque infine il nostro integrale risulta

$$\int(3\sinh x-2\cosh x)\ dx= 3\cosh x-2\sinh x+c$$

HAI QUALCHE DOMANDA ?

Se questo articolo ti ha fatto venire qualche domanda scrivila nei commenti.

SCOPRI I LIMITI, LE DERIVATE E GLI INTEGRALI

Comincia il tuo percorso in una delle più avvincenti storie della matematica del XVII e del XVIII secolo.

Un viaggio incredibile che ti porterà a scoprire ed apprendere i segreti dei limiti, delle derivate e degli integrali

L’ARTICOLO TI è PIACIUTO ?

Se questo contenuto ti è piaciuto e vorresti che anche altri utenti possano goderne di questo ed altri ancora sostieni il progetto offrendomi un semplice caffè virtuale

Questo semplice gesto per me significa moltissimo e può essere un forte impulso per lo sviluppo di tutto il progetto di divulgazione matematica

Visita il canale YouTube!