SEGNO DELLA DERIVATA E CRESCENZA
Le derivate sono uno strumento fondamentale per lo studio della crescenza o decrescenza di una funzione ad una variabile reale.
In particolare vedremo in questo articolo che il segno della derivata prima è strettamente correlato allo studio della crescenza di una funzione.
Andremo a dimostrare che quando il segno della derivata prima è positivo allora in quel preciso istante la funzione sta crescendo.
Diversamente quando il segno della derivata è negativo la funzione è decrescente.
CONCETTI PRELIMINARI
Prima di partire con la dimostrazione però mettetevi comodi perché fare mo un piccolo ripasso su questi concetti:
- Funzione crescente e decrescente
- Rapporto incrementale
- Derivata prima
FUNZIONE CRESCENTE
Data una funzione ad una variabile reale diciamo che essa è crescente in un certo tratto se per qualsiasi coppia di punti x1 e x2 con x1 minore di x2 allora il valore della funzione in x2, ovvero f(x2) è maggiore o uguale al valore della funzione in x1, ovvero f(x1)
MONOTONIA DI UNA FUNZIONE
Nel gergo matematico è spesso utilizzato il termine monotona crescente.
La parola monotona deriva dai termini greci “monos” che significa “soltanto” e “tonos” che significa “tono”.
Nel gergo delle funzioni possiamo pensare ad una funzione che assume in quel tratto un solo tono, ad indicare che sta solamente crescendo.
FUNZIONE STRETTAMENTE CRESCENTE
La definizione di funzione strettamente crescente è esattamente identica alla definizione di funzione crescente.
Se non che alla fine dobbiamo imporre che f(x2) è maggiore f(x1), ovvero togliamo il segno di uguale.
Molto spesso nel gergo matematico si utilizza appunto l’espressione strettamente maggiore.
FUNZIONE DECRESCENTE
Data una funzione ad una variabile reale diciamo che essa è decrescente in un certo tratto se per qualsiasi coppia di punti x1 e x2 con x1 minore di x2 allora il valore della funzione in x2, ovvero f(x2) è minore o uguale al valore della funzione in x1, ovvero f(x1).
FUNZIONE STRETTAMENTE DECRESCENTE
La definizione di funzione strettamente crescente è esattamente identica alla definizione di funzione crescente.
Se non che alla fine dobbiamo imporre che f(x2) è minore f(x1), ovvero togliamo il segno di uguale.
Molto spesso nel gergo matematico si utilizza appunto l’espressione strettamente minore.
RAPPORTO INCREMENTALE
Utilizzando x1 e x2 al posto dei classici x0 e x0+h, possiamo vedere il rapporto incrementaleanche nel seguente modo.
Come il rapporto tra il differenziale della funzione nel passaggio dal punto x1 al punto x2 (f(x2) – f(x1)) e la differenza dei punti (x2 – x1).
Esso identifica come sempre il coefficiente angolare della retta secante ad una funzione passante per i punti di f(x) di ascissa x1 e x2.
Geometricamente tale rapporto identifica la pendenza, ovvero il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto x1.
DERIVATA PRIMA
Utilizzando x1 e x2 al posto dei classici x0 e x0+h, possiamo vedere il rapporto incrementale anche nel seguente modo.
Come il limite per x2 che tende ad x1 del rapporto tra il differenziale della funzione nel passaggio dal punto x1 al punto x2 (f(x2) – f(x1)) e (x2 – x1).
Esso identifica il coefficiente angolare della retta tangente ad una funzione in un punto dato x1.
TEOREMA DEL SEGNO DELLA DERIVATA E CRECENZA
Il teorema del segno della derivata e crescenza/ decrescenza evidenzia una relazione univoca tra il segno della derivata e la monotonia (crescenza o decrescenza) di una funzione in un certo intervallo.
Per semplicità prenderemo in esame solamente il caso della funzione crescente e lascerò alla vostra immaginazione il caso della decrescenza.
ENUNCIATO DEL TEOREMA
Sia f una funzione ad una variabile reale continua e derivabile in un certo intervallo.
Andremo a dimostrare che quando il segno della derivata è positivo allora la funzione sta crescendo
IPOTESI
Sia f: R –>R y = f(x)
Continua e derivabile in un certo intervallo I
f ‘ (x) > 0 in tutto l’intervallo I
TESI
f(x) è crescente
DIMOSTRAZIONE
Prendiamo in considerazione due punti x1 e x2 appartenenti all’intervallo I, con x1 < x2
Cominciamo con il considerare la derivata prima nel punto x1
Sappiamo per ipotesi che la derivata prima in x1, in quanto appartenente all’intervallo I è maggiore o uguale a zero
Dunque anche il rapporto incrementale dovrà per forza essere positivo o nullo.
Sappiamo inoltre che il denominatore della frazione è certamente una quantità positiva.
Ciò in virtù di quello che abbiamo assunto nella dimostrazione dove abbiamo imposto x1 < x2
Ne consegue perciò che il numeratore deve avere per forza valore maggiore o uguale a zero.
Ciò significa che la funzione allora è certamente crescente.
In conclusione abbiamo dimostrato che quando la derivata prima è positiva in un certo intervallo in cui f(x) è derivabile, allora la funzione è certamente monotona crescente.
