Le formule di duplicazione nella goniometria permettono di scrivere
le funzioni goniometriche associate al doppio di un angolo
Le formule di duplicazione che vediamo in questo articolo si riferiscono a seno, coseno e tangente.
Per il caso del seno abbiamo:
$$ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $$
Nel caso del coseno abbiamo:
$$ \begin{array}{l} \cos 2\alpha = cos^2\alpha – \sin^2\alpha \\ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha -1 \\ \cos 2\alpha = 1-2\sin^2\alpha \end{array} $$
Mentre per la tangente
$$ \tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2\alpha} $$
INDICE
RICAVARE LE FORMULE DI DUPLICAZIONE
Ricavare le formule di duplicazione è molto semplice perché queste derivano in maniera diretta dalle formule di addizione
Vediamo come ricavare le formule di duplicazione per il seno, il coseno e la tangente
FORMULA DI DUPLICAZIONE PER IL SENO
La formula di duplicazione del seno deriva dalla sua formula di addizione.
Sapendo che il seno di una somma di angoli si calcola nel seguente modo:
$$ \sin(\alpha +\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $$
Sostituiamo al posto dell’angolo 𝛽 ancora l’angolo 𝛼
$$\sin2\alpha = \sin(\alpha+\alpha) \sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha$$
Sapendo che il prodotto è commutativo il secondo addendo della somma è uguale al primo.
Dunque possiamo tranquillamente scrivere
$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$
FORMULA DI DUPLICAZIONE PER IL COSENO
La formula di duplicazione del coseno deriva dalla sua formula di addizione.
Sapendo che il coseno di una somma di angoli si calcola nel seguente modo:
$$\cos(\alpha+\beta)= \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\cos\beta$$
Sostituiamo al posto dell’angolo 𝛽 ancora l’angolo 𝛼
In questo caso abbiamo due prodotti con due fattori identici dunque li scriviamo come quadrati
$$\cos2\alpha= cos^2\alpha-sin^2\alpha$$
A questo punto possiamo sfruttare la relazione fondamentale della goniometria secondo cui possiamo scrivere
$$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$$
Sostituendo nella relazione precedente abbiamo che:
$$\cos2\alpha=(1-\sin^2\alpha)-\sin^2\alpha$$
Possiamo dunque scrivere una versione alternativa della formula di duplicazione del seno in questo modo:
$$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$$
Se all’interno della prima relazione ricavata inseriamo questa versione della relazione fondamentale
$$sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$$
La formula diventa
$$\cos2\alpha=cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha)$$
Ecco quindi la terza versione della formula di duplicazione per il coseno
$$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$$
FORMULA DI DUPLICAZIONE PER LA TANGENTE
La formula di duplicazione della tangente deriva dalla sua formula di addizione.
Sapendo che la tangente di una somma di angoli si calcola nel seguente modo:
$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$
Sostituiamo al posto dell’angolo 𝛽 ancora l’angolo 𝛼
$$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} $$
Al numeratore sommiamo le due tangenti mentre al denominatore facciamo il quadrato
Dunque possiamo tranquillamente scrivere
$$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$$
RIEPILOGO DELLE FORMULE DI DUPLICAZIONE
Facciamo ancora un breve riepilogo delle formule di duplicazione goniometriche fin qui dimostrate
IMPARA LA TRIGONOMETRIA!
Impara la trigonometria con un percorso strutturato e facile da seguire passo a passo.
Un viaggio che parte dai concetti elementari (seno, coseno e tangente) , passando per le formule di trasformazione degli angoli, le equazioni e le disequazioni goniometriche, fino ai teoremi e problemi sui triangoli.
UTILITÀ DELLE FORMULE DI DUPLICAZIONE
Le formule di duplicazione hanno una notevole quantità di applicazioni nell’ambito della goniometriche.
Tra i tanti utilizzi ricordiamo:
- Calcolare seni, coseni e tangente di angoli sconosciuti
- Semplificare espressioni goniometriche
- Risolvere problemi con gli angoli
- Rappresentare funzioni goniometriche
- Trovare la soluzioni di equazioni goniometriche
- Risolvere problemi geometrici con triangoli
CALCOLARE SENI, COSENI E TANGENTI NUOVE
Supponiamo di voler calcolare seno, coseno e tangente di 60 gradi quando conosciamo i valori di queste funzioni relative all’angolo 30 gradi.
Elenchiamo le caratteristiche dell’angolo noto in questo modo:
$$\alpha=(\cos\alpha,\sin\alpha,\tan\alpha)\\ \ \\ 30^o=\frac{\pi}{6}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$
Calcoliamo seno, coseno e tangente dell’angolo 60 gradi (π/3) applicando le formule di duplicazione
$$ \begin{array}{l} \sin\frac{\pi}{3}=2\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6}= 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos\frac{\pi}{3}=\cos^2\frac{\pi}{6}-\sin^2\frac{\pi}{6}= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\\ \tan\frac{\pi}{3}=\frac{2\tan\frac{\pi}{6}}{1-\tan^2\frac{\pi}{6}}=\frac{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\frac{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}=\sqrt{3} \end{array}$$
SEMPLIFICARE ESPRESSIONI GONIOMETRICHE
ESEMPIO 1
Patiamo da un primo esempio e calcoliamo il valore della seguente espressione goniometrica
$$ \cos2\alpha-\frac{\cos\alpha\sin\alpha}{\sin\alpha}= $$
Applichiamo la formula di duplicazione per il seno e il coseno
$$\cos^2\alpha-\sin^2\alpha-\frac{\cos\alpha(2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha}=$$
Semplifichiamo
$$ \cos^2\alpha-\sin^2\alpha-2\cos^2\alpha=-\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=$$
Per la relazione fondamentale della goniometria il risultato è –1
$$-(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=-1$$
ESEMPIO 2
Svolgiamo un secondo esempio
$$ \frac{3\sin\alpha+\tan2\alpha}{2\tan2\alpha} = $$
Siccome l’espressione è tutta rispetto all’angolo in 2𝛼 cominciamo a lavorare su quella e spezziamo la frazione in due parti
$$ \frac{3\sin\alpha}{2\tan\alpha}+\frac{\tan2\alpha}{2\tan2\alpha}$$
Nella prima frazione riscriviamo la tangente come rapporto seno/coseno, mentre nella seconda frazione semplifichiamo
$$\frac{3sin2\alpha}{2\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\cos2\alpha+\frac{1}{2}$$
A questo punto applichiamo la formula di duplicazione per il coseno
$$\frac{3}{2}(2\cos^2\alpha-1)+\frac{1}{2}=3\cos^2\alpha-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=3\cos^2\alpha-1$$
Da notare che avremmo potuto esprime anche tutto il risultato in seno applicando la relazione fondamentale
$$3(1-\sin^2\alpha)-1=3-3\sin^2\alpha-1=2-3\sin^2\alpha$$
RISOLVERE PROBLEMI CON GLI ANGOLI
Le formule di duplicazione trovano un’ampia applicazione nei problemi con gli angoli.
Supponiamo ad esempio di conoscere il seno di un certo angolo acuto 𝛼 pari ad 1/4 e di voler calcolare seno, coseno e tangente del suo angolo doppio.
$$\sin\alpha=\frac{1}{4}\quad 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \quad\to\sin2\alpha,\cos2\alpha,\tan2\alpha =???$$
Sapendo che l’angolo 𝛼 si trova nel primo quadrante avrà anche coseno e tangente positivi.
Troviamo dunque il valore del coseno sfruttando la relazione fondamentale della trigonometria
$$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{4}\right)^2}=\frac{\sqrt{15}}{4}$$
Troviamo ora la tangente di 𝛼 attraverso la sua definizione
$$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{1}{\sqrt{15}}$$
Possiamo ora utilizzare le formule di duplicazione per calcolare seno, coseno e tangente dell’angolo 2𝛼
$$ \begin{array}{l} \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{\sqrt{15}}{8}\\ \cos\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-2\cdot\frac{1}{16}=\frac{7}{8} \end{array} $$
(potevamo egualmente applicare una delle altre due formule oppure la relazione fondamentale)
$$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha})\frac{2\cdot\frac{1}{\sqrt{15}}}{1-\frac{1}{15}}=\frac{2}{\sqrt{15}}\cdot\frac{15}{14}=\frac{\sqrt{15}}{7} $$
RAPPRESENTARE FUNZIONE GONIOMETRICHE
Supponiamo di voler rappresentare la seguente funzione goniometrica
$$ y=\frac{2\sin4x}{\cos2x}+1$$
Applichiamo la formula di duplicazione del seno secondo cui
$$\sin4x=2\sin2x\cos2x$$
Dunque sostituendo abbiamo che l’equazione della funzione goniometrica diventa
$$ y=\frac{2\cdot 2\sin2x\cos2x}{\cos2x}+1$$
Semplificando otteniamo
$$y=4\sin2x+1$$
Per rappresentare l’equazione svolgiamo le seguenti trasformazioni
$$y=\sin x\to y=\sin2x\to y=4\sin2x\to y=4\sin2x+1$$
RISOLVERE PROBLEMI GEOMETRICI CON I TRIANGOLI
Le formule di duplicazione goniometriche sono uno strumento importante per risolvere problemi geometrici con i triangoli.
Supponiamo ad esempio di avere un triangolo isoscele con due angoli congruenti pari ad 𝛼.
Sappiamo che il coseno di 𝛼 è 1/4 e dobbiamo determinare seno, coseno e tangente dell’angolo al vertice 𝛽
Sotto mostriamo la figura qualitativa
PROBLEMA CON I TRIANGOLI
Dai dati sappiamo che l’angolo alla base 𝛼 di un triangolo isoscele non può essere maggiore di 90 gradi, dunque avrà seno, coseno e tangente positivi.
Calcoliamo il seno di 𝛼 con la relazione fondamentale della goniometria
$$ \sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$$
Ora passiamo alla tangente di 𝛼 con la definizione seno/coseno
$$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}}=\sqrt{15}$$
Ora facciamo un piccolo ragionamento sull’angolo 𝛽 che è il supplementare di 2𝛼.
Ricordiamo infatti che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180 gradi, ovvero π
$$ 2\alpha+\beta=\pi\to\beta=\pi-2\alpha$$
Per le proprietà degli angoli associati abbiamo che:
$$ \begin{array}{l} \cos\beta=\cos(\pi-2\alpha)=-\cos^2\alpha\\ \sin\beta=\sin(\pi-2\alpha)=\sin2\alpha\\ \tan\beta=\tan(\pi-2\alpha)=-\tan2\alpha \end{array}$$
Applichiamo dunque le regole di duplicazione per calcolare seno, coseno e tangente di 2𝛼
$$ \begin{array}{l} \cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=2\cdot\frac{1}{16}-1=-\frac{7}{8}\\ \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{\sqrt{15}}{8}\\ \tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{2\cdot\sqrt{15}}{1-15}=-\frac{\sqrt{15}}{7} \end{array}$$
Da notare che avremmo potuto calcolare la tangente facendo semplicemente seno/coseno.
Adesso applichiamo questi risultati al ragionamento di prima
$$\begin{array}{l} \cos\beta=\cos(\pi-2\alpha)=-\cos2\alpha=\frac{7}{8}\\ \sin\beta=\sin(\pi-2\alpha)=\sin2\alpha=\frac{\sqrt{15}}{8}\\ \tan\beta=\tan(\pi-2\alpha)=-\tan2\alpha=\frac{\sqrt{15}}{7} \end{array}$$
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