Un capitolo veramente molto interessante della goniometria o trigonometria riguarda gli angoli associati o archi associati.
Grazie a questi angoli è possibile comparare i valori di funzioni goniometriche:
- Seno e coseno
- Tangente e cotangente
- Secante e cosecante
in funzione ad un angolo preso come riferimento.
INDICE
TIPOLOGIE DI ANGOLI ASSOCIATI
Preso a riferimento un certo angolo 𝛼 i corrispondenti angoli associati sono di tre tipi:
- Opposto di 𝛼, ovvero –𝛼
- Angoli che distano 𝜋 interi dispari (180 gradi)
- Angoli che distano 𝜋/2 (90 gradi)
ANGOLO OPPOSTO
In riferimento all’angolo opposto abbiamo che:
$$ \begin{array}{l} \sin(-\alpha)=-\sin\alpha & \cos(-\alpha)=\cos\alpha & \tan(-\alpha)=-\tan\alpha \\ \text{cot}(-\alpha)=-\text{cot}\alpha & \text{sec}(-\alpha)=\text{sec}\alpha & \text{cosec}(-\alpha)=-\text{cosec}\alpha \end{array}$$
NOTA BENE !!!
QUESTE FORMULE NON VANNO IMPARATE A MEMORIA !!!
Come vedremo in seguito sarà sufficiente osservare i grafici!!!!
ANGOLI ASSOCIATI CON IL PI-GRECO
In riferimento agli angoli associati che distano π interi dispari consideriamo i casi più importanti che sono
$$ \pi-\alpha \quad \pi+\alpha$$
In queste situazioni abbiamo che:
$$ \begin{array}{l|l} \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha & \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha \\ \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha & \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha \\ \tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha & \tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha \\ \text{cot}(\pi-\alpha)=-\text{cot}\alpha & \text{cot}(\pi+\alpha)=\text{cot}\alpha \\ \text{sec}(\pi-\alpha)=-\text{sec}\alpha & \text{sec}(\pi+\alpha)=-\text{sec}\alpha \\ \text{cosec}(\pi-\alpha)=\text{cosec}\alpha & \text{cosec}(\pi+\alpha)=-\text{cosec}\alpha \end{array}$$
Da notare che in tutte queste situazioni: il seno rimane seno, il coseno rimane coseno, la tangente rimane tangente e così via …
ANGOLI ASSOCIATI CON IL PI-GRECO MEZZI
Infine abbiamo le casistiche in cui il differimento dall’angolo 𝛼 avviene ad opera di angoli di π/2
$$ \frac{\pi}{2}-\alpha \quad \frac{\pi}{2}+\alpha \quad \frac{3}{2}\pi-\alpha \quad \frac{3}{2}\pi+\alpha $$
In riferimento ai primi due casi di angoli associati (i più importanti) π/2–𝛼 e π/2+𝛼abbiamo che
$$ \begin{array}{l|l} \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha \right)=\cos\alpha & \sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha \right)=\cos\alpha \\ \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha \right)=\sin\alpha & \cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha \right)=-\sin\alpha \\ \tan\left(\frac{\pi}{2}-\alpha \right)=\cot\alpha & \tan\left(\frac{\pi}{2}+\alpha \right)=-\cot\alpha \\ \text{cot}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha \right)=\text{tan}\alpha & \text{cot}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha \right)=-\text{tan}\alpha \\ \text{sec}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha \right)=\text{cosec}\alpha & \text{sec}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha \right)=-\text{cosec}\alpha \\ \text{cosec}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha \right)=\text{sec}\alpha & \text{cosec}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha \right)=\text{sec}\alpha \end{array}$$
RIBADIAMO ANCORA UN CONCETTO!!!
QUESTE FORMULE NON VANNO STUDIATE A MEMORIA!!!
Ma si osservano i rispettivi grafici.
Sicuramente la cosa che possiamo subito osservare è che: il seno diventa coseno, la tangente diventa cotangente e la secante diventa cosecante, e viceversa.
La seconda cosa da notare è che non cambia mai il segno.
Concludiamo con i casi che riguardano 3/2 π–𝛼 e 3/2 π+𝛼 abbiamo che
$$ \begin{array}{l|l} \sin\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha \right)=-\cos\alpha & \sin\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha \right)=-\cos\alpha \\ \cos\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha \right)=-\sin\alpha & \cos\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha \right)=\sin\alpha \\ \tan\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha \right)=\cot\alpha & \tan\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha \right)=-\cot\alpha \\ \text{cot}\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha \right)=\text{tan}\alpha & \text{cot}\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha \right)=-\text{tan}\alpha \\ \text{sec}\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha \right)=-\text{cosec}\alpha & \text{sec}\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha \right)=\text{cosec}\alpha \\ \text{cosec}\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha \right)=-\text{sec}\alpha & \text{cosec}\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha \right)=-\text{sec}\alpha \end{array}$$
Inutile divi ancora una volta:
QUESTE FORMULE NON VANNO STUDIATE A MEMORIA!!!
Ma si osservano i rispettivi grafici confrontando l’angolo 𝛼 con gli angoli associati.
SPIEGHIAMO LA LOGICA DELLE FORMULE DEGLI ANGOLI ASSOCIATI
Spero che siate arrivati fino a qui sani e salvi altrimenti capireste molto poco del marasma che c’è scritto sopra.
Partiamo dunque dall’inizio di tutto il ragionamento.
FISSIAMO UN ANGOLO DI RIFERIMENTO
In primo luogo fissiamo un angolo 𝛼 come nostro UNICO PUNTO DI RIFERIMENTO fisso ed immutabile che poi andiamo a confrentare con tutti gli angoli associati.
A tal fino ci conviene prendere un angolo con le seguenti caratteristiche:
- Positivo (nel primo quadrante)
- Minore di 45 gradi (non eccessivamente piccolo
Consiglio vivamente un angolo di circa 30-35 gradi.
Di questo angolo fissiamo subito visivamente i valori del seno, del coseno e della tangente.
Avendo preso l’angolo 𝛼 di riferimento nel primo quadrante minore di 45 gradi e non troppo piccolo ci da due forti vantaggi:
- Seno, coseno e tangente sono tutti positivi
- Percepiamo la differenza tra il seno e il coseno
Queste informazioni risulteranno preziosissime quando andremo a fare il confronto con gli angoli associati.
ANGOLO OPPOSTO
Andiamo ora a disegnare l’angolo opposto –𝛼 che risulta parallelo rispetto all’asse orizzontale (asse x).
Lo replichiamo tre volte per fare vedere i ragionamenti del seno del coseno e della tangente. (figura sotto)
Nella figura notiamo subito che:
Il seno resta seno ma cambia di segno.
Il coseno resta coseno e non cambia di segno
La tangente resta tangente e cambia di segno
Il ragionamento della tangente può essere ricondotto al seno a e al coseno.
Dopo tutto ricordiamo che la tangente è il rapporto tra il seno e il coseno
$$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$
Dunque stante di fatto che il seno cambia il segno e il coseno non cambia il loro rapporto cambia certamente.
Cosa possiamo dire riguardo a secante, cosecante e cotangente?
Ricondiamo le definizioni di questi tre oggetti goniometrici:
$$ \text{cosec}\alpha=\frac{1}{\sin\alpha} \quad \text{sec}\alpha=\frac{1}{\cos\alpha} \quad \text{cot}\alpha=\frac{1}{\tan\alpha}$$
Dunque dalle relazioni precedenti possiamo capire immediatamente che questi oggetti rimangono immutati.
Riguardo ai segni possiamo affermare che:
$$ \begin{array}{l} \sin(-\alpha)=-\sin\alpha &\to& \text{cosec}(-\alpha)=-\text{cosec}\alpha \\ \cos(-\alpha)=\cos\alpha &\to& \text{sec}(-\alpha)=\text{sec}\alpha \\ \tan(-\alpha)=-\tan\alpha &\to& \text{cot}(-\alpha)=-\text{cot}\alpha \end{array}$$
Ovviamente esiste anche un modo di visualizzarli graficamente, ma per ora non mettiamo troppa carne al fuoco.
ANGOLI ASSOCIATI CON IL PI-GRECO
Consideriamo ora gli angoli associati che distano pi-greco da 𝛼 dunque gli angoli
$$ \pi+\alpha \quad \pi-\alpha $$
CASO π–𝛼
Partiamo dal primo caso che replichiamo tre volte per fare vedere i ragionamenti del seno del coseno e della tangente. (figura sotto)
Nella figura notiamo subito che:
Il seno resta seno e non cambia di segno.
Il coseno resta coseno e cambia di segno
La tangente resta tangente e cambia di segno
Il ragionamento della tangente può essere ricondotto al seno a e al coseno.
Dopo tutto ricordiamo che la tangente è il rapporto tra il seno e il coseno
$$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$
Dunque stante di fatto che il seno cambia il segno e il coseno non cambia il loro rapporto cambia certamente.
Cosa possiamo dire riguardo a secante, cosecante e cotangente?
Ricondiamo le definizioni di questi tre oggetti goniometrici:
$$ \text{cosec}\alpha=\frac{1}{\sin\alpha} \quad \text{sec}\alpha=\frac{1}{\cos\alpha} \quad \text{cot}\alpha=\frac{1}{\tan\alpha}$$
Dunque dalle relazioni precedenti possiamo capire immediatamente che questi oggetti rimangono immutati.
Riguardo ai segni possiamo affermare che:
$$ \begin{array}{l} \sin(\pi-\alpha)=-\sin\alpha &\to& \text{cosec}(\pi-\alpha)=-\text{cosec}\alpha \\ \cos(\pi-\alpha)=\cos\alpha &\to& \text{sec}(\pi-\alpha)=\text{sec}\alpha \\ \tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha &\to& \text{cot}(\pi-\alpha)=-\text{cot}\alpha \end{array}$$
Ovviamente esiste anche un modo di visualizzarli graficamente, ma per ora non mettiamo troppa carne al fuoco.
CASO π+𝛼
Adesso che abbiamo capito la logica di sottofondo non dovremo avere grosse difficoltà ad analizzare il caso π+𝛼
Nella figura notiamo subito che:
Il seno resta seno e cambia di segno.
Il coseno resta coseno e cambia di segno
La tangente resta tangente e non cambia di segno
Il ragionamento della tangente può essere ricondotto al seno a e al coseno ed esteso di conseguenza secante, cosecante e cotangente:
$$ \begin{array}{l} \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha &\to& \text{cosec}(\pi+\alpha)=-\text{cosec}\alpha \\ \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha &\to& \text{sec}(\pi+\alpha)=-\text{sec}\alpha \\ \tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha &\to& \text{cot}(\pi+\alpha)=\text{cot}\alpha \end{array}$$
Ovviamente esiste anche un modo di visualizzarli graficamente, ma per ora non mettiamo troppa carne al fuoco.
IMPARA LA TRIGONOMETRIA!
Impara la trigonometria con un percorso strutturato e facile da seguire passo a passo.
Un viaggio che parte dai concetti elementari (seno, coseno e tangente) , passando per le formule di trasformazione degli angoli, le equazioni e le disequazioni goniometriche, fino ai teoremi e problemi sui triangoli.
ANGOLI ASSOCIATI CON I PI-RECO MEZZI
Consideriamo ora gli angoli associati con i pi-greco mezzi da 𝛼 dunque gli angoli
$$ \frac{\pi}{2}-\alpha \quad \frac{\pi}{2}+\alpha $$
CASO π/2–𝛼
Partiamo dal primo caso che replichiamo tre volte per fare vedere i ragionamenti del seno del coseno e della tangente. (figura sotto)
Nella figura notiamo subito che:
Il seno diventa coseno
Il coseno diventa seno
La tangente diventa cotangente
Questi oggetti goniometrici non cambiano il loro segno
Per quanto riguarda secante, cosecante e cotangente?
$$ \text{cosec}\alpha=\frac{1}{\sin\alpha} \quad \text{sec}\alpha=\frac{1}{\cos\alpha} \quad \text{cot}\alpha=\frac{1}{\tan\alpha}$$
La secante diventa cosecante e viceversa mentre la cotangente diventa tangente
$$ \begin{array}{l} \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha &\to& \text{cosec}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right))=\text{sec}\alpha \\ \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha &\to& \text{sec}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\text{cosec}\alpha \\ \tan\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cot\alpha &\to& \text{cot}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\text{tan}\alpha \end{array}$$
Ovviamente esiste anche un modo di visualizzarli graficamente, ma per ora non mettiamo troppa carne al fuoco.
CASO π/2+𝛼
Proseguiamo poi co il secondo caso: gli angoli associati del tipo π/2+𝛼
Nella figura notiamo subito che:
Il seno diventa coseno e non cambia di segno
Il coseno diventa seno e cambia di segno
La tangente diventa cotangente e cambia di segno
Per quanto riguarda secante, cosecante e cotangente?
La secante diventa cosecante e viceversa mentre la cotangente diventa tangente
$$ \begin{array}{l} \sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha &\to& \text{cosec}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right))=\text{sec}\alpha \\ \cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha &\to& \text{sec}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\text{cosec}\alpha \\ \tan\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\cot\alpha &\to& \text{cot}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\text{tan}\alpha \end{array}$$
Ovviamente esiste anche un modo di visualizzarli graficamente, ma per ora non mettiamo troppa carne al fuoco.
I CASI 3/2π–𝛼 E 3/2π+𝛼
Possiamo fare analoghi ragionamenti con i casi per gli angoli associati del tipo 3/2π–𝛼 e 3/2π+𝛼.
Sotto riportiamo i grafici di seno, coseno e tangente
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