La scala degli infiniti è uno strumento che viene utilizzato in matematica che serve a distinguere ed ordinare diverse tipologie di infiniti.
Tale strumento è utilizzato nell’ambito dei limiti, in particolare per risolvere forme indeterminate che riguardano gli infiniti.
Tra le forme indeterminate interessate ricordiamo:
IL CONCETTO DI INFINITO NELLA STORIA DELL’UOMO
Il concetto di infinito ha accompagnato l’uomo si dalla nascita delle civiltà antiche.
Quando l’uomo ha cominciato a prendere coscienza dell’enorme realtà che si trovava attorno a lui.
Probabilmente questo concetto ha cominciato ad insinuarsi nei primi individui quando hanno cominciato a domandarsi che cosa ci fosse oltre la volta celeste.
La scoperta del senso dell’universo avrebbe dato all’uomo la sensazione di poter raggiungere l’eternità e scoprire il senso della vita.
I primi studi di natura astronomica che sono stati accertati nascono in Mesopotamia con i Babilonesi attorno al 2000 a.C..
Questi studi avevano permesso di costruire un calendario di 360 giorni molto simile al nostro attuale, e aveva portato alla creazione del sistema sessagesimale.
Molto spesso questi studi si fondevano con credenze astronomiche e religiose.
Ad esempio per gli antichi egiziani i pianeti di Giove, Saturno e Marte erano la rappresentazione del Dio Horus, il Dio della caccia.
Mentre la costellazione che oggi chiamiamo con Orione era il padre Osiride.
Studi astronomici, astrologici e religiosi si incontravano nel concetto di infinito, di perfezione ed eternità.
Un altro modo di pensare all’infinito è quello di pensare ad un lungo viaggio.
Oltre le pianure, oltre le colline, oltre il deserto e oltre il mare.
Se pensiamo ad esempio al viaggio intrapreso da Marco Polo tra il 1271 e il 1295 alla scoperta della Cina, descritto nel Milione, possiamo averne un assaggio.
Partire con una meta certa senza sapere cosa incontrare, senza sapere se tornare è paragonabile ad un viaggio dell’anima verso il raggiungimento dell’eterno.
IL CONCETTO DI INFINITO NELLA CULTURA MATEMATICA
Uno dei primi concetti di infinito nella nostra storia matematica occidentale nasce nell’antica Grecia ad opera di Pitagora di Samo (580 a.C. – 504 a.C.).
Pitagora credeva che tuta la realtà potesse essere descritta attraverso i numeri naturali e i loro rapporto (frazioni).
I numeri naturali partono da zero ma non hanno una fine, quindi sono infiniti.
E questi numeri sono in grado di generare un’infinità di rapporti (frazioni) ancora più grande.
Pensiamo ad esempio che una singola unità può essere suddivisa in due, tre quattro volte e così via.
Tra lo zero e l’uno troviamo frazioni come:
Questo concetto viene maggiormente alla luce grazie ad un altro matematico greco, Zenone di Elea (489 a.C. – 431 a.C.).
Il famoso paradosso di Zenone riguarda un’ipotetica gara di corsa tra Achille e una tartaruga.
Il paradosso afferma che se la tartaruga partisse con qualche metro di vantaggio su Achille quest’ultimo non riuscirebbe mai a raggiungerla.
A questo sembra l’infinito inteso come concetto moderno è nato in India.
Nel 628 d.C. il matematico indiano Brahamagupta (590-668) introdusse per la prima volta nella storia della matematica il simbolo dello zero.
Grazie ad ingegnosi ragionamenti arrivò alla conclusione che la divisione di un numero per zero conduceva al concetto di infinito.
In questo modo abbiamo la prima e vera propria unione del mondo degli infiniti (∞) e quello degli infinitesimi (0).
Vedi anche forme determinate e forme indeterminate.
L’INFINITO APPLICATO ALLO STUDIO DI FUNZIONI
Dal 1600 e in poi gli studi dei limiti sono stati sempre di più incorporati nello studio delle funzioni come le intendiamo oggi.
Grazie ai contributi di Newton (1642-1726) e Leibnitz (1646-1716) la loro applicazione ha dato vita a concetti come derivate ed integrali.
Oggi vogliamo analizzare la scala degli infiniti riferita ad alcune delle funzioni più studiate nella matematica moderna:
- Potenza
- Esponenziale
- logaritmica
SCALA DEGLI INFINITI NELLA FUNZIONE POTENZA
La funzione potenza è una funzione che si presenta nella forma generica:
Nei nostri esempi prendiamo in considerazione le funzioni potenza che presentano esponenti positivi.
La più elementare funzione potenza che possiamo trovare è quella associata ad un esponente pari a 1.
Si tratta della bisettrice del primo e del terzo quadrante.
È noto che si tratta di una retta che passa per l’origine ed ha un coefficiente angolare pari a 1.
Quando la x tende all’infinito anche il valore di y tende chiaramente ad infinito.
Se andiamo a rappresentare graficamente la bisettrice del primo e del terzo quadrante notiamo che ogni volta che la x aumenta di una unità anche la y aumenta di una unità.
Grafico: la bisettrice del primo e del terzo quadrante
Per una corretta interpretazione grafica dei limiti vi consiglio di leggere l’articolo analisi grafica dei limiti.
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Se andiamo a considerare altre due funzioni potenza come il quadrato e il cubo:
Anche per queste due funzione vale la relazione per cui se x tende all’infinito anche il valore delle funzioni tende ad infinito.
Tuttavia la loro velocità al tendere all’infinito è maggiore rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
Come possiamo osservare dal grafico per i valori della x maggiori di 1 queste due funzioni si trovano sempre al di sopra della retta passante per l’origine.
Grafico: funzioni potenza a confronto
In queste due funzioni, per valori delle ascisse maggiori di 1,il rapporto incrementale aumenta in maniera più che proporzionale.
Ovvero un incremento unitario della x determina un incremento più che proporzione della y.
Ad esempio nel passaggio della x da 2 a 3, il valore del quadrato passa da 4 a 9, quindi aumenta di ben 5 unità.
Nel cubo la situazione è ancora più evidente poiché abbiamo un passaggio dal valore 8 (cubo di 2) al valore 27 (cubo di 3).
La funzione:
sembra quindi essere la prima delle tre a raggiungere l’infinito, seguita dalla funzione:
In terza posizione troviamo la retta:
Quindi per adesso abbiamo costruito la nostra prima scala degli infiniti relativa alle funzioni potenza che ci dice che:
Andiamo ora ad affiancare a queste prime funzioni potenza le funzioni radice quadrata e radice cubica.
È chiaramente verificabile che quando la x tende all’infinito anche queste due radici tendono all’infinito.
Per queste due funzioni tuttavia il rapporto incrementale aumenta in maniera decrescente al crescere della x.
Ovvero ogni incremento di una unità delle x determina un aumento meno che proporzionale delle y.
Quindi l’infinito generato da queste funzioni è “meno forte” rispetto all’infinito generato della bisettrice del primo e terzo quadrante.
Come possiamo notare dal grafico:
La funzione radice quadrata e radice cubica, per i valori della x superiori ad 1, stanno sempre al di sotto della retta passante per l’origine.
Ricapitolando possiamo ampliare la scala degli infiniti riferita alle funzioni potenza.
E possiamo affermare che:
L’infinito generato da una potenza sembra dunque essere collegato al valore dell’esponente della potenza.
In generale possiamo concludere che quando ci troviamo di fronte ad una funzione potenza del tipo:
Maggiore è l’esponente alfa più forte è l’infinito generato dalla funzione.
Dunque possiamo anche dire che la funzione tende più velocemente all’infinito.
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SCALA DEGLI INFINITI CON LE FUNZIONI ESPONENZIALI
È possibile fare un ragionamento analogo fatto fin qui per le funzioni potenza per costruire una scala degli infiniti per le funzioni esponenziali.
Una funzione esponenziale si presenta nella forma generica:
Al fine di analizzare gli infiniti risulta conveniente considerare come base della funzione esponenziale valori maggiori di 1.
In questo modo la funzione esponenziale risulterà crescente.
Prendiamo in considerazioni le seguenti quattro equazioni esponenziali con queste caratteristiche:
Andiamo ora a rappresentare graficamente queste funzioni per capirne le caratteristiche:
Grafico: scala degli infiniti con funzioni esponenziali
Come possiamo notare il limite di tutte queste funzioni esponenziali va ad infinito quando l’esponente x tende all’infinito.
Ma notiamo anche che le funzioni che presentano una base maggiore tendono più velocemente verso questo traguardo.
Notiamo infatti considerando la funzione
Che ogni volta che l’esponente x aumenta di una unità il valore della funzione si raddoppia.
Ad esempio quando la x passa dal 2 al 3, la funzione passa da 4 a 8.
Mentre se prendiamo in esame la funzione:
Per ogni aumento unitario dell’esponente il valore della funzione si triplica.
Ad esempio sempre quando l’esponente x passa da 2 a 3, il valore della funzione passa da 9 a 27.
Lo stesso accade per le altre due funzioni.
Ovvero ogni volta che la x aumenta di una unità il valore della y si moltiplica per la base.
Ragionando in termini di infinito possiamo dunque dire che:
Abbiamo costruito in questo modo la nostra prima scala degli infiniti riferita a funzioni esponenziali.
In generale possiamo affermare che:
SCALA DEGLI INFINITI CON FUNZIONI LOGARITMICHE
La terza grande categoria di funzioni su cui vogliamo costruire una scala degli infiniti è quella logaritmica.
Una funzione logaritmica si presenta nella sua forma generale come:
Per lo stesso ragionamento visto per le funzioni esponenziali ci è più comodo considerare solamente le funzioni logaritmiche che presentano una base maggiore di 1.
In questo modo abbiamo delle funzioni crescenti.
Prendiamo come esempio le seguenti quattro funzioni logaritmiche:
Il limite per l’argomento x che tende ad infinito di queste funzioni vale infinito.
Il che significa che quando l’argomento diventa molto grande succede la stessa cosa per il logaritmo.
Se proviamo a visualizzare la situazione dal punto di vista grafico:
Possiamo notare che il logaritmo tende più velocemente verso l’infinito quando la base è più piccola.
In termini di infiniti possiamo dunque costruire la nostra prima scala degli infiniti per il logaritmi nel seguente modo:
Possiamo generalizzare questo concetto così:
POTENZA, LOGARITMO ED ESPONENZIALE A CONFRONTO
Abbiamo visto separatamente la scala degli infiniti relativa funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche.
Andiamo ora a mettere insieme questi tasselli del puzzle per costruire una scala degli infiniti più ampia.
Consideriamo congiuntamente questi tre tipi di funzione analizzati:
Andiamo a rappresentarle nel piano cartesiano come dei fasci di funzione:
Come si può notare dal grafico funzioni esponenziali stanno sempre al di sopra (per valori molto alti) rispetto agli altri tipi di funzioni.
Per questo il loro infinito è il più forte.
Queste sono seguite in seconda battuta dal fascio delle funzioni potenze.
Mentre sul podio nella terza posizione troviamo gli infiniti logaritmici.
Ricapitolando possiamo affermare che:
HAI QUALCHE DOMANDA
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