IL TEOREMA DEI SENI

Il teorema dei seni in trigonometria afferma che in ogni triangolo è costante il rapporto tra un lato ed il seno dell’angolo opposto.

Consideriamo dunque un triangolo di lati a,b,c di e di angoli relativamente opposti 𝛼, 𝛽, 𝛾

Possiamo dunque affermare che:

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}$$

Mostriamolo meglio con una figura.

DIMOSTRARE IL TEOREMA DEI SENI

Vogliamo ora dimostrare il teorema dei seni attraverso dei semplici step

1 – INSCRIVIAMO IL TRIANGOLO IN UNA CIRCONFERENZA

Il primo passo da fare è inscrivere il nostro triangolo all’interno di una circonferenza come mostriamo sotto.

Procedura equivalente è quella di rappresentare la circonferenza circoscritta al triangolo.

Se siamo nati un po’ mal fidenti sul fatto che esista una sola circonferenza e ci stiamo chiedendo quale delle tante circonferenze devo scegliere, sappiate una cosa molto interessante che ci viene sin dai tempi di Pitagora.

Per un teorema della geometria euclidea per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza.

In particolare il centro di questa circonferenza cade nel punto di intersezione degli assi dei tre segmenti.

2 – CONSIDERIAMO UN LATO E GLI ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA

Il secondo passo da fare è fissare un lato come punto di riferimento, ad esempio il lato a.

Rispetto a questo lato possiamo tracciare infiniti angoli alla circonferenza.

Tutti questi angoli sono congruenti tra di loro e la loro congruenza è ancora una volta garantita da una specifica dimostrazione

3 – ISOLIAMO IL TRIANGOLO RETTANGOLO

All’interno di questi infiniti triangoli che si formano concentriamo l’attenzione su un triangolo in particolare.

Ci riferiamo al triangolo  in cui uno dei lati passa per il centro, dunque è diametro della circonferenza.

È possibile affermare che si tratta di un triangolo rettangolo.

Esiste infatti un teorema della geometria euclidea che dimostra che ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo.

Grazie a questa affermazione il lato a del triangolo originario diventa un cateto di questo triangolo rettangolo, mentre il diametro è l’ipotenusa

Per una definizione fondamentale della trigonometria possiamo calcolare il cateto a come il prodotto tra l’ipotenusa (diametro o doppio del raggio) e il seno del suo angolo opposto 𝛼.

$$a=2r\ \sin\alpha$$

A questo punto invertendo la formula il diametro (2r) è il rapporto tra il lato a e il seno di 𝛼

$$2r=\frac{a}{\sin\alpha}$$

4 – RIPETIAMO IL RAGIONAMENTO SUGLI ALTRI LATI

Ritorniamo ora al triangolo di origine co lati a, b, c e di relativi angoli opposti 𝛼, 𝛽, 𝛾.

Possiamo ripetere lo stesso ragionamento che abbiamo seguito per il lato a anche per il lati b e c.

Dunque possiamo calcolare  lo stesso diametro della circonferenza circoscritta in questi seguenti tre modi.

$$2r=\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}$$

5 – CONCLUSIONE: TEOREMA DEI SENI

La conclusione logica arriva in maniera fluida alla formulazione del teorema dei seni.

Infatti se eguagliamo il valore dei tre diametri per la proprietà transitiva possiamo concludere facilmente che

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}$$

Ovvero che il rapporto tra ogni lato e il seno dell’angolo opposto rimane costante in ogni triangolo.

Tale rapporto risulta pari al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo stesso.

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}(=2r)$$

ESEMPI DI APPLICAZIONE DEL TEOREMA DEI SENI

Vediamo qualche esempio pratico dove andiamo ad applicare il teorema dei seni per risolvere un triangolo.

Con l’espressione risolvere un triangolo significa esplicitarne tutti gli elementi (lati e angoli) a partire da alcuni di questi elementi.

ESERCIZIO 1 – TEOREMA DEI SENI

Dato un triangolo di cui conosciamo due lati a, b, c e di angoli opposti 𝛼, 𝛽, 𝛾 conosciamo i seguenti dati

$$a=12\quad b=15\quad \alpha=30^o$$

Calcolare i restanti elementi

SVOLGIMENTO 

Per risolvere questo esercizio vediamo due possibili modi.

MODO 1 – GREZZO

Il primo modo per risolverela prima parte del problema possiamo considerarlo il più grezzo.

Dalla relazione generale che ci viene dal teorema dei seni 

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}$$

Isoliamo la prima equazione

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}$$

Dalla quale possiamo ricavare che 

$$\sin\beta=\frac{b}{a}\sin\alpha$$

Per quanto riguarda l’angolo 𝛼 è un angolo noto 30^o ovvero π/6 e dunque sappiamo il valore di seno e coseno

$$\sin\alpha=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\qquad \cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Inseriamo ora i dai noti per ricavare il seno dell’angolo ignoto 𝛽

$$\sin\beta=\frac{15}{12}\sin30^o=\frac{15}{12}\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{8}$$

Applicando la funzione inversa del seno (sin^-1 detta anche arcoseno) possiamo ricavare il valore di 𝛽

$$\beta=\sin^{-1}\frac{5}{8}\approx38,68^o$$

Ora che conosciamo gli angoli 𝛼 e 𝛽 possiamo ricavare il loro angolo supplementare 𝛾

$$\gamma=180^o-(\alpha+\beta)\approx180^o-(30^o+38,68^o)=111,32^o$$

Possiamo dunque calcolare il seno ad esso associato 

$$\sin\gamma=\sin111,32^o\approx0,9315$$

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ESERCIZIO 1 – MODO 2 – ELEGANTE

Un secondo modo certamente più elegante di risolvere la prima parte  problema è più ingegnoso è sfrutta due elementi esseziale della trigonometria:

• Relazione fondamentale
• Archi associati
• Formule di addizione

Il primo punto è sempre quello di calcolare il valore del seno di 𝛽 e il valore corrispondente dell’angolo 𝛽

$$\sin\beta=\frac{5}{8}\to\beta=\sin^{-1}\frac{5}{8}\approx38,68^o$$

A questo punto sappiamo che l’angolo 𝛾 è il supplementare della somma (𝛼+𝛽)

Ricordiamo infatti che la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a 180^oovvero π espresso in radianti.

$$\alpha+\beta+\gamma=\pi\quad\to\quad\gamma=\pi-(\alpha+\beta)$$

Ricordiamo che per le relazioni degli angoli associati il seno di un angolo è pari al seno del suo angolo supplementare dunque nel caso specifico

$$\sin\gamma=\sin\left(\pi-(\alpha+\beta)\right)=\sin(\alpha+\beta)$$

Possiamo meglio apprezzare questa relazione con la seguente figura

Ricordiamo inoltre che per la formula di addizione del seno

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha$$

All’interno di questa formula conosciamo certamente il seno di 𝛽 che abbiamo ricavato precedentemente

$$\sin\beta=\frac{5}{8}$$

Possiamo facilmente trovare il coseno di 𝛽 grazie alla relazione fondamentale della goniometria.

$$\cos\beta=\sqrt{1-\sin^2\beta}=\sqrt{1-\frac{25}{64}}=\frac{\sqrt{39}}{8}$$

Mentre per quanto riguarda l’angolo 𝛼 è un angolo noto 30^o ovvero π/6 e dunque sappiamo il valore di seno e coseno

$$\sin\alpha=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\qquad\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Inseriamo dunque tutti i dati per trovare il seno di (𝛼+𝛽) che corrisponde esattamente al seno di 𝛾

$$\begin{aligned}&\sin(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{39}}{8}+\frac{5}{8}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\\&\sin\gamma=\frac{\sqrt{39}+5\sqrt{3}}{16}\approx0,9315\end{aligned}$$

Ora possiamo sfruttare nuovamente il teorema dei seni per ricavare il lato mancante c

Dalla relazione dei seni con i lati

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}$$

Isoliamo il primo e l’ultimo termine dell’equazione con tre termini

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin\gamma}$$

Isoliamo il lato c

$$c=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}a$$

Ed infine inseriamo i dati che abbiamo ricavato precedentemente per ricavarne il valore

$$c=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}a=\frac{0,9315}{0,5}\cdot12=22,36$$

ESERCIZIO 2 – TEOREMA DEI SENI

Dato un triangolo di cui conosciamo due lati a, b, c e di angoli opposti 𝛼, 𝛽, 𝛾 conosciamo i seguenti dati

$$a=12\qquad\alpha=40^o\qquad\gamma=60^o$$

Calcolare i restanti elementi

SVOLGIMENTO

Dal momento che conosciamo due angoli su tre possiamo facilmente ricavare il terzo angolo 𝛽 sfruttando la supplementare degli angoli interni di un triangolo

$$\beta=180^o-(\alpha+\gamma)=180^o-(50^o+60^o)70^o$$

A questo punto sfruttiamo il teorema dei seni per ricavare i lati mancanti a e b

$$\begin{aligned}&\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}\\&\frac{10}{\sin50^o}=\frac{b}{\sin70^o}=\frac{c}{\sin60^o}\end{aligned}$$

Isolando il primo e il secondo membro dell’equazione

$$\frac{10}{\sin50^o}=\frac{b}{\sin70^o}$$

Ricaviamo facilmente il valore del lato b

$$b=10\cdot\frac{\sin70^o}{\sin50^o}=12,267$$

In modo analogo isoliamo il primo ed il terzo termine per ricavare il lato c

$$\frac{10}{\sin50^o}=\frac{c}{\sin60^o}\to c=10\cdot\frac{\sin60^o}{\sin50^o}=11,305$$

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