EQUAZIONI OMOGENEE IN SENO E COSENO

Le equazioni omogenee in seno e coseno sono equazioni dove rimane costante  il grado complessivo di seno e di coseno.

Ad esempio le equazioni omogenee di primo grado si presentano nella forma:

$$a\sin x+b\cos x=0$$

Quelle omogenee di secondo grado si presentano come:

$$a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0$$

Mentre quelle omogenee di terzo grado sono:

$$a\sin^3x+b\sin^2x\cos x+c\sin x\cos^2x+d\cos^3x=0$$

E così via.

RISOLVERE UN’EQUAZIONE OMOGENEA IN SENO E COSENO

Per risolvere un’equazione omogenea in seno e coseno riconduciamo questa ad una equazione di medesimo grado in tangente.

Possiamo ottenere questa dividiamo ogni termine dell’equazione per il coseno elevato al grado dell’equazione omogenea stessa.

In questo modo otteniamo un’equazione rispetto al quel grado con incognita tangente di x

EQUAZIONE OMOGENEA DI PRIMO GRADO

Consideriamo un’equazione omogenea in seno e coseno di primo grado 

$$a\sin x+\cos x=0$$

Dividiamo tutto per il coseno di x

$$a\frac{\sin x}{\cos x}+b\frac{\cos x}{\cos x}=0$$

Otteniamo dunque un’equazione equivalente in tangente di primo grado

$$a\tan x+b=0$$

EQUAZIONE OMOGENEA DI SECONDO GRADO

Se abbiamo un’equazione omogenea di secondo grado nella forma

$$a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0$$

Dividiamo per il coseno al quadrato

$$a\frac{\sin^2x}{\cos^2x}+b\frac{\sin x\cos x}{\cos^2x}+c\frac{\cos^2x}{\cos^2x}=0$$

Otteniamo in questo modo una equivalente equazione in tangente di secondo grado

$$a\tan^2x+b\tan x+c=0$$

EQUAZIONE OMOGENEA DI TERZO GRADO

In modo analogo se ci troviamo ad operare con una equazione omogenea di terzo grado 

$$a\sin^3x+b\sin^2x\cos x+c\sin x\cos^2x+d\cos^3x=0$$

Basta che dividiamo ogni termine per il cubo del coseno di x

$$a\frac{\sin^3x}{\cos^3x}+b\frac{\sin^2 x\cos x}{\cos^3x}+c\frac{\sin x\cos^2x}{\cos^3x}+d\frac{\cos^3x}{\cos^3x}=0$$

 ottenendo una equivalente equazione di terzo grado in tangente

$$a\tan^3x+b\tan^2x+c\tan x+d=0$$

Per tutti gli altri gradi funziona nel medesimo modo.

ESEMPI DI EQUAZIONI OMOGENEE IN SENO E COSENO

Vediamo ora qualche esempio per le equazioni omogenee in seno e coseno, partendo dai gradi minori

EQUAZIONI OMOGENEE DI PRIMO GRADO – ESEMPI

ESEMPIO 1 – E.O. PRIMO GRADO

Consideriamo la seguente equazione

$$\sin x-\cos x=0$$

Dividiamo tutto per il coseno di x

$$\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\cos x}{\cos x}=0$$

Otteniamo un’equazione di primo grado rispetto alla tangente

$$\tan x-1=0\quad\to\quad\tan x=1$$

Da cui ricaviamo gli angoli soluzione

$$x=\frac{\pi}{4}+k\pi$$

Se esprimiamo il risultato in gradi otteniamo

$$x=45^o+k\ 180^o$$

ESEMPIO 2 – E.O. PRIMO GRADO

Consideriamo la seguente equazione

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x=0$$

Dividiamo tutto per il coseno di x

$$\sqrt{3}\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\cos x}=0$$

Otteniamo un’equazione di primo grado rispetto alla tangente

$$\sqrt{3}\tan x+1=0\to\tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\to\tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Da cui ricaviamo gli angoli soluzione

$$x=-\frac{\pi}{6}+k\pi$$

Se esprimiamo il risultato in gradi otteniamo

$$x=-30^o+k\ 180^o$$

ESEMPIO 3 – E.O. PRIMO GRADO

Consideriamo la seguente equazione

$$3\sin x-5\cos x=0$$

Dividiamo tutto per il coseno di x

$$3\frac{\sin x}{\cos x}-5\frac{\cos x}{\cos x}=0$$

Otteniamo un’equazione di primo grado rispetto alla tangente

$$3\tan x-5=0\quad\to\quad\tan x=\frac{5}{3}$$

Da cui ricaviamo gli angoli soluzione

$$x=\tan^{-1}\frac{5}{3}+k\pi$$

Se esprimiamo il risultato in gradi otteniamo

$$x\approx59,04^o+k\ 180^o$$

EQUAZIONI OMOGENEE DI SECONDO GRADO – ESEMPI

ESEMPIO 1 – E.O. SECONDO GRADO

Consideriamo la seguente equazione

$$\sin^2x-\sqrt{3}\sin x\cos x=0$$

Dividiamo tutto per il coseno al quadrato di x

$$\frac{\sin^2x}{\cos^2x}-\sqrt{3}\frac{\sin x\cos x}{\cos^2x}=0$$

Otteniamo un’equazione di secondo grado rispetto alla tangente

$$\tan^2x-\sqrt{3}\tan x=0$$

Raccogliamo a fattor comune la tangente di x

$$\tan x\left(\tan x-\sqrt{3}\right)=0$$

Applichiamo la legge di annullamento del prodotto da cui ricaviamo i valori delle tangenti e delle rispettive soluzioni di x

$$\begin{aligned}&\tan x=0\quad\to\quad x=k\pi\\&\tan x=\sqrt{3}\quad\to\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi\end{aligned}$$

Rappresentiamo le soluzioni

ESEMPIO 2 – E.O. SECONDO GRADO

Consideriamo la seguente equazione

$$\sin^2x+2\sin x\cos x-\cos^2x=0$$

Dividiamo tutto per il coseno al quadrato di x

$$\frac{\sin^2x}{\cos^2x}+2\frac{\sin x\cos x}{\cos^2x}-\frac{\cos^2x}{\cos^2x}=0$$

Otteniamo un’equazione di secondo grado rispetto alla tangente

$$\tan^2x+2\tan x-1=0$$

Calcoliamo il delta quarti delle equazioni di secondo per vedere se vi sono soluzioni  reali

$$\frac{\Delta}{4}=1+1=2$$

Siccome il delta quarti è positivo l’equazione ammette soluzioni reali dunque  applichiamo la formula risolutiva ridotta per calcolare i valori delle tangenti

$$\tan x=-1\pm\sqrt{2}$$

Dai valori delle tangenti ricaviamo i rispettivi angoli soluzione:

$$\begin{array}{l}\tan x=\sqrt{2}-1&\to&x=\tan^{-1}x\left(\sqrt{2}-1\right)+k\pi&=&\frac{\pi}{8}+k\pi\\ \tan x=-\sqrt{2}-1&\to&x=\tan^{-1}x\left(-\sqrt{2}-1\right)+k\pi&=&-\frac{3}{8}\pi+k\pi\end{array}$$

Siccome tutti gli angoli distano tra di loro di π/2 scriviamo la soluzione in modo unico come segue

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{k}{2}\pi$$

ESEMPIO 3 – E.O. SECONDO GRADO

Consideriamo la seguente equazione

$$4\sin^2x-\sin x\cos x+3=0$$

Scritta in questo modo l’equazione non risulta omogenea.

Sfruttiamo pertanto la relazione fondamentale della goniometria

$$\sin^2x+\cos^2x=1$$

 per renderla tale.

Lavoriamo dunque sull’ultimo termine dell’equazione:

$$4\sin^2x-\sin x\cos x+3(\sin^2x+\cos^2x)=0$$

Facciamo qualche conto per riscrivere meglio l’equazione

$$4\sin^2x-\sin x\cos x+3\sin^2x+3\cos^2x=0\\ \ \\ 7\sin^2x-\sin x\cos x+3\cos^2x=0$$

Dividiamo tutto per il coseno al quadrato di x

$$7\frac{\sin^2x}{\cos^2x}-\frac{\sin x\cos x}{\cos^2x}+3\frac{\cos^2x}{\cos^2x}=0$$

Otteniamo un’equazione di secondo grado rispetto alla tangente

$$7\tan^2x-\tan x+3=0$$

Calcoliamo il delta delle equazioni di secondo per vedere se vi sono soluzioni reali

$$\Delta=1-4\cdot7\cdot3=-83$$

Siccome il delta è negativo l’equazione non ammette soluzioni reali dunque è impossibile!

ESEMPIO 4 – E.O. SECONDO GRADO

Consideriamo la seguente equazione

$$3\sin^2x-\sin x\cos x-2=0$$

Scritta in questo modo l’equazione non risulta omogenea.

Sfruttiamo pertanto la relazione fondamentale della goniometria

$$\sin^2x+\cos^2x=1$$

 per renderla tale.

Lavoriamo dunque sull’ultimo termine dell’equazione:

$$3\sin^2x-\sin x\cos x-2(\sin^2x+\cos^2x)=0$$

Facciamo qualche conto per riscrivere meglio l’equazione

$$3\sin^2x-\sin x\cos x-2\sin^2x-2\cos^2x=0\\ \ \\ \sin^2x-\sin x\cos x-2\cos^2x=0$$

Dividiamo tutto per il coseno al quadrato di x

$$\frac{\sin^2x}{\cos^2x}-\frac{\sin x\cos x}{\cos^2x}-2\frac{\cos^2x}{\cos^2x}=0$$

Otteniamo un’equazione di secondo grado rispetto alla tangente

$$\tan^2x-\tan x-2=0$$

Scomponiamo il trinomio speciale di secondo grado in tangente di x

$$(\tan x-2)(\tan x+1)=0$$

Applichiamo la legge di annullamento del prodotto per ricavare i valori delle tangenti e risalire dunque ai valori della x

$$\begin{array}{l}\tan x=2&\to&x=\tan^{-1}2+k\pi&\approx&63,43^o+k\ 180^o\\\tan x=-1&\to&x=-\frac{\pi}{4}+k\pi&=&-45^o+k\ 180^o\end{array}$$

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EQUAZIONI OMOGENEE DI TERZO E QUARTO GRADO – ESEMPI

ESEMPIO 1 – E.O. TERZO GRADO

Consideriamo la seguente equazione

$$\cos^3x=-5\sin^2x\cos x+4\sin x\cos^2x+2\sin^3x$$

Ci troviamo certamente di fronte ad un’equazione omogenea di terzo grado in seno e coseno.

Dividiamo tutto per il coseno al cubo di x

$$\frac{\cos^3x}{\cos^3x}=-5\frac{\sin^2x\cos x}{\cos^3x}+4\frac{\sin x\cos^2x}{\cos^3x}+2\frac{\sin^3x}{\cos^3x}$$

Otteniamo un’equazione di terzo grado rispetto alla tangente

$$1=-5\tan^2x+4\tan x+2\tan^3x$$

Spostiamo tutto a destra e rileggiamo in ordine l’equazione di terzo grado

$$2\tan^3x-5\tan^2x+4\tan x-1=0$$

Ci accorgiamo del fatto che tale polinomio in tangente si annulla per il valore della tangente pari ad 1 quindi applichiamo la divisione con Ruffini dividendo per (tanx –1) 

$$(\tan^3x-5\tan^2x+4\tan x-1)\div(\tan x-1)$$

La scomposizione del polinomio risulta dunque:

$$(2\tan^2x-3\tan x+1)(\tan x-1)=0$$

Possiamo ancora scomporre il primo polinomio in tangente applicando la regola somma e prodotto

$$\begin{aligned}&2\tan^2x-3\tan x+1=\\&2\tan^2x-2\tan x-\tan x+1=\\&2\tan x(\tan x-1)-(\tan x-1)=\\&(\tan x-1)(2\tan x-1)\end{aligned}$$

La scomposizione complessiva del polinomio in tangente dell’equazione è

$$(2\tan x-1)(\tan x-1)^2=0$$

Applichiamo la legge di annullamento del prodotto da cui ricaviamo i valori delle tangenti e delle rispettive soluzioni di x

$$\begin{array}{l}\tan x=\frac{1}{2}&\to&x=\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+k\pi&\approx&26,57^o+k180^o\\\tan x=1&\to&x=\frac{\pi}{4}+k\pi&=&45^o+k180^o\end{array}$$

ESEMPIO 2 – E.O. QUARTO GRADO

Consideriamo la seguente equazione

$$\sin^4x+4\cos^4x-5\sin^2x\cos^2x=0$$

Ci troviamo certamente di fronte ad un’equazione omogenea di quarto grado in seno e coseno.

Dividiamo tutto per la quarta potenza del coseno di x

$$\frac{\sin^4x}{\cos^4x}+4\frac{\cos^4x}{\cos^4x}-5\frac{\sin^2x\cos^2x}{\cos^4x}=0$$

Otteniamo un’equazione di quarto grado rispetto alla tangente che riordiniamo

$$\tan^4x-5\tan^2x+4=0$$

Chiamiamo t il quadrato della tangente di x di modo da ottenere un’equazione rispetto a tale incognita di secondo grado

$$t=\tan^2x\quad\to\quad t^2-5t+4=0$$

Scomponiamo il trinomio speciale di secondo grado sulla sinistra

$$(t-4)(t-1)=0$$

Applichiamo la legge di annullamento del prodotto per ricavare i valori di t.

Da questi valori ricaviamo i valori delle rispettive tangenti e calcoliamo dunque le soluzioni dell’equazione

$$\begin{array}{l}t=4&\to&\tan^2x=4&\to&\tan x=\pm2&\to&x=\pm\tan{-1}2+k\pi\\ t=1&\to&\tan^2x=1&\to&\tan x=\pm1&\to&x=\pm\frac{\pi}{4}+k\pi\end{array}$$

ESEMPIO 3 – E.O. QUARTO GRADO

Consideriamo la seguente equazione

$$5\cos^4x+2\sin^2x\cos^2x-3\sin^4x+1=0$$

Manca ancora una trasformazione per rendere questa equazione omogenea di quarto grado in seno e coseno.

Lavoriamo dunque sul termine noto che riscriviamo in questo modo

$$1=1^2=(\sin^2x+\cos^2x)^2=\sin^4x+2\sin^2x\cos^2x+\cos^4x$$

Riscriviamo dunque nell’equazione iniziale al posto di 1 questo polinomio omogeneo di quarto grado in seno e coseno

$$5\cos^4x+2\sin^2x\cos^2x-3\sin^4x+\sin^4x+2\sin^2x\cos^2x+\cos^4x=0$$

Ora impacchettiamo il tutto riscrivendo l’equazione omogenea di quarto grado

$$-2\sin^4x+4\sin^2x\cos^2x+6\cos^4x=0$$

Dividiamo per 2 e cambiamo i segni

$$\sin^4x-2\sin^2x\cos^2x-3\cos^4x=0$$

Dividiamo tutto per la quarta potenza del coseno di x

$$\frac{\sin^4x}{\cos^4x}-2\frac{\sin^2x\cos^2x}{\cos^4x}-3\frac{\cos^4x}{\cos^4x}=0$$

Otteniamo un’equazione di quarto grado rispetto alla tangente che riordiniamo

$$\tan^4x-2\tan^2x-3=0$$

Chiamiamo t il quadrato della tangente di x di modo da ottenere un’equazione rispetto a tale incognita di secondo grado

$$t=\tan^2x\quad\to\quad t^2-2t-3=0$$

Scomponiamo il trinomio speciale di secondo grado sulla sinistra

$$(t-3)(t+1)=0$$

Applichiamo la legge di annullamento del prodotto per ricavare i valori di t.

Da questi valori ricaviamo i valori delle rispettive tangenti e calcoliamo dunque le soluzioni dell’equazione

$$\begin{array}{l}t=3&\to&\tan^2x=3&\to&\tan x=\pm\sqrt{3}&\to&x=\pm\frac{\pi}{3}+k\pi\\ t=-1&\to&\tan^2x=-1&\to&\not\exists x\in\mathbb{R}\end{array}$$

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