Il teorema del coseno afferma che in un triangolo qualsiasi il quadrato di un lato è dato dalla somma dei quadrati degli altri due meno il loro doppio prodotto per il coseno dell’angolo compreso tra essi.
Dato un triangolo generico di lati a, b e c e di angoli opposti rispettivamente 𝛼, 𝛽, 𝛾possiamo dunque affermare che
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$
Detto in termini di radici quadrate possiamo equivalentemente scrivere
$$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}$$
INDICE
DIMOSTRARE IL TEOREMA DEL COSENO
Dimostriamo ora come è possibile pervenire alla formulazione del teorema del coseno.
Consideriamo triangolo generico di lati a, b e c e di angoli opposti rispettivamente 𝛼, 𝛽, 𝛾 appoggiato ad esempio sulla base b
Tracciamo l’altezza h relativa alla base b.
Considerando tale altezza h come un cateto del triangolo rettangolo con ipotenusa a.
Possiamo quindi affermare che h è ottenuta moltiplicando l’ipotenusa a per il seno dell’angolo opposto 𝛾
$$h=a\sin\gamma$$
D’altra parte osserviamo che l’altezza h divide la base b in due parti che seno rispettivamente le proiezioni (p’ e p”) dei lati a e b.
Per quanti riguarda la proiezione p’ di a, questa risulta essere l’altro cateto del triangolo con ipotenusa a, adiacente all’angolo 𝛾
Per tale motivo il valore di tale proiezione p’ è data dal prodotto del lato a per il coseno dell’angolo 𝛾
$$p’=a\cos\gamma$$
L’altra proiezione p” del lato c sulla base b possiamo vederla come la differenza tra il lato b e la proiezione p’
$$p”=b-p’=b-a\cos\gamma$$
Consideriamo ora l’altro triangolo rettangolo con ipotenusa il lato c.
Su di essa possiamo applicare il teorema di pitagora.
$$\begin{aligned}&c^2=h^2+p”^2\\&c^2=(a\sin\gamma)^2+(b-a\cos\gamma)^2\end{aligned}$$
Sviluppiamo i calcoli
$$c^2=a^2\sin^2\gamma+b^2+a^2\cos^2\gamma-2ab\cos\gamma$$
Raccogliamo a fattor comune il quadrato di a
$$c^2=a^2(\sin^2\gamma+\cos^2\gamma)+b^2-2ab\cos\gamma$$
Per la relazione fondamentale della goniometria abbiamo che
$$\sin^2\gamma+\cos^2\gamma=1$$
Dunque possiamo riscrivere all’affermazione iniziale del teorema.
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$
Ovvero che il quadrato di un lato è dato dalla somma dei quadrati degli altri due meno il loro doppio prodotto per il coseno dell’angolo compreso tra essi.
Mettendo sotto radice quadrata entrambi i termini otteniamo l’altra formulazione.
$$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}$$
Possiamo completare la formulazione con il teorema applicato a tutti e tre i lati
$$\begin{aligned}&a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos\alpha}\\&b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos\gamma}\\&c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}\end{aligned}$$
TEOREMA DEL COSENO – ALTRE FORMULE
A partire dalla formula principale del teorema del coseno
$$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}$$
è possibile ricavare altre formulazioni.
In particolare una molto interessante è quella dove andiamo a ricavare l’angolo 𝛾opposto al lato c in funzione dei tre lati a b c
Isoliamo per prima cosa il doppio prodotto per il coseno di 𝛾 sulla sinistra.
$$2ab\cos\gamma=a^2+b^2-c^2$$
Dividiamo per il doppio prodotto
$$\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$
Ricaviamo l’angolo 𝛾 con la funzione inversa del coseno ovvero l’arcocoseno ocos-1
$$\gamma=\cos^{-1}\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)$$
Possiamo dunque espandere questa formulazione per ricavare anche gli altri angoli seguendo la stessa logica
$$\begin{array}{l}\cos\alpha=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}&\to&\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)\\ \cos\beta=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}&\to&\beta=\cos^{-1}\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)\\ \cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}&\to&\gamma=\cos^{-1}\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\end{array}$$
Un’altra interessante applicazione di questo teorema consiste nel ricavare i lati a oppure bmediante lo sviluppo di una equazione di secondo.
Questa è veramente poco utilizzata ma mostriamone comunque il ragionamento.
Ripartiamo dalla formula principale
$$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}$$
Spostiamo tutto sul lato destro rileggendo un’equazione in a di secondo grado
$$a^2–2ab\cos\gamma+(b^2-c^2)=0$$
Possiamo dunque applicare la formula risolutiva ridotta per le equazioni di secondo grado.
Il delta quarti risulta del polinomio di secondo grado in a risulta:
$$\frac{\Delta}{4}=(b\cos\gamma)^2-(b^2-c^2)$$
(potremo anche svilupparlo ma anche lasciarlo come è)
Ovviamente l’equazione ammette soluzione solamente se tale quantità risulta maggiore o uguale a zero
I valori di a soluzioni sono dunque
$$a=b\cos\gamma\pm\sqrt{(a\cos\gamma)^2-(b^2-c^2)}$$
Geometricamente accettiamo solamente i valori positivi!
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ESERCIZI CON IL TEOREMA DEL COSENO
Andiamo a vedere qualche esempio in cui utilizziamo il teorema del coseno.
ESERCIZIO 1 – TEOREMA DEL COSENO
Dato un triangolo di lati abc e di angoli opposti 𝛼𝛽𝛾 di cui conosciamo i seguenti elementi
$$a=12\quad b=15\quad \gamma=45^o$$
Risolvi il triangolo, ovvero ricava tutti gli altri elementi
SVOLGIMENTO
Per prima cosa possiamo ricavare il lato c sfruttando il teorema del coseno
$$c=\sqrt{a^2+b^2-2bc\cos\gamma}$$
Inseriamo i dati noti
$$c=\sqrt{12^2+15^2-2\cdot12\cdot15\cdot45^o}=10,698$$
Passiamo ora agli angoli 𝛼 e 𝛽 che possiamo ricavare con la formula inversa che deriva sempre dal teorema del coseno
Per quanto riguarda l’angolo 𝛼 abbiamo che:
$$\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)\\ \ \\ \alpha=\cos^{-1}\left(\frac{15^2+10,698^2-12^2}{2\cdot15\cdot10,698}\right)=52,48^o$$
Passiamo all’angolo 𝛽
$$\beta=\cos^{-1}\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)\\ \ \\ \beta=\cos^{-1}\left(\frac{12^2+10,698^2-15^2}{2\cdot12\cdot10,698}\right)=82,52^o$$
Se doveste ottenere piccole variazioni nei vostri risultati non preoccupatevi perché sono gli arrotondamenti)
Da notare che potevamo trovare l’angolo 𝛽 semplicemente per differenza
$$\beta=180^o-(\alpha+\gamma)\\ \ \\ \beta=180^o-(52,48^o+45^o)=82,52^o$$
Un secondo modo molto interessante di trovare gli angoli 𝛼 e 𝛽consiste nell’usare il teorema del seno.
Dal teorema del seno sappiamo che in ogni triangolo il rapporto tra ogni lato ed il seno dell’angolo opposto è sempre costante
$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}$$
Ricordiamo che dopo la prima applicazione del teorema del coseno conosciamo i valori dei tre lati e dell’angolo 𝛾
$$a=12\quad b=15\quad c=10,698\quad \gamma=45^o$$
Per trovare l’angolo 𝛼 isoliamo il primo e il terzo membro dell’equazione dei seni ottenendo una equazione a due membri
$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin\gamma}$$
Dalla quale si ricava facilmente il che il seno dell’angolo 𝛼
$$\sin\alpha=\frac{a}{c}\sin\gamma$$
Possiamo quindi ricavare facilmente l’angolo 𝛾 mediante la funzione inversa del seno, ovvero l’arcoseno o sin-1
$$\alpha=\sin^{-1}\left(\frac{a}{c}\sin\gamma\right)$$
Inseriamo i dati numerici
$$\alpha=\sin^{-1}\left(\frac{12}{10,698}\sin45^o\right)=52,48^o$$
Lo stesso ragionamento vale ovviamente per l’angolo 𝛽
$$\beta=\sin^{-1}\left(\frac{b}{c}\sin\gamma\right)\\ \ \\ \beta=\sin{-1}\left(\frac{15}{10,698}\sin45^o\right)=82,52^o$$
(se ottenete 82,51 va benissimo !!!)
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