Le Equazioni di Quarto Grado: Una Conquista della Matematica Rinascimentale

Le equazioni algebriche sono state al centro della ricerca matematica per secoli, e la capacità di risolverle ha segnato tappe fondamentali nello sviluppo della disciplina. Tra queste, le equazioni di quarto grado rappresentano un capitolo significativo, la cui soluzione generale fu una delle grandi conquiste del Rinascimento italiano, svelando un approccio ingegnoso per abbassare il loro grado di complessità.

Definizione di un’Equazione di Quarto Grado

Un’equazione di quarto grado, o equazione quartica, è un’equazione polinomiale in cui il grado più alto dei termini è $4$. La sua forma generale è:

$ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$

dove $a, b, c, d, e$ sono coefficienti reali o complessi e $a \neq 0$. Se $a=0$, l’equazione si riduce a un grado inferiore. L’obiettivo è trovare i valori di $x$ (le radici) che soddisfano l’equazione.

Per il Teorema Fondamentale dell’Algebra, un’equazione di quarto grado ha sempre quattro radici (che possono essere reali o complesse, distinte o ripetute).

La Scoperta e il Contesto Storico

La soluzione delle equazioni di terzo e quarto grado fu un’impresa che affascinò i matematici del Rinascimento italiano, in un’epoca di fervore intellettuale e di competizione accademica.

• Scipione del Ferro (fine XV secolo – inizio XVI secolo) fu il primo a trovare una formula generale per risolvere le equazioni cubiche (di terzo grado), ma mantenne segreta la sua scoperta.
• Niccolò Fontana, detto Tartaglia (ca. 1500-1557), riscoprì indipendentemente il metodo per risolvere le equazioni cubiche. Famoso per le sue sfide matematiche pubbliche, inizialmente tenne segreta la sua formula.
• Gerolamo Cardano (1501-1576), un medico, astrologo e matematico di grande fama, convinse Tartaglia a rivelargli la formula per le cubiche, promettendo di non divulgarla. Tuttavia, Cardano, venuto a conoscenza che del Ferro aveva già scoperto la formula, si sentì libero di pubblicarla nel suo trattato fondamentale Ars Magna (1545). Quest’opera non solo conteneva la soluzione delle cubiche (che oggi è nota come “formula di Cardano” o “formula di Cardano-Tartaglia”), ma anche, per la prima volta, la soluzione generale delle equazioni di quarto grado.
• Ludovico Ferrari (1522-1565), allievo di Cardano, fu colui che sviluppò il metodo per risolvere le equazioni di quarto grado. La sua scoperta fu anch’essa inclusa nell’Ars Magna di Cardano, consolidando il suo posto nella storia della matematica.

La pubblicazione dell’Ars Magna segnò una pietra miliare, poiché per la prima volta si disponevano di formule generali per risolvere equazioni di grado superiore al secondo, rompendo un limite che aveva ostacolato i matematici per secoli. Il metodo di Ferrari era ingegnoso e si basava sulla riduzione dell’equazione quartica a un’equazione cubica ausiliaria (la “risolvente”).

I Passaggi Matematici per la Soluzione (Metodo di Ferrari)

Il metodo di Ferrari per risolvere un’equazione di quarto grado $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ consiste nel trasformarla in una forma più gestibile attraverso una serie di passaggi algebrici. La strategia generale è di ridurla a un’equazione in cui entrambi i lati siano quadrati perfetti, permettendo così di estrarre la radice quadrata e di scomporla in due equazioni di secondo grado.

1. Riduzione alla Forma Depressa (Eliminazione del Termine di Terzo Grado):

Il primo passaggio cruciale per qualsiasi equazione di quarto grado è eliminare il termine di terzo grado ($bx^3$). Questo si ottiene con una sostituzione del tipo $x = y – \frac{b}{4a}$. Applicando questa trasformazione all’equazione generale $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$, si ottiene un’equazione in $y$ che non contiene il termine $y^3$. Questa equazione è nota come equazione quartica depressa e ha la forma:
$y^4 + Ay^2 + By + C = 0$
dove $A, B, C$ sono nuovi coefficienti calcolati in base ai coefficienti originali $a, b, c, d, e$.

Coerenza con il Contenuto del Video:
Per rimanere coerenti con la spiegazione mostrata nel video che troviamo in fondo all’articolo, concentreremo i passaggi successivi sulla soluzione di una specifica forma di equazione quartica: $x^4 + ax^2 + b = cx$.

2. Creazione di un Quadrato sul Lato Sinistro:

L’obiettivo è manipolare l’equazione $x^4 + ax^2 + b = cx$ in modo che il suo lato sinistro diventi un quadrato perfetto. Si introduce una variabile ausiliaria $q$ (non correlata al coefficiente $q$ della forma depressa generale, ma una variabile di comodo per il completamento del quadrato). L’idea è di trasformare il lato sinistro nella forma $(x^2+q)^2$. Poiché $(x^2+q)^2 = x^4 + 2qx^2 + q^2$, per mantenere l’uguaglianza, dobbiamo aggiungere i termini necessari al lato sinistro e poi sottrarli (o spostarli) al lato destro. Iniziamo con l’equazione:
$x^4 + ax^2 + b = cx$
Per ottenere $x^4 + 2qx^2 + q^2$ a sinistra, aggiungiamo $(2q-a)x^2$ e $(q^2-b)$ a entrambi i lati:
$x^4 + ax^2 + (2q-a)x^2 + b + (q^2-b) = cx + (2q-a)x^2 + (q^2-b)$
Ciò semplifica il lato sinistro, rendendolo un quadrato perfetto:
$(x^2+q)^2 = (2q-a)x^2 + cx + q^2 – b$

3. Introduzione della Variabile Ausiliaria $y$ e Completamento del Quadrato (Secondo Passaggio):

Ora, il nostro scopo è far sì che anche il lato destro di quest’ultima equazione diventi un quadrato perfetto. Per fare ciò, introdiciamo un’ulteriore variabile ausiliaria $y$. Aggiungiamo il termine $2y(x^2+q) + y^2$ a entrambi i membri dell’equazione. Questo termine è scelto in modo da completare il quadrato sul lato sinistro, trasformandolo in $(x^2+q+y)^2$:
$(x^2+q)^2 + 2y(x^2+q) + y^2 = (2q-a)x^2 + cx + q^2 – b + 2y(x^2+q) + y^2$
Il lato sinistro diventa il nuovo quadrato perfetto:
$(x^2+q+y)^2 = (2q-a)x^2 + cx + q^2 – b + 2yx^2 + 2qy + y^2$
Raggruppando i termini simili sul lato destro, otteniamo un trinomio di secondo grado in $x$:
$(x^2+q+y)^2 = (2q-a+2y)x^2 + cx + (q^2-b+2qy+y^2)$

4. Imposizione della Condizione per il Quadrato Perfetto a Destra:

Affinché il lato destro di quest’ultima equazione sia un quadrato perfetto (cioè, della forma $(Dx+E)^2$), imponiamo il suo discriminante uguale a zero. Per un trinomio di secondo grado $Ax^2+Bx+C$, il discriminante è $B^2 – 4AC$.
Nel nostro caso, i coefficienti del trinomio a destra sono:
$A_{destro} = (2q-a+2y)$
$B_{destro} = c$
$C_{destro} = (q^2-b+2qy+y^2)$
Imponendo il discriminante a zero:
$c^2 – 4(2q-a+2y)(q^2-b+2qy+y^2) = 0$

5. Derivazione e Soluzione dell’Equazione Cubica Risolvente:

L’equazione ottenuta al passaggio precedente, una volta espansa e riordinata rispetto alla variabile $y$, diventa un’equazione di terzo grado. Questa è la risolvente di Ferrari. Per la specifica forma dell’equazione e le definizioni usate nel video ($p = 2\sqrt{b}-a$ e $q = \sqrt{b}$), l’equazione cubica da risolvere per $y$ è:
$2y^3 + (p+2q)y^2 + 2pqy – \frac{c^2}{4} = 0$
dove si intende $p = 2\sqrt{b}-a$ e $q = \sqrt{b}$.
Questa equazione cubica può essere risolta utilizzando la formula di Cardano. Trovando anche solo una delle sue tre radici reali o complesse per $y$, si può procedere.

6. Soluzione delle Equazioni Quadratiche:

Una volta ottenuto un valore per $y$ dalla risolvente cubica, lo si sostituisce nell’equazione:
$(x^2+q+y)^2 = (2q-a+2y)x^2 + cx + (q^2-b+2qy+y^2)$
Ora che il lato destro è un quadrato perfetto, si può estrarre la radice quadrata di entrambi i membri, ottenendo due equazioni di secondo grado:
$x^2+q+y = \pm \sqrt{(2q-a+2y)x^2 + cx + (q^2-b+2qy+y^2)}$
Queste due equazioni quadratiche (una con il “+” e una con il “-“) possono essere risolte utilizzando la formula quadratica standard. Le loro soluzioni forniranno le quattro radici dell’equazione di quarto grado originale.

Il metodo di Ferrari, sebbene complesso nei suoi dettagli, rappresenta una delle più brillanti dimostrazioni dell’ingegno matematico e ha aperto la strada a nuove frontiere nell’algebra. È tuttavia importante notare che, successivamente, si è dimostrato (con il teorema di Abel-Ruffini) che equazioni di grado superiore al quarto (quinto grado e oltre) non ammettono, in generale, soluzioni esprimibili tramite radicali.

RISCOPRI LA MATEMATICA PARTENDO DA ZERO

Comincia un fantastico viaggio alla scoperta di questa affascinante materia partendo da zero.

Scopri tutti i corsi di matematica