DERIVATA DI UN PRODOTTO DI FUNZIONI

Oggi vediamo come calcolare la derivata di un prodotto di funzioni.

Prima applichiamo la regola per il prodotto tra due funzioni.

Poi passiamo al prodotto di tre funzioni.

Ed infine generalizziamo la regola per il prodotto di n funzioni

DERIVATA DEL PRODOTTO DI DUE FUNZIONI

Consideriamo una funzione data dal prodotto di due funzioni

$$ y=f(x)\cdot g(x)$$

Un errore molto frequente per chi è alle prime armi con le derivata è pensare che basti semplicemente derivare entrambe le funzioni

$$ y’=f'(x)\cdot g'(x)\qquad \color{red}{\text{sbagliato !!!}}$$

Quando facciamo la derivata di un prodotto dobbiamo fare la derivata del primo fattore per il secondo (non derivato) più il primo (non derivato) per la derivata del secondo!!!

$$ y’=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$

Per quelli di voi che sono più curiosi riporto sotto la dimostrazione.

DIMOSTRAZIONE DELLA REGOLA DELLA DERIVATA DI UN PRODOTTO

Ricordiamo che la definizione di derivata di una funzione deriva dal limite del rapporto incrementale della funzione quando l’incremento h tende a zero

$$ y'(x)=\lim_{h\to0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}$$

(da notare che ho usato la lettera y ma potevo tranquillamente usare anche la lettra f)

Ora la nostra funzione è un prodotto di due funzioni (omettiamo per comodità il simbolo di per (·).

$$ y(x)=f(x)\ g(x) \qquad y(x+h)=f(x+h)\ g(x+h)$$

Applichiamo la definizione

$$ y'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)\ g(x+h)-f(x)\ g(x)}{h}$$

Sommiamo e sottraiamo al numeratore della frazione una stessa quantità

$$ y'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)\ g(x+h)-f(x)\ g(x)\color{blue}{+f(x)\ g(x+h)-f(x)\ g(x+h)}}{h}$$

Riorganizziamo ora il limite in questo modo

$$ \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)\ g(x+h)-f(x)\ g(x+h)}{h}+\lim_{h\to0}\frac{f(x)\ g(x+h)-f(x)\ g(x)}{h}$$

Raccogliamo i termini comune :  g(x+h) nel primo limite e f(x) nel secondo limite che essendo una costante rispetto ad h portiamo fuori dal limite

$$ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\lim_{h\to0}g(x+h)+f(x)\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)g(x)}{h}$$

Notiamo che:

$$ \begin{aligned}&\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)\\ &\lim_{h\to0}\ g(x+h)=g(x)\\&\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x) \end{aligned}$$

Per tanto la derivata prima del prodotto risulta essere

$$ y'(x)=f'(x)\ g(x)+f(x)\ g'(x)$$

ESEMPI DI DERIVATA DI UN PRODOTTO DI DUE FUNZIONI

Vediamo qualche esempio per il calcolo della derivata di un prodotto di funzioni

ESEMPIO 1 – DERIVATA DI UN PRODOTTO DI DUE FUNZIONI

$$ y=x^2e^x$$

La prima funzione è il quadrato (funzione potenza), mentre la seconda è la funzione esponenziale con base numero di Nepero.

Applichiamo la regola di derivazione per il prodotto

$$\begin{aligned}&y’=(x^2)’e^x+x^2(e^x)’\\&y’=2xe^x+x^2e^x\end{aligned}$$

Raccogliamo a fattor comune

$$ y’=xe^x(2+x)$$

ESEMPIO 2 

$$ y=(x^2+2x)e^x$$

Applichiamo la regola di derivazione per il prodotto

$$\begin{aligned}&y’=(x^2+2x)’e^x+(x^2+2x)(e^x)’\\&y’=(2x+2)e^x+(x^2+2x)e^x\end{aligned}$$

Raccogliamo a fattor comune

$$ y’=e^x(x^2+4x+2)$$

ESEMPIO 3 –

$$ y=2\sin x\cos x$$

La prima funzione è il seno di x (sinx), metre la seconda è il coseno di x (cosx)

Applichiamo la regola di derivazione per il prodotto

$$\begin{aligned}&y’=(2\sin x)’\cos x+2\sin x(\cos x)’\\&y’=(2\cos x)\cos x+2\sin x(-\sin x)\end{aligned}$$

Raccogliamo a fattor comune

$$ y’=2(\cos^2x-\sin^2x)

Ricordiamo che per la formula di duplicazione del coseno

$$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$$

Dunque

$$ y’=2\cos2x$$

ESEMPIO 4 

$$ y=e^x(\sin x+x)$$

Applichiamo la regola di derivazione per il prodotto

$$\begin{aligned}&y’=(e^x)'(\sin x+x)+(e^x)(\sin x+x)’\\&y’=e^x(\sin x+x)+e^x(\cos x+1)\end{aligned}$$

Raccogliamo a fattor comune

$$ y’=e^x(\sin x+\cos x+x+1)$$

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ESEMPIO 5 –

$$ y=(\log x-3)\log x$$

Con la scrittura logx intendiamo la funzione logaritmo naturale di x.

Applichiamo la regola di derivazione per il prodotto

$$\begin{aligned}&y’=(\log x-3)'(\log x)+(\log x-3)(\log x)’\\&y’=\frac{1}{x}\log x+(\log x-3)\frac{1}{x}\end{aligned}$$

Raccogliamo a fattor comune

$$ y’=\frac{1}{x}(\log x+\log x-3)=\frac{1}{x}(2\log x-3)$$

ESEMPIO 6 

$$ y=(e^x+3)\log x$$

Applichiamo la regola di derivazione per il prodotto

$$\begin{aligned}&y’=(e^x+3)'(\ln x)+(e^x+3)(\ln x)’\\&y’=e^x\ln x+(e^x+3)\frac{1}{x}\end{aligned}$$

DERIVATA DEL PRODOTTO DI TRE FUNZIONE

Possiamo espandere la regola per il prodotto due funzioni al prodotto di tre funzioni.

Consideriamo la seguente funzione dove si moltiplicano tre funzioni

$$ y=f(x)\ g(x)\ k(x)$$

La sua derivata prima è:

$$ y=f'(x)\ g(x)\ k(x)+f(x)\ g'(x)\ k(x)+f(x)\ g(x)\ k'(x)$$

In pratica riscriviamo una somma con tre volte il prodotto e in prodotto deriviamo una funzione alla volta

Vediamo qualche esempio

ESEMPIO 1 – DERIVATA DEL PRODOTTO DI TRE FUNZIONI

$$ y=x\ e^x\log x$$

Applichiamo la procedura di derivazione del prodotto di tre funzioni

$$\begin{aligned}&y’=(x)’\ e^x\log x+x\ (e^x)’\log x+x\ e^x(\log x)’\\&y’=1\ e^x\log x+x\ e^x\log x+x\ e^x\ \frac{1}{x}\end{aligned}$$

Raccogliamo il fattor comune

$$ y’=e^x(\log x+x\ \log x+1)$$

ESEMPIO 2 –

$$ y=x\sin x(x+3)$$

Applichiamo la procedura di derivazione del prodotto di tre funzioni

$$\begin{aligned}&y’=(x)’\sin x(x+3)+x(\sin x)'(x+3)+x\sin x(x+3)’\\&y’=1\cdot\sin x(x+3)+x\cos x(x+3)+x\sin x\cdot1\\&y’=\sin x(x+3)+x(x+3)\cos x+x\sin x\\&y’=(2x+3)\sin x+x(x+3)\cos x\end{aligned}$$

ESEMPIO 3 –

$$ y=x^2(x-1)(x^3+2x^2)$$

Applichiamo la procedura di derivazione del prodotto di tre funzioni

$$\begin{aligned} & y’=(x^2)'(x-1)(x^3+2x^2)+(x^2)(x-1)'(x^3+2x^2) +(x^2)(x-1)(x^3+2x^2)’\\&y’= 2x(x-1)(x^3+2x^2)+(x^2)\cdot 1\cdot(x^3+2x^2) +(x^2)(x-1)(3x^2+4x) \end{aligned}$$

Ora svolgiamo un po’ di conti

$$\begin{aligned}&y’=(2x^2-2x)(x^3+2x^2)+(x^5+2x^4)+(x^3-x^2)(3x^2+4x)\\&y’=2x^5+4x^4-2x^4-4x^3+x^5+2x^4+3x^5+4x^4-3x^4-4x^3\\&y’=(2+1+3)x^5+(4-2+2+4-3)x^4+(-4-4)x^3\\&y’=6x^5+5x^4-8x^3\end{aligned}$$

Raccogliamo a fattor comune:

$$y’=x^3(6x^2+5x-8)$$

ESEMPIO 4 –

Deriviamo il seguente prodotto di funzioni:

$$y=x^3\ 2^x\sin^{-1}x$$

Applichiamo la regola di derivazione:

$$\begin{aligned}&y’=(x^3)’\ 2^x\sin^{-1}x+x^3\ (2^x)’\sin^{-1}x+x^3\ 2^x(\sin^{-1}x)’ \\&y’=3x^2\ 2^x\sin^{-1}x+x^3\ 2^x\log 2\sin^{-1}x+x^3\ 2^x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\end{aligned}$$

Raccogliamo a fattor comune

$$ y’=x^2\ 2^x\left(3\sin^{-1}x+x\log2\ \sin^{-1}x+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)$$

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DERIVATA DEL PRODOTTO DI n FUNZIONE

Vediamo dunque in via definitiva qual è la regola generale per il prodotto di n funzioni

Consideriamo una funzione data dal prodotto di n funzioni

$$\begin{aligned}&y=f_1(x)\ f_2(x)\ \cdot\ f_n(x)\ \to\\&y’=f’_1(x)\ f_2(x)\ \cdot\ f_n(x)+f_1(x)\ f’_2(x)\ \cdot\ f_n(x)+\cdots+f_1(x)\ f_2(x)\ \cdot\ f’_n(x)\end{aligned}$$

La regola è identica a quella per il prodotto di tre funzioni

Ripetiamo n volte la somma con gli n fattori e ne deriviamo uno alla volta

Vediamo un esempio di derivata in cui abbiamo quattro fattori

$$\begin{aligned}&y=x^2\ e^x\ln x\sin x\\&y’=(x^2)’\ e^x\ln x\sin x+x^2\ (e^x)’\ln x\sin x+x^2\ e^x(\ln x)’\sin x+x^2\ e^x\ln x(\sin x)’\\&y’=2x\ e^x\ln x\sin x+x^2\ e^x\ln x\sin x+x^2\ e^x\frac{1}{x}\sin x+x^2\ e^x\ln x\cos x\end{aligned}$$

Raccogliamo a fattor comune

$$ y’=x\ e^x(2\ln x\sin x+x\ln x\sin x+\sin x+x\ln x\cos x)$$

DERIVATA DI UN PRODOTTO CON FUNZIONI A PIU’ VARIABILI

La regola per la derivata di un prodotto vale anche quando abbiamo funzioni a più variabili.

Vediamone un esempio con funzioni a due variabili

$$ f(x,y)=x^2y^3\log(x^2-y)$$

Ricordiamo che con le funzioni a due variabili calcoliamo le derivate parziali, dunque su una sola variabile alla volta.

Partiamo con la derivata parziale in x

$$ f’_x=\frac{\partial f}{\partial x}=(x^2y^3)’_x\log(x^2-y)+x^2y^3\left(\log(x^2-y)\right)’_x$$

Per la seconda derivata ricordiamo le regole sulle derivate composte

$$\begin{aligned}&f’_x=\frac{\partial f}{\partial x}=(2xy^3)\log(x^2-y)+x^2y^3\frac{2x}{x^2-y}\\&f’_x=\frac{\partial f}{\partial x}=(2xy^3)\log(x^2-y)+\frac{2x^3y^3}{x^2-y}\end{aligned}$$

Raccogliendo a fattor comune

$$f’_x=\frac{\partial f}{\partial x}=(2xy^3)\left(\log(x^2-y)+\frac{x^2y^3}{x^2-y}\right)$$

Calcoliamo ora la derivata parziale in y

$$ f’_y=\frac{\partial f}{\partial y}=(x^2y^3)’_y\log(x^2-y)+x^2y^3\left(\log(x^2-y)\right)’_y$$

Per la seconda derivata ricordiamo le regole sulle derivate composte

$$\begin{aligned}&f’_y=\frac{\partial f}{\partial y}=(3x^2y^2)\log(x^2-y)+x^2y^3\frac{-1}{x^2-y}\\&f’_y=\frac{\partial f}{\partial y}=(3x^2y^2)\log(x^2-y)-\frac{x^2y^3}{x^2-y}\end{aligned}$$

Raccogliendo a fattor comune

$$f’_y=\frac{\partial f}{\partial y}=(x^2y^2)\left(3\log(x^2-y)+\frac{y}{x^2-y}\right)$$

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