DERIVATA DI UNA SOMMA DI FUNZIONI

La derivata di una somma di funzioni è la somma delle derivate delle funzioni

$$ y=f(x)+g(x)-k(x)\to y’=f'(x)+g'(x)-k'(x)$$

ESEMPI DI DERIVATA DI UNA SOMMA DI FUNZIONI

Vediamo insieme qualche esempio della derivata di una soma di funzioni.

A tal proposito ricordiamo che la derivata di una costante per una funzione altro non è che la costante per la derivata della funzione

$$ y=k\ f(x)\to y’=k\ f'(x)$$

ESEMPIO 1

Consideriamo la seguente funzione che presenta una somma di funzioni potenza:

$$ y=x^4+x^3+x^2+x+1$$

Applichiamo la regola della derivata di una somma di funzioni:

$$ y’=(x^4)’+(x^3)’+(x^2)’+(x)’+(1)’$$

Ricordiamo la regola generale per il calcolo della derivata di una potenza

$$ (x^\alpha)’=\alpha x^{\alpha-1}$$

Dunque otteniamo:

$$y’=4x^3+3x^2+2x+0$$

ESEMPIO 2 – DERIVATA DI UNA SOMMA

Calcoliamo la seguente derivata

$$ y=2x-\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x^3}+\frac{2}{5x^4}$$

Deriviamo ogni termine della somma trasformando le potenze

$$y=(2x)’-(x^{-2})’+(3x^{-3})’-\left(\frac{2}{5}x^{-4}\right)’$$

Portiamo fuori la costante dalle derivate

$$y=2(x)’-(x^{-2})’+3(x^{-3})’-\frac{2}{5}\left(x^{-4}\right)’$$

Ricordiamo la regola generale per il calcolo della derivata di una potenza

$$ (x^\alpha)’=\alpha x^{\alpha-1}$$

Applicando la regola otteniamo:

$$y’=1-(-2)x^{-3}+3(-3)x^{-4}-\frac{2}{5}(-4)x^{-5}$$

Possiamo quindi scrivere nella seguente forma finale:

$$ y’=1+\frac{2}{x^3}-\frac{9}{x^4}+\frac{8}{5x^5}$$

ESEMPIO 3

Consideriamo la seguente funzione con somma di funzioni radici:

$$ y=\sqrt[]{x}+2\sqrt[3]{x}-2\sqrt[4]{x}+5\sqrt[5]{x}$$

Riscriviamo il testo trasformando le radici in potenze

$$y=x^\frac{1}{2}+3x^\frac{1}{3}-2x^\frac{1}{4}+5x^\frac{1}{5}$$

Applichiamo la regola per la derivata della somma portando fuori la costante

$$y’=\left(x^\frac{1}{2}\right)’+3\left(x^\frac{1}{3}\right)’-2\left(x^\frac{1}{4}\right)’+5\left(x^\frac{1}{5}\right)’$$

Ricordiamo la regola generale per il calcolo della derivata di una potenza

$$ (x^\alpha)’=\alpha x^{\alpha-1}$$

Dunque applichiamo la regola:

$$\begin{aligned}&y’=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}+3\cdot\frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1}-2\cdot\frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1}+5\cdot\frac{1}{5}x^{\frac{1}{5}-1}\\&y’=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+x^{-\frac{2}{3}}-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{4}}+x^{-\frac{4}{5}}\end{aligned}$$

Scriviamo la nostra derivata trasformando le potenze in radici:

$$ y’=\frac{1}{2\sqrt[]{x}}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}-\frac{1}{2\sqrt[4]{x^3}}+\frac{1}{\sqrt[5]{x^4}}$$

ESEMPIO 4 – DERIVATA DI UNA SOMMA DI FUNZIONI

Calcoliamo la derivata della seguente funzione data dalla somma di funzioni esponenziali:

$$ y=3e^x-2^x+5\cdot3^x-\frac{2}{3}\pi^x+4,04\varphi^x$$

Applichiamo la derivata su ogni singolo addendo esportando la costante

$$ y’=3(e^x)’-(2^x)’+5\cdot(3^x)’-\frac{2}{3}(\pi^x)’+4,04(\varphi^x)’$$

Ricordiamo la regole per il calcolo della derivata di un’esponenziale

$$ (e^x)’=e^x\qquad (a^x)’=a^x\log a$$

Dove per log intendiamo il logaritmo naturale.

Applichiamo quindi la regola di derivazione interessata per le funzioni considerate:

$$ (e^x)’=e^x\quad (2^x)’=2^x\log 2\quad (3^x)’=3^x\log3\quad (\pi^x)’=\pi^x\log\pi\quad (\varphi^x)’=\varphi^x\log\varphi$$

Quindi la nostra derivata prima finale è:

$$y’=e^x+5\log 2\cdot2^x+5\log3\cdot3^x-\frac{2}{3}\log\pi\pi^x+4,04\log\varphi\varphi^x$$

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ESEMPIO 5 – 

Calcoliamo la derivata della seguente funzione che

$$ y=3\log x+2\log_2x+\log_3x-\frac{2}{3}\log_5x-\text{Log}x$$

Applichiamo la derivata su ogni singolo addendo esportando la costante

$$ y=3(\log x)’+2(\log_2x)’+(\log_3x)’-\frac{2}{3}(\log_5x)’-(\text{Log}x)’$$

Con log intendiamo il logaritmo naturale (con base e), mentre con Log intendiamo il logaritmo in base 10

Ricordiamo la regole per il calcolo della derivata di un logaritmo

$$ (\log x)’=\frac{1}{x}\qquad (\log_ax)’=\frac{1}{x}\log_ae$$

Applicando le nostre due regole otteniamo la nostra derivata finale:

$$ y’=\frac{3}{x}+\frac{2}{x}\log_2e-\frac{2}{3x}\log_5e+\frac{1}{x}\text{Log}e$$

Potremmo anche raccogliere a fattor comune 1/x:

$$ y’=\frac{1}{x}\left(3+\log_2e-\frac{2}{3}\log_5e+\text{Log}e\right)$$

ESEMPIO 6 – DERIVATA DI UNA SOMMA DI FUNZIONI

Calcoliamo la derivata della seguente funzione data dalla somma di una funzione in modulo e due funzioni trigonometriche: seno, coseno e tangente:

$$ y=2|x|-\sin x+3\cos x+100 \tan x$$

Applichiamo la derivata su ogni singolo addendo esportando la costante

$$ y’=2(|x|)’-(\sin x)’+3(\cos x)’+100 (\tan x)’$$

Ricordiamo la regole per il calcolo della derivata del valore assoluto e di seno, coseno e tangente

$$ (|x|)’=\frac{|x|}{x}\quad (\sin x)’=\cos x\quad (cos x)’=-\sin x\quad (\tan x)’=\frac{1}{\cos^2x}$$

Quindi la derivata della nostra funzione è:

$$ y’=2\frac{|x|}{x}-\cos x-3\cos x+\frac{100}{\cos^2x}$$

ESEMPIO 7

Calcoliamo la derivata della seguente funzione fratta

$$ y=\frac{3x^2-2\sqrt{x}-\frac{5}{x}+x(\sin x+2e^x}{x}$$

Prima di applicare la regola delle frazioni ricordiamo di applicare la regola delle frazioni secondo cui:

$$ \frac{A+B}{C}=\frac{A}{C}+\frac{B}{C}$$

Riscriviamo dunque la funzione come segue

$$\begin{aligned}&y=\frac{3x^2}{x}-\frac{2x^\frac{1}{2}}{x}-\frac{\frac{5}{x}}{x}-\frac{\sin x+2e^x}{x}\\&y=3x-2x^{-\frac{1}{2}}-\frac{5}{x^2}+\sin x+2e^x\end{aligned}$$

Deriviamo ogni singolo termine della somma esportando le costanti

$$\begin{aligned}&y’=3(x)’-2\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)’-5(x^{-2})’+(\sin x)’+2(e^x)’\\&y’=3-2\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}}-5(-2)x^{-3}+\cos x+2e^x\\&y’=3+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{10}{x^3}+\cos x+2e^x\end{aligned}$$

ESEMPIO 8 – DERIVATA DI UNA SOMMA DI FUNZIONI

Calcoliamo la derivata della seguente funzione

$$ y=x(x^2-2)^3$$

Potremmo agire applicando la regola del prodotto oppure sviluppando i calcoli e riducendo tutto ad una somma di funzioni.

A tal proposito ricordiamo la regola per lo sviluppo di un cubo di binomio:

$$ (A+B)^3+A^3+3A^2B+3Ab^2+B^3$$

Riscriviamo dunque la funzione come segue

$$\begin{aligned}&y=x\left((x^2)^3+3(x^2)^2(-2)+3(x^2)(-2)^2+(-2)^3\right)\\&y=(x^6-6x^4+12x^2-8)\\&y=x^7-6x^5+12x^3-8x\end{aligned}$$

Deriviamo ogni singolo termine della somma esportando le costanti

$$\begin{aligned}&y’=(x^7)’-6(x^5)’+12(x^3)’-8(x)’\\&y’=7x^6-6(5x^4)+12(3x^2)-8(1)\\&y’=7x^6-30x^4+36x^2-8\end{aligned}$$

ESEMPIO 9

Calcoliamo la derivata della seguente funzione

$$ y=\frac{x^2-4}{x+2}-\frac{x^3-3x^2+2x}{x-2}$$

Siccome ci rendiamo conto che le frazioni algebriche non sono ridotte ai mini termini scomponiamo in fattori primi i numeratori al fine di semplificarli con i denominatori.

Al primo numeratore riconosciamo una differenza di quadrati, mentre nel secondo un raccoglimento a fattor comune, seguito da un trinomio speciale di secondo grado

$$ y=\frac{(x+2)(x-2)}{x+2}-\frac{x(x-1)(x-2)}{x-2}$$

Semplifichiamo e svolgiamo i conti

$$\begin{aligned}&y=(x-2)-x(x-1)\\&y=x-2-x^2+x\\&y=-x^2+2x-2\end{aligned}$$

Deriviamo ogni singolo termine della somma esportando le costanti

$$y’=-(x^2)’+2(x)’-2=-2x+2$$

ESEMPIO 10 – DERIVATA DI UNA SOMMA DI FUNZIONI

Calcoliamo la derivata della seguente funzione in cui sono pronti le funzioni: arcoseno (sin^-1x) arcocoseno(cos^-1x) e arcotangente(tan^-1x).

$$ y=2\sin^{-1}x+3\cos^{-1}x+\frac{1}{100}\tan{-1}x$$

Deriviamo ogni termine della somma

$$ y’=2(\sin^{-1}x)’+3(\cos^{-1}x)’+\frac{1}{100}(\tan{-1}x)’$$

Ricordiamo le regole di derivazione per arcoseno (sin^-1) arcocoseno (cos^-1) e arcotangente(tan^-1) 

$$ (\sin^{-1}x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad (\cos^{-1}x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad (\tan{-1}x)’=\frac{1}{1+x^2}$$

Dunque la nostra derivata prima finale risulta:

$$ y’=\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{100(1+x^2)}$$

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