Le equazioni di terzo grado, o equazioni cubiche, sono equazioni polinomiali in cui il termine di grado più alto ha esponente 3. La loro forma generale è $$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$$ dove $a, b, c, d$ sono coefficienti reali o complessi e $a \neq 0$. La ricerca di una soluzione generale per queste equazioni ha rappresentato una delle sfide matematiche più significative per secoli, ben oltre la già nota formula risolutiva per le equazioni di secondo grado.
Nell’antichità, matematici greci, indiani e arabi si sono occupati di casi specifici di equazioni cubiche, spesso risolvendole geometricamente. Ad esempio, il problema della duplicazione del cubo (trovare il lato di un cubo che abbia volume doppio rispetto a un cubo dato) si traduce in un’equazione cubica.
Tuttavia, non esisteva una formula algebrica generale come quella per le equazioni quadratiche. La vera svolta avvenne in Italia nel XVI secolo, un periodo di grande fermento intellettuale. La risoluzione delle equazioni cubiche divenne un vero e proprio “segreto” matematico, gelosamente custodito e oggetto di accese dispute e sfide tra i matematici dell’epoca, come vedremo con la famosa contesa tra Tartaglia e Cardano.
Questa ricerca non solo fornì una soluzione pratica, ma aprì anche le porte a concetti rivoluzionari come quello dei numeri complessi.
INDICE
La Formula di Cardano-Tartaglia: Un Segreto Svelato
La risoluzione delle equazioni cubiche era una sfida ambita nel Rinascimento italiano, fonte di prestigio e guadagni. In questo contesto, Niccolò Fontana, detto Tartaglia, emerse.
Nel 1535, in una sfida pubblica con Antonio Maria del Fiore (allievo di Scipione del Ferro, che già conosceva la formula per $x^3 + px = q$), Tartaglia riscoprì il metodo risolutivo per alcune classi di equazioni cubiche e, poco dopo, anche per il tipo $x^3 + q = px$. La sua vittoria nella contesa contro Del Fiore consolidò la sua fama.
La sua conoscenza attirò Gerolamo Cardano, medico e matematico. Desideroso di includere la soluzione nella sua opera “Ars Magna”, Cardano convinse Tartaglia a rivelargli la formula, sotto giuramento di segretezza per uso personale.
Tuttavia, Cardano scoprì, tramite il suo allievo Ludovico Ferrari (che nel frattempo aveva risolto anche le equazioni di quarto grado), che Scipione del Ferro aveva scoperto la formula prima di Tartaglia. Ritenendosi sciolto dal giuramento, poiché il segreto non era più esclusivo, Cardano pubblicò la formula nell'”Ars Magna” del 1545.
Sebbene attribuisse la scoperta a Del Ferro e riconoscesse il contributo di Tartaglia, quest’ultimo si sentì tradito. La pubblicazione scatenò una celebre e amara controversia, fatta di invettive e sfide, che, pur personale, accelerò la diffusione delle conoscenze algebriche.
I passaggi della formula
La formula risolve equazioni cubiche nella forma ridotta $$x^3 + px + q = 0$$
Effettuiamo la sostituzione $x = u – v$.
Questo implica:
$x^3 = (u-v)^3 = u^3 – 3u^2v + 3uv^2 – v^3 = u^3 – v^3 – 3uv(u-v)$
Sostituendo $x$ e $x^3$ nell’equazione cubica originale ($x^3 + px + q = 0$):
$(u^3 – v^3 – 3uv(u-v)) + p(u-v) + q = 0$
Raggruppiamo i termini che contengono $(u-v)$:
$u^3 – v^3 + (p – 3uv)(u-v) + q = 0$
Per semplificare questa equazione e renderla risolvibile, imponiamo una condizione aggiuntiva che annulli il termine contenente $(u-v)$. Questa condizione è:
$p – 3uv = 0$
Da cui si ricava:
$3uv = p \implies uv = \frac{p}{3}$
Sostituendo questa condizione nell’equazione semplificata, il termine $(p – 3uv)(u-v)$ diventa $0 \cdot (u-v) = 0$.
L’equazione si riduce a:
$u^3 – v^3 + q = 0 \implies u^3 – v^3 = -q$
Ora abbiamo un sistema di due equazioni con $u$ e $v$:
1) $uv = \frac{p}{3}$
2) $u^3 – v^3 = -q$
Eleviamo al cubo la prima equazione:
$(uv)^3 = (\frac{p}{3})^3 \implies u^3 v^3 = \frac{p^3}{27}$
Ora abbiamo un nuovo sistema di equazioni per $u^3$ e $v^3$:
A) $u^3 – v^3 = -q$
B) $u^3 v^3 = \frac{p^3}{27}$
Consideriamo $u^3$ e $v^3$ come le radici di un’equazione quadratica ausiliaria. Se le radici sono $y_1$ e $y_2$, l’equazione quadratica sarà $y^2 – (y_1+y_2)y + y_1y_2 = 0$.
Dal nostro sistema, la somma $y_1+(-y_2)$ sarebbe $u^3 – v^3 = -q$.
E il prodotto $y_1y_2$ sarebbe $u^3(-v^3) = -u^3v^3 = -\frac{p^3}{27}$.
Quindi l’equazione quadratica ausiliaria per $u^3$ e $-v^3$ è $y^2 – (-q)y – \frac{p^3}{27} = 0$, che è $y^2 + qy – \frac{p^3}{27} = 0$.
Risolvendo questa equazione quadratica per $y$:
$y = \frac{-q \pm \sqrt{q^2 – 4(1)(-\frac{p^3}{27})}}{2}$
$y = \frac{-q \pm \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}$
Queste due soluzioni per $y$ corrispondono a $u^3$ e $-v^3$. Possiamo quindi assegnare:
$u^3 = \frac{-q + \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}$
$-v^3 = \frac{-q – \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2} \implies v^3 = \frac{q – \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}$
Infine, per ottenere $u$ e $v$, prendiamo le radici cubiche:
$u = \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}}$
$v = \sqrt[3]{\frac{q + \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}}$
Da cui la nostra soluzione:$$x=u-v= \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}}-\sqrt[3]{\frac{q + \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2}}$$
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La Generalizzazione a Tutte le Equazioni Cubiche
La formula di Cardano-Tartaglia, come presentata sopra, si applica alla forma ridotta $x^3 + px + q = 0$. Per risolvere l’equazione cubica generale $$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$$ dove $a \neq 0$, il primo passo è sempre quello di ridurla a questa forma semplificata.
Si divide l’intera equazione per $a$: $x^3 + \frac{b}{a}x^2 + \frac{c}{a}x + \frac{d}{a} = 0$.
Per eliminare il termine quadratico ($x^2$), si effettua una sostituzione: si pone $x = y – \frac{b}{3a}$.
Sostituendo questo nell’equazione e sviluppando i termini:
$(y – \frac{b}{3a})^3 + \frac{b}{a}(y – \frac{b}{3a})^2 + \frac{c}{a}(y – \frac{b}{3a}) + \frac{d}{a} = 0$.
Dopo espansioni e semplificazioni algebriche (che possono essere laboriose), l’equazione risultante sarà nella forma $y^3 + Py + Q = 0$, dove $P$ e $Q$ sono espressioni che dipendono dai coefficienti $a, b, c, d$ dell’equazione originale. In particolare:
$P = \frac{3ac – b^2}{3a^2}$
$Q = \frac{2b^3 – 9abc + 27a^2d}{27a^3}$
Una volta ottenuta questa forma ridotta in $y$, si può applicare direttamente la formula di Cardano-Tartaglia per trovare le soluzioni per $y$. Ottenute le tre soluzioni $y_1, y_2, y_3$, si risale alle soluzioni originali $x_1, x_2, x_3$ utilizzando la relazione $x = y – \frac{b}{3a}$.
È importante notare che, a seconda dei valori di $P$ e $Q$, le soluzioni possono essere reali o complesse. Questo processo di riduzione è un esempio classico di come problemi complessi possano essere semplificati attraverso trasformazioni appropriate.
Verso le Equazioni di Quarto Grado
La risoluzione delle equazioni cubiche aprì la strada alla sfida successiva: le equazioni di quarto grado, o equazioni quartiche, della forma $$ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$$ La storia della loro soluzione è strettamente legata a quella delle cubiche. Fu Ludovico Ferrari, allievo di Gerolamo Cardano, a scoprire il metodo per risolverle poco dopo la pubblicazione dell'”Ars Magna”.
Il metodo di Ferrari per risolvere un’equazione quartica si basa sull’idea di ridurla a un’equazione cubica intermedia, che poi può essere risolta con la formula di Cardano-Tartaglia. In sostanza, l’equazione quartica viene manipolata algebricamente per trasformarla in una differenza di quadrati, rendendola scomponibile in due equazioni quadratiche.
Questo processo, noto come “riduzione alla risolvente cubica”, è notevolmente più complesso della riduzione delle cubiche, ma segue una logica simile: trasformare un problema di grado superiore in uno di grado inferiore risolvibile.
La scoperta delle formule risolutive per le equazioni cubiche e quartiche segnò un’epoca d’oro per l’algebra. Per quasi tre secoli si cercò una formula analoga per le equazioni di quinto grado e superiori. Tuttavia, nel XIX secolo, matematici come Niels Henrik Abel ed Évariste Galois dimostrarono che una formula generale per le equazioni di quinto grado e superiori, che usi solo radicali e operazioni elementari, non esiste.
Questo risultato, noto come teorema di Abel-Ruffini e la teoria di Galois, rappresenta una delle pietre miliari dell’algebra moderna, segnando la fine di un’era e l’inizio di un nuovo approccio allo studio delle equazioni polinomiali
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