Esercizi Svolti sul Portare un Fattore “Fuori” dal Radicale

Portare un fattore “fuori” dalla radice significa scomporre il radicando in due parti: una potenza “perfetta” (con esponente multiplo dell’indice) e ciò che “resta dentro”.

La strategia generale ($\sqrt[n]{A^m}$) è:

1. Scomposizione: Scomporre il radicando (sia numerico che letterale) in fattori primi.
2. Divisione Esponente/Indice: Dividere l’esponente ($m$) di un fattore per l’indice della radice ($n$).
   • Il Quoziente è l’esponente del fattore che “esce”.
   • Il Resto è l’esponente del fattore che “rimane dentro”.
3. Gestione del Segno (Valore Assoluto): Quando un fattore esce da una radice con Indice Pari e ottiene un Esponente Dispari, deve essere messo in Valore Assoluto.
   • $\sqrt[2]{x^2} = |x|^1$ (Esponente finale 1, dispari)
   • $\sqrt[2]{x^4} = |x^2| = x^2$ (Esponente finale 2, pari)
   • $\sqrt[2]{x^6} = |x^3|$ (Esponente finale 3, dispari)
   • $\sqrt[3]{x^3} = x$ (Indice dispari, nessun valore assoluto)

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

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Livello Base (Numerici) -Esercizi Svolti sul Portare un Fattore “Fuori” dal Radicale

Esercizio 1: Semplificazione Base (Portare Fuori)

Domanda: Semplifica $\sqrt{50}$.

Risposta Corretta: $5\sqrt{2}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

1. Scomposizione: $50 = 25 \cdot 2 = 5^2 \cdot 2$.
2. Riscrivi: $\sqrt{5^2 \cdot 2}$.
3. Porta Fuori: Il fattore $5^2$ può uscire. L’esponente 2 diviso l’indice 2 fa 1 (Quoziente) con Resto 0.
4. Risultato: $5^1\sqrt{2^1} = 5\sqrt{2}$.

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Esercizio 2: Espressione con Semplificazioni

Domanda: Calcola $2\sqrt{2} + \sqrt{50} – 3\sqrt{18}$.

Risposta Corretta: $-2\sqrt{2}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

Dobbiamo prima portare fuori i fattori per ottenere radicali simili.

1. $\sqrt{50}$: $\sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.
2. $\sqrt{18}$: $\sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$.
3. Riscrivi l’espressione: $2\sqrt{2} + 5\sqrt{2} – 3(3\sqrt{2})$.
4. Calcolo: $2\sqrt{2} + 5\sqrt{2} – 9\sqrt{2}$.
5. Somma Coefficienti: $(2 + 5 – 9)\sqrt{2} = -2\sqrt{2}$.

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Livello Intermedio (Monomi – C.E. Semplificate)

Esercizio 3: Monomio (Indice Dispari)

Domanda: Semplifica $\sqrt[3]{x^4y^5}$.

Risposta Corretta: $xy\sqrt[3]{xy^2}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

Indice 3. Non serve il valore assoluto.

1. Scomponi (x): $x^4 = x^3 \cdot x$. (Esce $x^1$, resta $x^1$).
2. Scomponi (y): $y^5 = y^3 \cdot y^2$. (Esce $y^1$, resta $y^2$).
3. Risultato: $x \cdot y \cdot \sqrt[3]{x \cdot y^2} = xy\sqrt[3]{xy^2}$.

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Esercizio 4: Monomio (Indice Pari, C.E. $\ge 0$)

Domanda: Semplifica $\sqrt{x^3y^4}$ (supponendo $x \ge 0$).

Risposta Corretta: $xy^2\sqrt{x}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

Indice 2. Dobbiamo controllare il valore assoluto.

1. Scomponi (x): $x^3 = x^2 \cdot x$. (Esce $x^1$).
2. Scomponi (y): $y^4 = (y^2)^2$. (Esce $y^2$).
3. Porta Fuori (Valore Assoluto): $\sqrt{x^2}\sqrt{(y^2)^2}\sqrt{x} = |x| \cdot |y^2| \cdot \sqrt{x}$.
4. Applica C.E. e Regole:
   • $|x| = x$ (perché l’ipotesi è $x \ge 0$).
   • $|y^2| = y^2$ (perché $y^2$ è sempre $\ge 0$).
5. Risultato: $xy^2\sqrt{x}$.

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Livello Avanzato (Polinomi e Valore Assoluto) – Esercizi Svolti sul Portare un Fattore “Fuori” dal Radicale

Esercizio 5: Polinomio (C.E. Implicita)

Domanda: Semplifica $\sqrt{(x-1)^3}$.

Risposta Corretta: $(x-1)\sqrt{x-1}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

1. C.E.: Affinché la radice esista, $(x-1)^3 \ge 0$, il che implica $x-1 \ge 0$.
2. Scomposizione: $\sqrt{(x-1)^2 \cdot (x-1)}$.
3. Porta Fuori (Valore Assoluto): $\sqrt{(x-1)^2}\sqrt{x-1} = |x-1|\sqrt{x-1}$.
4. Applica C.E.: Poiché sappiamo dalle C.E. che $(x-1) \ge 0$, il valore assoluto è superfluo.
5. Risultato: $(x-1)\sqrt{x-1}$.

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Esercizio 6: Scomposizione Polinomiale (MCD + Quadrato)

Domanda: Semplifica $\sqrt{x^3 – 2x^2 + x}$ (supponendo $x \ge 0$).

Risposta Corretta: $|x-1|\sqrt{x}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

1. Scomposizione (MCD): $\sqrt{x(x^2 – 2x + 1)}$.
2. Scomposizione (Quadrato Binomio): $\sqrt{x(x-1)^2}$.
3. Porta Fuori (Valore Assoluto): $\sqrt{(x-1)^2} \cdot \sqrt{x} = |x-1|\sqrt{x}$.
4. Applica C.E.: L’ipotesi $x \ge 0$ non ci dice se $x-1$ è positivo o negativo (potrebbe essere $x=0.5$).
5. Risultato: Il valore assoluto è necessario: $|x-1|\sqrt{x}$.

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Livello Molto Avanzato (Frazioni Algebriche)

Esercizio 7: Frazione Semplice (Valore Assoluto Denominatore)

Domanda: Semplifica $\sqrt{\frac{a^5}{b^2}}$ (supponendo $a \ge 0, b \neq 0$).

Risposta Corretta: $\frac{a^2\sqrt{a}}{|b|}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

1. Dividi Radice: $\frac{\sqrt{a^5}}{\sqrt{b^2}}$.
2. Risolvi Num: $\sqrt{a^5} = \sqrt{a^4 \cdot a} = \sqrt{(a^2)^2}\sqrt{a} = |a^2|\sqrt{a} = a^2\sqrt{a}$.
3. Risolvi Den: $\sqrt{b^2} = |b|$. (Non abbiamo ipotesi su $b$, solo $b \neq 0$).
4. Risultato: $\frac{a^2\sqrt{a}}{|b|}$.

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Esercizio 8: Frazione (Indice Dispari)

Domanda: Semplifica $\sqrt[3]{\frac{x^4}{y^7}}$ (supponendo $y \neq 0$).

Risposta Corretta: $\frac{x\sqrt[3]{x}}{y^2\sqrt[3]{y}}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

1. Regola: Indice dispari (3). Nessun valore assoluto.
2. Risolvi Num: $\sqrt[3]{x^4} = \sqrt[3]{x^3 \cdot x} = x\sqrt[3]{x}$.
3. Risolvi Den: $\sqrt[3]{y^7} = \sqrt[3]{y^6 \cdot y} = \sqrt[3]{(y^2)^3 \cdot y} = y^2\sqrt[3]{y}$.
4. Risultato: $\frac{x\sqrt[3]{x}}{y^2\sqrt[3]{y}}$.

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Livello Avanzatissimo – Esercizi Svolti sul Portare un Fattore “Fuori” dal Radicale

Esercizio 9: Frazione (Scomposizione + C.E.)

Domanda: Semplifica $\sqrt{\frac{x^2-1}{(x+1)^3}}$ (C.E. $x \ge 1$).

Risposta Corretta: $\frac{\sqrt{x-1}}{x+1}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

1. Scomposizione: $\sqrt{\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^3}}$.
2. Semplifica Frazione: $\sqrt{\frac{x-1}{(x+1)^2}}$.
3. Dividi Radice: $\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{(x+1)^2}}$.
4. Valore Assoluto: $\frac{\sqrt{x-1}}{|x+1|}$.
5. Applica C.E.: L’ipotesi $x \ge 1$ (necessaria perché $x-1$ è sotto radice) garantisce che $x+1$ sia positivo.
6. Risultato: $\frac{\sqrt{x-1}}{x+1}$.

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Esercizio 10: Frazione (Indice Diverso + Scomposizione)

Domanda: Semplifica $\sqrt[4]{\frac{32x^5}{y^8}}$ (supponendo $x \ge 0, y \neq 0$).

Risposta Corretta: $\frac{2x\sqrt[4]{2x}}{y^2}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

1. Regola: Indice 4 (pari).
2. Scomposizione Radicando: $\sqrt[4]{\frac{16 \cdot 2 \cdot x^4 \cdot x}{(y^2)^4}}$.
3. Dividi Radice: $\frac{\sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{x^4} \cdot \sqrt[4]{2x}}{\sqrt[4]{(y^2)^4}}$.
4. Risolvi (Valore Assoluto):
   • $\sqrt[4]{16} = 2$.
   • $\sqrt[4]{x^4} = |x|$.
   • $\sqrt[4]{(y^2)^4} = |y^2| = y^2$ (sempre positivo).
5. Applica C.E.: L’ipotesi $x \ge 0$ ci dice che $|x| = x$.
6. Risultato: $\frac{2x\sqrt[4]{2x}}{y^2}$.

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