Esercizi Svolti sulle Equazioni Esponenziali (Caso Base $a^x = k$ Complesso)

In questo articolo svolgiamo gli Esercizi Svolti sulle Equazioni Esponenziali. Ci concentriamo sul caso apparentemente semplice $a^x = k$, ma con un livello di difficoltà elevato: il termine $k$ non è un numero semplice, ma un’espressione che richiede una profonda conoscenza delle proprietà delle potenze per essere semplificata.

Questi esercizi sono essenziali per il quiz correlato.

Ripasso: Il “Toolbox” delle Potenze

Per risolvere queste equazioni, l’obiettivo è trasformare il “mostro” a destra dell’uguale in una singola potenza del tipo $a^{\text{numero}}$.

Ecco gli strumenti indispensabili:

1. Moltiplicazione e Divisione:$$a^n \cdot a^m = a^{n+m} \quad \text{e} \quad \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$$
2. Radici come Esponenti Frazionari (Fondamentale):$$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \quad (\text{Es. } \sqrt{a} = a^{1/2}, \ \sqrt[3]{a^2} = a^{2/3})$$
3. Frazioni e Esponenti Negativi:$$\frac{1}{a^n} = a^{-n}$$
4. Potenza di Potenza:$$(a^n)^m = a^{n \cdot m}$$

Strategia: Non farti spaventare dall’espressione. Porta tutti i fattori alla stessa base, trasforma le radici in esponenti frazionari e somma/sottrai gli esponenti.

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Esercizi Svolti (Difficoltà Crescente)

Vengono presentati 10 esercizi. L’incognita è quasi sempre solo a sinistra, ma il termine a destra richiede calcoli elaborati.

Livello Semplice (Si fa per dire: Prime semplificazioni)

Esercizio 1: Prodotto e Radice

Domanda: Risolvi $3^x = 27 \cdot \sqrt{3}$.

Risposta Corretta: $x = 7/2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

• Scomposizione: $27 = 3^3$ e $\sqrt{3} = 3^{1/2}$.
• Espressione: $3^x = 3^3 \cdot 3^{1/2}$.
• Proprietà: $3^x = 3^{3 + 1/2}$.
• Calcolo Esponente: $3 + 1/2 = 7/2$.
• Soluzione: $x = 7/2$.

Esercizio 2: Frazione con Radice

Domanda: Risolvi $2^x = \frac{8}{\sqrt[3]{2}}$.

Risposta Corretta: $x = 8/3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

• Scomposizione: $8 = 2^3$ e $\sqrt[3]{2} = 2^{1/3}$.
• Espressione: $2^x = \frac{2^3}{2^{1/3}}$.
• Proprietà (Divisione): $2^x = 2^{3 – 1/3}$.
• Calcolo Esponente: $3 – 1/3 = \frac{9-1}{3} = 8/3$.
• Soluzione: $x = 8/3$.

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Livello Intermedio (Cambi di Base e Esponenti Negativi)

Esercizio 3: Base Frazionaria e Radice al Numeratore

Domanda: Risolvi $\left(\frac{1}{5}\right)^x = 25 \cdot \sqrt{5}$.

Risposta Corretta: $x = -5/2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

• Scelta della Base: Portiamo tutto a base 5.
  • Sinistra: $(5^{-1})^x = 5^{-x}$.
  • Destra: $25 = 5^2$ e $\sqrt{5} = 5^{1/2}$.
• Espressione: $5^{-x} = 5^2 \cdot 5^{1/2}$.
• Calcolo Destra: $5^{2 + 1/2} = 5^{5/2}$.
• Equazione: $5^{-x} = 5^{5/2} \rightarrow -x = 5/2$.
• Soluzione: $x = -5/2$.

Esercizio 4: Il numero di Nepero

Domanda: Risolvi $e^x = \frac{e^2 \cdot \sqrt{e}}{e^{-1}}$.

Risposta Corretta: $x = 7/2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

• Numeratore: $e^2 \cdot e^{1/2} = e^{2 + 0.5} = e^{2.5}$.
• Espressione Completa: $e^x = \frac{e^{2.5}}{e^{-1}}$.
• Proprietà (Sottrazione): Esponente alto meno esponente basso.$x = 2.5 – (-1) = 2.5 + 1$.
• Soluzione: $x = 3.5$ (o $7/2$).

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Livello Avanzato (Combinazioni di Basi Diverse e Radici)

Esercizio 5: Basi 4, 2 e 8

Domanda: Risolvi $4^x = \frac{2}{\sqrt[3]{4}} \cdot 8$.

Risposta Corretta: $x = 10/3$ (o $x \approx 3.33$) -> Ricalcoliamo: $\frac{2^1 \cdot 2^3}{2^{2/3}} = 2^{4 – 2/3} = 2^{10/3}$. $2^{2x} = 2^{10/3} \rightarrow 2x = 10/3 \rightarrow x = 5/3$.

Risposta Corretta: $x = 5/3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

• Base Comune: Portiamo tutto a base 2.
  • Sinistra: $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$.
  • Destra: $2 \cdot 8 = 2^1 \cdot 2^3 = 2^4$.
  • Denominatore destra: $\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^2} = 2^{2/3}$.
• Semplificazione Destra: $\frac{2^4}{2^{2/3}} = 2^{4 – 2/3} = 2^{\frac{12-2}{3}} = 2^{10/3}$.
• Equazione: $2^{2x} = 2^{10/3}$.
• Uguaglianza: $2x = \frac{10}{3} \rightarrow x = \frac{5}{3}$.

Esercizio 6: Base 9, 3 e 27

Domanda: Risolvi $9^x = \frac{3 \cdot \sqrt{27}}{\sqrt[4]{3}}$.

Risposta Corretta: $x = 9/8$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

• Base Comune: Base 3.
• Sinistra: $9^x = 3^{2x}$.
• Destra (Numeratore): $3^1 \cdot \sqrt{3^3} = 3^1 \cdot 3^{3/2} = 3^{1 + 1.5} = 3^{5/2}$.
• Destra (Denominatore): $\sqrt[4]{3} = 3^{1/4}$.
• Destra (Totale): $3^{5/2 – 1/4} = 3^{\frac{10-1}{4}} = 3^{9/4}$.
• Equazione: $3^{2x} = 3^{9/4} \rightarrow 2x = \frac{9}{4}$.
• Soluzione: $x = \frac{9}{8}$.

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Livello Molto Avanzato (Frazioni Complesse e Decimali)

Esercizio 7: Frazione invertita e radicale

Domanda: Risolvi $\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{27}{8} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}$.

Risposta Corretta: $x = -5/2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

• Analisi Termini:
  • $\frac{27}{8} = (\frac{3}{2})^3 = (\frac{2}{3})^{-3}$. (Notare l’inversione).
  • $\sqrt{\frac{2}{3}} = (\frac{2}{3})^{1/2}$.
• Costruzione Destra: $(\frac{2}{3})^{-3} \cdot (\frac{2}{3})^{1/2}$.
• Somma Esponenti: $-3 + \frac{1}{2} = \frac{-6+1}{2} = -\frac{5}{2}$.
• Equazione: $(\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^{-5/2}$.
• Soluzione: $x = -5/2$.

Esercizio 8: Numeri Decimali

Domanda: Risolvi $100^x = \frac{0.1}{\sqrt{10}}$.

Risposta Corretta: $x = -3/4$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

• Base Comune: Base 10.
• Sinistra: $100^x = (10^2)^x = 10^{2x}$.
• Destra:
  • $0.1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$.
  • $\sqrt{10} = 10^{1/2}$.
  • Frazione: $\frac{10^{-1}}{10^{1/2}} = 10^{-1 – 1/2} = 10^{-3/2}$.
• Equazione: $10^{2x} = 10^{-3/2}$.
• Calcolo: $2x = -3/2 \rightarrow x = -3/4$.

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Livello Molto Molto Avanzato (Radicali Annidati e “Matrioska”)

Esercizio 9: Il “Triplo” Radicale

Domanda: Risolvi $2^x = \sqrt{2 \cdot \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}}}$.

Risposta Corretta: $x = 7/8$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

• Metodo dall’interno:
  1. Radice interna: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.
  2. Moltiplico per 2: $2 \cdot 2^{1/2} = 2^{3/2}$.
  3. Radice mediana: $\sqrt{2^{3/2}} = 2^{3/4}$.
  4. Moltiplico per 2: $2 \cdot 2^{3/4} = 2^{7/4}$.
  5. Radice esterna: $\sqrt{2^{7/4}} = 2^{7/8}$.
• Equazione: $2^x = 2^{7/8}$.
• Soluzione: $x = 7/8$.

Esercizio 10: Potenze al denominatore di radici

Domanda: Risolvi $5^x = \frac{25}{\sqrt[3]{5 \cdot \sqrt{5}}}$.

Risposta Corretta: $x = 3/2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

• Analisi Radicale (Denominatore):
  • Dentro: $5 \cdot \sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{1/2} = 5^{3/2}$.
  • Radice cubica: $\sqrt[3]{5^{3/2}} = (5^{3/2})^{1/3} = 5^{1/2}$.
• Costruzione Frazione:
  • Numeratore: $25 = 5^2$.
  • Denominatore (semplificato): $5^{1/2}$.
• Calcolo Totale: $\frac{5^2}{5^{1/2}} = 5^{2 – 0.5} = 5^{1.5} = 5^{3/2}$.
• Soluzione: $x = 3/2$.

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