Nei precedenti articoli abbiamo visto come la forma esponenziale renda banale il calcolo delle potenze dei numeri complessi. Alla base di questa semplificazione c’è un teorema fondamentale che collega l’algebra dei numeri complessi alla trigonometria: la Formula di De Moivre.
Questa formula è famosa perché permette di calcolare $(1+i)^{100}$ in pochi secondi. Ma prima di dimostrarla in modo formale, facciamo un esperimento. Proviamo a calcolare le potenze algebricamente, “a mano”, e vediamo se il risultato coincide con quanto promesso dal teorema.
INDICE
Un Approccio Intuitivo: Verifichiamo “A Mano”
La Formula di De Moivre afferma che per elevare alla $n$ un numero complesso di modulo 1, basta moltiplicare l’angolo per $n$:
$$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$$
Funziona davvero? Controlliamo con $n=2$ e $n=3$.
1. Il Quadrato ($n=2$)
Sviluppiamo il quadrato del binomio classico $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$, ricordando che $i^2 = -1$.
$$(\cos \theta + i \sin \theta)^2 = \cos^2 \theta + 2i \sin \theta \cos \theta + (i \sin \theta)^2$$
$$= \cos^2 \theta + i(2 \sin \theta \cos \theta) – \sin^2 \theta$$
Raggruppiamo la parte reale e quella immaginaria:
$$= (\cos^2 \theta – \sin^2 \theta) + i(2 \sin \theta \cos \theta)$$
Ora guardiamo le Formule di Duplicazione della trigonometria:
- Sappiamo che $\cos^2 \theta – \sin^2 \theta = \cos(2\theta)$
- Sappiamo che $2 \sin \theta \cos \theta = \sin(2\theta)$
Sostituendo, otteniamo:
$$= \cos(2\theta) + i \sin(2\theta)$$
Funziona! Il quadrato ha raddoppiato l’angolo.
2. Il Cubo ($n=3$)
Sviluppiamo ora il cubo del binomio $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$.
Ricordiamo le potenze di $i$: $i^2 = -1$ e $i^3 = -i$.
$$(\cos \theta + i \sin \theta)^3 = \cos^3 \theta + 3\cos^2\theta(i\sin\theta) + 3\cos\theta(i\sin\theta)^2 + (i\sin\theta)^3$$
Svolgiamo i calcoli:
$$= \cos^3 \theta + i(3\cos^2\theta\sin\theta) – 3\cos\theta\sin^2\theta – i\sin^3\theta$$
Raggruppiamo Reale con Reale e Immaginario con Immaginario:
- Reale: $\cos^3 \theta – 3\cos\theta\sin^2\theta$
- Immaginaria: $i(3\cos^2\theta\sin\theta – \sin^3\theta)$
Se andate a controllare su un manuale le (meno famose) Formule di Triplicazione, scoprirete che corrispondono esattamente a queste espressioni!
$$= \cos(3\theta) + i \sin(3\theta)$$
Funziona anche qui! Il cubo ha triplicato l’angolo.
Ora che l’abbiamo toccato con mano, siamo pronti per la dimostrazione generale.
La Dimostrazione Rigorosa (Per Induzione)
Per dimostrare che questo vale per qualsiasi $n$ naturale, usiamo il Principio di Induzione Matematica.
1. Base dell’Induzione ($n=1$)
Verifichiamo se la formula è vera per $n=1$.
$$(\cos \theta + i \sin \theta)^1 = \cos(1 \cdot \theta) + i \sin(1 \cdot \theta)$$
L’identità è banalmente verificata.
2. Ipotesi Induttiva
Supponiamo che la formula sia vera per un generico $n$:
$$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$$
3. Passo Induttivo (Tesi)
Dobbiamo dimostrare che la formula vale anche per $n+1$.
Tesi: $(\cos \theta + i \sin \theta)^{n+1} = \cos((n+1)\theta) + i \sin((n+1)\theta)$
Dimostrazione:
Scriviamo la potenza $(n+1)$-esima come prodotto della potenza $n$-esima (la nostra ipotesi) e del termine base:
$$(\cos \theta + i \sin \theta)^{n+1} = \underbrace{(\cos \theta + i \sin \theta)^n}_{\text{Ipotesi}} \cdot (\cos \theta + i \sin \theta)$$
Sostituiamo l’ipotesi:
$$= [\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)] \cdot [\cos \theta + i \sin \theta]$$
Eseguiamo la moltiplicazione (prodotto di due numeri complessi):
$$= \cos(n\theta)\cos\theta + i\cos(n\theta)\sin\theta + i\sin(n\theta)\cos\theta + i^2\sin(n\theta)\sin\theta$$
Raggruppiamo Parte Reale e Parte Immaginaria (ricordando $i^2=-1$):
- Reale: $[\cos(n\theta)\cos\theta – \sin(n\theta)\sin\theta]$
- Immaginaria: $i[\sin(n\theta)\cos\theta + \cos(n\theta)\sin\theta]$
Riconosciamo le Formule di Addizione ($\cos(\alpha+\beta)$ e $\sin(\alpha+\beta)$):
$$= \cos(n\theta + \theta) + i \sin(n\theta + \theta)$$
Raccogliendo $\theta$, arriviamo alla tesi:
$$= \cos((n+1)\theta) + i \sin((n+1)\theta)$$
C.V.D. La formula è dimostrata per ogni $n$ naturale.
A Cosa Serve? Applicazioni Pratiche
Oltre a calcolare potenze, la formula di De Moivre è una “macchina” per generare identità trigonometriche.
Come abbiamo visto nell’esempio intuitivo del quadrato, leggendo la formula al contrario possiamo ricavare $\sin(2x)$, $\cos(2x)$, $\sin(3x)$ etc., semplicemente sviluppando i binomi.
Trafiletto Storico
Abraham de Moivre (1667–1754), matematico francese amico di Newton, scoprì questa formula nel 1707. Una curiosità triste ma affascinante: negli ultimi giorni della sua vita, De Moivre notò che dormiva 15 minuti in più ogni notte. Ipotizzò matematicamente che sarebbe morto quando la somma di questi minuti avesse raggiunto le 24 ore. E così accadde: la matematica previde con esattezza il giorno della sua fine.
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