QUADRATO DI BINOMIO

Il quadrato di binomio è un prodotto notevole per cui un binomio viene elevato alla seconda, ovvero viene moltiplicato per se stesso

La regola che conosciamo è la seguente:

$$ (A+B)^2 = A^2 +2AB +B^2 \\ \ \\ \ \\ A^2= \text{ quadrato del primo termine} \\ B^2= \text{ quadrato del secondo termine} \\ 2AB= \text{ doppio prodotto tra il primo e il secondo termine} $$

Un quadrato di binomio si sviluppa sommando questi tre termini:

Un esempio dello sviluppo del quadrato di binomio è il seguente:

$$ (2x+y)^2 = \\ (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot y + y^2 = \\ 4x^2 +4xy+y^2 $$

DIMOSTRAZIONE DELLA  REGOLA DEL QUADRATO DI BINOMIO 

La regola del quadrato di binomio è:

$$ (A+B)^2 = A^2 +2AB +B^2 $$

Ricordiamo che elevare una quantità al quadrato (alla seconda) significa moltiplicare la quantità per se stessa.

Dunque possiamo anche scrivere che:

$$ (A+B)^2 = (A+B)(A+B) $$

A questo punti possiamo applicare la regola per la moltiplicazione dei polinomi

$$(A+B)(A+B) = A^2 +AB +BA +B^2 $$

Ricordando che BA = AB scriviamo:

$$A^2 +AB +AB +B^2 $$

Andiamo ora a sommare i monomi simili:

$$ A^2 +2AB +B^2 $$

Ed ecco che abbiamo dimostrato la regola

VISUALIZZAZIONE GRAFICA DEL QUADRATO DI BINOMIO

Consideriamo un quadrato di lato l.

Noi sappiano che per calcolare l’area di un quadrato moltiplichiamo il lato per se stesso.

Ovvero facciamo il quadrato del lato:

$$ \text{area quadrato } = l \cdot l = l^2 $$

Immaginiamo ora di dividere il lato del quadrato in due parti A e B, come mostrato sotto in figura

A questo punto andiamo a calcolare l’area dei rettangoli che si formano internamente (due dei quali sono quadrati)

Vediamo immediatamente che due sono  quadrati di lati  A e B.

Mentre due sono rettangoli con dimensioni A e B.

A questo punto la formula del quadrato di binomio ha un senso geometrico e pratico.

ERRORI COMUNI E SENSO NUMERICO DEL QUADRATO DI BINOMIO

Attenzione ad un errore molto comune che viene fatto per chi è alle prime armi con la teoria dei polinomi:

Sostenere che il quadrato di una somma si possa risolvere come la somma dei quadrati.

$$ (A+B) ^2 = A^2 +B^2 \quad \color{red}{\text{errore !!!}}$$

Questa cosa è un orrore matematico!!!

È una bestemmia sacrilega!!!

Precisiamo che questo è un errore che ho fatto anche io la prima volta che ho incontrato un quadrato di binomio.

La scrittura poi sembra estremamente convincente.

La cosa che mi preoccupa è che esiste gente che persevera in questa cosa nonostante la regola gli sia stata presentata e spiegata più volte.

Ma vediamo perché questo ragione.

In primo luogo c’è la spiegazione geometrica che abbiamo visto già sopra.

Se riprendiamo in mano il quadrato di lato A+B, sarebbe come affermare che l’area di questo quadrato si calcoli facendo solamente la somma dei due quadrati interni.

In tal modo mancherebbe la parte dei due rettangoli !!!

VUOI SCOPRIRE LA MATEMATICA?

Un’altra spiegazione un po’ più sempliciotta è di natura numerica.

Prendiamo un numero molto semplice, ad esempio il 5.

Quasi tutti noi sappiamo che il quadrato di 5 è 25, ovvero:

$$ 5^2 = 5 \cdot 5 = 25 $$

Ora andiamo a riscrivere il 5 come una somma di numeri, ad esempio 2 e 3.

$$ 5 = 2+3 $$

Dunque possiamo anche dire che:

$$ 5^2 = (2+3)^2 = 25 $$

Se fosse vero che 

$$ (A+B) ^2 = A^2 +B^2$$

Allora sarebbe altrettanto vero che:

$$ (2+3)^2 = 2^2 +3^2 = 4 + 9 = 13$$

Ma se facciamo i conti:

Che è palesemente diverso da 25.

Se andiamo ad applicare la regola corretta del quadrato di binomio:

$$ (A+B)^2 = A^2 +2AB +B^2 $$

Otteniamo che:

$$ (2+3)^2 = 2^2 +3^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3 = 4+9+12 = 25 $$

Ora si che i conti tornano!

ESEMPI DI QUADRATO DI BINOMIO

Vediamo ora di svolgere questi esempi per il calcolo dei quadrati di binomio.

$$ \begin{array}{cccccc} &(x+1)^2 & (x-1)^2 & (2x+3)^2 & (2x-3)^2 & \\ &(2a-3b)^2 & (5a+b)^2 & (4ax-3y)^2 & & \\ & \left( \frac{2}{3} x+1 \right)^2 & \left( \frac{3}{5} x – \frac{5}{4} \right)^2 & \end{array}$$

Siccome la regola ormai la conosciamo vi riporto esclusivamente i passaggi nelle immagini.

QUADRATO DI BINOMIO, POTENZA DI UN BINOMIO E TRIANGOLO DI TARTAGLIA.

Il quadrato di binomio si trova al livello 2 del triangolo di Tartaglia.

Questo magico triangolo, ideato nella prima metà del 1500 dal matematico bresciano Niccolò Tartaglia ci dice ad ogni livello come è fatta una potenza di binomio.

Come si può vedere al vertice della piramide compare il numero1.

Il vertice è il livello zero della piramide, e questo significa che:

$$ (A+B)^0 = \color{blue}{1} $$

Sul primo livello compare i numeri 1 e 1

Ciò significa che:

$$ (A+B)^1 = \color{blue}{1} \cdot A^1 + \color{blue}{1} \cdot B^1 $$

Sul livello 2 ci sono i numeri:  1 2 1

Questo significa che:

$$ (A+B)^2 = \color{blue}{1} A^2 + \color{blue}{2}AB + \color{blue}{1}B^2 $$

Questo è il nostro quadrato di binomio.

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VERSO IL QUADRATO DI TRINOMIO (O DI UN POLINOMIO)

Proviamo a sviluppare questa cosa un più inconsueta.

Se ci troviamo di fronte a questo testo:

$$ (A+B+C)^2 $$

Come possiamo sviluppare questo quadrato di trinomio???

Noi conosciamo la regola del quadrato di binomio, ma non del quadrato di trinomio.

Proviamo a leggerla ora in questo modo:

$$ ((A+B)+C)^2 $$

Come se (A+B) fosse un blocco solo.

Allora in questo caso possiamo certamente utilizzare la regola per il quadrato di binomio:

Il quadrato primo elemento (A+B), sommato al quadrato del secondo elemento C, sommato al loro doppio prodotto.

$$ ((A+B)+C)^2 = \\ (A+B)^2 +C^2 + 2 \cdot (A+B) \cdot C $$

A questo punto sviluppiamo il quadrato di binomio d un lato e il prodotto tra un monomio e un polinomio dall’altro.

$$ (A^2 + 2AB +B^2) + C^2 + (2AC + 2BC) $$

Scriviamola in modo più ordinato rimuovendo le parentesi:

$$ (A+B+C)^2 = A^2 +B^2 +C^2 + 2AB +2AC +2BC $$

Il quadrato di un trinomio è la somma dei quadrati dei termini più la somma di tutti i doppi prodotti possibili.

UN’OSSERVAZIONE DA MATEMATICO

L’ultima regola ci deve insegnare una cosa molto importante nella matematica come nella vita.

Molto spesso per ricavare regole più difficili si tende sempre a ricondurle in qualche modo a regole già conosciute e consolidate.

Sono convinto che se leggerete i dati in questo modo potrete fare dei passi importanti verso la comprensione delle vicende matematiche.

SCOPOSIZIONE DI UN QUADRATO DI BINOMIO

Dalla regola per la scrittura di un quadrato di binomio si può trarre la regola inversa per la sua  scomposizione .

Se la regola per scrivere un quadrato di binomio è:

$$ (A+B)^2 = A^2 +2AB +B^2 $$

Allora se ci troviamo di fronte ad un polinomio con due quadrati e un doppio prodotto tra le radici allora possiamo scomporlo come segue.

$$ (A+B)^2 A^2 +2AB +B^2 = (A+B)^2 $$

Ad esempio consideriamo il polinomio:

$$ 9x^2 +6x +1 $$

Notiamo che:

$$ 9x^2 = (3x)^2 \quad 1=1^2 \quad 6x= 2 \cdot (3x) \cdot 1 $$

Dunque:

$$ 9x^2 +6x +1 = (3x+1)^2 $$

HAI QUALCHE DOMANDA???

Se hai qualche domanda scrivila nei commenti

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