Il cubo di binomio è un prodotto notevole che indica lo sviluppo di un binomio elevato al cubo, ovvero moltiplicato per se stesso più volte.
Sviluppando il cubo di un binomio otteniamo i due cubi del primo e del secondo termine e due tripli prodotti tra il quadrato di uno per l’altro.
Scrivendo questo polinomio in ordine decrescente rispetto alla lettera A, otteniamo:
Da qui abbiamo la regola generale dello sviluppo dei cubi di un binomio che è:
REGOLA PER LO SVILUPPO DEL CUBO DI BINOMIO
Come giungiamo alla regola appena vista per lo sviluppo di un cubo di binomio?
La cosa è molto semplice e basta pensare a cosa significhi elevare al cubo o alla terza.
Quando eleviamo alla terza un numero lo stiamo moltiplicando per se tesso tre volte.
Ad esempio quando facciamo 2 al cubo stiamo facendo:
Allo stesso modo quando calcoliamo il cubo di un binomio facciamo
Ricordiamo che il prodotto gode della proprietà associativa, per cui:
Il primo termine della moltiplicazione è chiaramente un quadrato di binomio:
Dunque riprendendo l’espressione iniziale abbiamo:
Ora dobbiamo fare la moltiplicazione tra due polinomi:
Andiamo ora a sommare i termini simili e otteniamo la nostra regola
ESEMPI PER LO SVILUPP DEL CUBO DI UN BINOMIO
Svolgiamo questi tre esempi per lo sviluppo di cubi di binomio:
Applicando la regola generale:
ESEMPIO 1
ESEMPIO 2
ESEMPIO 3
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ERRORE MOLTO COMUNE SUL CUBO DI BINOMIO
Un errore molto comune sul cubo di binomio è il seguente:
Ovvero quello di pensare che il cubo applicato ad una somma di termini sia semplicemente la somma dei cubi.
Perché questo ragionamento non può funzionare nella realtà ?
Vediamolo con un semplice esempio numero.
Tutti noi sappiamo (o almeno lo spero) che il cubo di 3 vale 27, cioè che:
E siamo altresì consapevoli del fatto che il numero 3 può essere ottenuto dalla somma di 2 e 1.
Dunque possiamo scrivere il cubo di 3 come il cubo di una somma:
Ora se andiamo ad applicare la formula errata per lo sviluppo del cubo di binomio:
Otteniamo che:
Il risultato è falso!!!
CUBO DI BINOMIO CON I NUMERI
La regola corretta per effettuare un cubo di binomio è:
Se mettiamo i due cubi insieme per comodità di lettura possiamo dire che:
Proviamo ora ad applicare la regola al caso precedente:
Verissimo!!!
GEOMETRIA DEL CUBO DI BINOMIO
Per visualizzare geometricamente il cubo di un binomio, cominciamo con l’immaginare un cubo di lato l.
Noi sappiamo che il volume del cubo si calcola facendo il lato alla terza:
Scomponiamo ora il lato l come la somma di due parti a e b
Operiamo questo procedimento su tutti i lati in modo identico e osserviamo i parallelepipedi che ne escono:
Ci sono proprio due cubi:
E sei parallelepipedi che indicano i due tripli prodotti
LA SCOMPOSIZIONE DEL CUBO DI BINOMIO
Se leggiamo da destra verso sinistra la formula per lo sviluppo del prodotto notevole:
Ricaviamo la formula per la scomposizione di un cubo di binomio
Questa formula ci dice che abbiamo un quadrinomio di questo tipo:
in cui sono presenti due cubi:
E abbiamo due tripli prodotti tra cui:
il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo:
E il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo:
Allora siamo di fronte al cubo del binomio composto dalla somma dei termini A e B
Visivamente rappresentiamo la procedura per il riconoscimento del cubo di binomio qui sotto
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ESEMPI DI SCOMPOSIZIONE DEL CUBO DI BINOMIO
Vediamo insieme qualche esempio di scomposizione:
ESEMPIO 1
Verifichiamo per prima cosa la presenza di due cubi.
In effetti il testo ne presenta proprio due:
Ora dobbiamo verificare che i restanti due sono i tripli prodotti.
Quindi possiamo concludere che si tratta proprio di un cubo:
Vediamolo meglio con lo schema:
ESEMPIO 2
ESEMPIO 3
CUBO DI BINOMIO, POTENZA DI UN BINOMIO E TRIANGOLO DI TARTAGLIA.
Il cubo di binomio si trova al livello 3 del triangolo di Tartaglia.
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Questo magico triangolo, ideato nella prima metà del 1500 dal matematico bresciano Niccolò Tartaglia ci dice ad ogni livello come è fatta una potenza di binomio.
Come si può vedere al vertice della piramide compare il numero1.
Il vertice è il livello zero della piramide, e questo significa che:
Sul primo livello compare i numeri 1 e 1
Ciò significa che:
Sul livello 2 ci sono i numeri: 1 2 1
Questo significa che:
LIVELLO TRE
Spostandoci al livello 3 della piramide troviamo la quaterna 1,3,3,1.
Questi numeri rappresentano i coefficienti per sviluppare un cubo di binomio.
Se vuoi approfondire sulla piramide o triangolo di Tartaglia e sulla potenza di un binomio, clicca qui.
CUBO DI BINOMIO NEL GRAFICO CARTESIANO
È possibile visualizzare un cubo di binomio i un sistema cartesiano?
Proviamo a dare una rappresentazione del cubo di (2x-3)
Mediante la funzione cubica:
HAI QUALCHE DOMANDA???
Se hai qualche domanda scrivila nei commenti
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